基于數(shù)學(xué)模型的微專題教學(xué)案例

馮鵬濤

【摘 要】 微專題復(fù)習(xí)與傳統(tǒng)的大專題復(fù)習(xí)相比切口小，針對性強(qiáng)，逐漸成為教師課堂教學(xué)的重要組成部分。基于數(shù)學(xué)模型進(jìn)行基礎(chǔ)知識的深入研究，是設(shè)計(jì)“微專題”的一種重要方式。在圓錐曲線定義求最值中的應(yīng)用教學(xué)案例中，通過問題模型分析、模型應(yīng)用改造等方式，優(yōu)化學(xué)生知識結(jié)構(gòu)，強(qiáng)化學(xué)生的思維方法，提高學(xué)生利用數(shù)學(xué)模型的能力，培養(yǎng)學(xué)生建模的思想。

【關(guān)鍵詞】 微專題? 課堂教學(xué)? 高中數(shù)學(xué)? 數(shù)學(xué)建模

1. 問題提出

微專題主要是對學(xué)生理解的漏點(diǎn)、盲點(diǎn)、疑點(diǎn)和難點(diǎn)有針對性地展開教學(xué)，提高數(shù)學(xué)知識的組織程度，完善數(shù)學(xué)知識在頭腦中的表征方式，促進(jìn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí)，優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)知識的認(rèn)知結(jié)構(gòu)。微專題復(fù)習(xí)的建構(gòu)可以基于數(shù)學(xué)模型研究、重要方法應(yīng)用、教材習(xí)題變式、試卷講評拓展等。數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)從某種意義上說是模型的學(xué)習(xí)。數(shù)學(xué)建模是一種數(shù)學(xué)思維方法，是一種問題解決方法，包括對問題進(jìn)行抽象、簡化，建立模型、求解模型、驗(yàn)證模型的求解全過程。在復(fù)習(xí)課中，教師圍繞一些具體問題的解決抽象出數(shù)學(xué)模型，并結(jié)合數(shù)學(xué)模型遷移、應(yīng)用設(shè)置“微專題”，有利于學(xué)生感悟數(shù)學(xué)本質(zhì)，提升數(shù)學(xué)學(xué)科素養(yǎng)。 最值問題貫穿高中階段數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)，函數(shù)、不等式、幾何性質(zhì)等是我們解決最值問題的主要手段。下面以“圓錐曲線定義在求最值中的應(yīng)用”為例，談一下基于數(shù)學(xué)模型研究微專題教學(xué)。

2. 案例? 圓錐曲線定義在求最值中的應(yīng)用

2.1 追根溯源 明確問題模型

問題1. 已知P點(diǎn)是拋物線y = 4x2上的動點(diǎn)，點(diǎn)P在y軸的射影是點(diǎn)M，又點(diǎn)A（7， 8），則|PA| + |PM|的最小值是? ?。

方法：|PA| + |PM|=|PA| + （|PN| - 1） =|PA| + |PF| +1 ≥|AF| - 1 = 9

問題2. 已知P（x， y）是拋物線y = 4x2上的點(diǎn)，則-x的最大值是? ?。

方法：|PA| - |PM|=|PA| - （|PN| - 1） =|PA| - |PF| +1 ≤|AF| + 1 = 1 + 2

問題1，2都是以拋物線為幾何背景，在拋物線上選取一點(diǎn)滿足線段之和最小，線段之差最大，上述兩個問題對應(yīng)的基本模型如下：

[模型一：異側(cè)和最小]

[模型二：同側(cè)差最大]

當(dāng)動點(diǎn)在直線上運(yùn)動求最值時，通過點(diǎn)關(guān)于線對稱實(shí)現(xiàn)定點(diǎn)的異側(cè)和同側(cè)，而問題1和問題2動點(diǎn)位于拋物線上，不能通過點(diǎn)關(guān)于線對稱轉(zhuǎn)化成模型一和模型二的情景，這里利用的是拋物線的定義進(jìn)行轉(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化為異側(cè)和最小，同側(cè)差最大的模型，解決問題的關(guān)鍵就是明確問題模型，利用合適的方法和手段，進(jìn)行問題變換符合模型，進(jìn)而利用模型求解。

2.2 利用技術(shù)手段，直觀感受模型

“微專題”的深層次以及模型的抽象性都增加了學(xué)生理解的難度，特別是對一些基礎(chǔ)薄弱的同學(xué)理解上會有困難，因此在處理問題和理解模型的過程中，可以使用幾何繪圖板或者Geogebra動態(tài)展示學(xué)生的觀察結(jié)果這樣，容易給學(xué)生直觀的感受，提高認(rèn)識問題的深度和廣度。

2.3 合理編制變式，加深模型理解

變式：（1）若P是橢圓 + =1上的動點(diǎn)，F(xiàn)是橢圓的右焦點(diǎn)，則的最小值是? ?。

（2）已知F是雙曲線 -? = 1的左焦點(diǎn)，A（1， 4），P是雙曲線右支上的動點(diǎn)，則|PA| + |PF|的最小值為? ?。

“微專題”往往題量不多，通過合理手段，產(chǎn)生相關(guān)變式。有效變式是一種重要的方法，對典型問題進(jìn)行一題多變，有利于學(xué)生從不同的背景中掌握通性通法，透過問題的表面看本質(zhì)。這兩個變式通過改變曲線類型，把原來的拋物線變?yōu)殡p曲線和橢圓，進(jìn)一步鞏固對問題模型的認(rèn)識，同時加深對圓錐曲線定義的理解。

3. 深化理解，提高數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)

通過此類問題歸類解析可知：緊扣圓錐曲線的“定義”和“圖形”加以思考，借助“定義”進(jìn)行合理轉(zhuǎn)化，把問題轉(zhuǎn)化為已知模型是解決關(guān)鍵所在。在理解模型和應(yīng)用模型的過程中，不僅包含思想策略的順利遷移，更重要的是蘊(yùn)含創(chuàng)造性潛能的開發(fā)，里面包括模型的改造，手段的變化等。這對于培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理和數(shù)學(xué)建模的素養(yǎng)有著非常重要的意義。

參考文獻(xiàn)

[1] 曾榮.“微專題復(fù)習(xí)”：促進(jìn)深度學(xué)習(xí)的方式[J].教育研究與評論，2016（04）：28-34.

[2] 李世賓.借助“定義”巧解圓錐曲線中的最值問題[J].中學(xué)數(shù)學(xué)，2020（04）：26-27.