建立模型探究?jī)山呛偷娜呛瘮?shù)公式

廣東省深圳實(shí)驗(yàn)學(xué)校初中部(518028) 鄧 旭

近年的中考試卷中出現(xiàn)了個(gè)別“涉高題”,如用初中學(xué)段的知識(shí)比較繁瑣,而用高中的知識(shí)極容易解決.從培養(yǎng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和探究精神出發(fā),老師不妨引導(dǎo)學(xué)生利用現(xiàn)有知識(shí)鉆研探索,從而推導(dǎo)得出一些有趣、有用的結(jié)論,讓學(xué)生更有成就感.兩角和的三角函數(shù)公式的推導(dǎo)及應(yīng)用本屬高中教材中的內(nèi)容,在初中階段還不要求學(xué)生掌握,但在一些中考題中有所呈現(xiàn),我們通過(guò)構(gòu)建兩角和模型,鼓勵(lì)學(xué)生大膽探索推導(dǎo)出兩角和三角函數(shù)公式,在理解公式的基礎(chǔ)上應(yīng)用解題,達(dá)到事半功倍的效果.

1 問(wèn)題導(dǎo)入

例1 如圖1,在邊上相同的小正方形組成的網(wǎng)格中,點(diǎn)A、B、C、D都在這些小正方形的頂點(diǎn)上,AB和CD相交于點(diǎn)P,則tan ∠APD的值為_(kāi)_______.

圖1

常規(guī)解題思路: 如圖2 , 連接BE交CD于F, 由題意易得BF=CF=DF, ΔACP∽ΔBDP, 由相似三角形的對(duì)應(yīng)邊成比例, 易得DP:CP= 1 : 3, 即可得PF:CF=PF:BF= 1 : 2, 在RtΔPBF中, 即可求得tan ∠BPF的值,繼而求得答案.

圖2

由圖1可知, ∠APD= ∠PAC+ ∠PCA, 且tan ∠PAC=tan ∠PCA= 1, 能否由此求出tan ∠APD的值,更值得期待的是,如果能找出兩角和的三角函數(shù)公式,那么當(dāng)點(diǎn)D移到其它格點(diǎn)(如D1,D2,D3,D4)位置時(shí)也能輕易求出tan ∠APD的值(如圖3).

圖3

2 模型探究

建立兩角和的模型: 如圖4,矩形ABCD中,E、F分別在邊CD、AD上, ∠EBC=α, ∠EBF=β,EF⊥EB, 設(shè)BC= 1.能否用含α、β的三角函數(shù)表達(dá)式表示出其他的所有邊.

圖4

組織學(xué)生探索四個(gè)直角三角形:

(1)RtΔBCE中,CE=tanα,BE=.

(2)RtΔBEF中,BF=,EF=.

(3) RtΔDEF中, ∠DEF=α,DE= tanβ,DF=tanαtanβ.

(4)RtΔABF中,∠AFB=α+β,AF=AD ?DF=1?tanαtanβ,AB=tanα+tanβ.

由此可得:

3 應(yīng)用解題

應(yīng)用2,如圖5,拋物線y=ax2+bx+2 經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(?1,0),B(4,0),交y軸于點(diǎn)C;

圖5

(1)求拋物線的解析式(用一般式表示);

(2) 點(diǎn)D為y軸右側(cè)拋物線上一點(diǎn), 是否存在點(diǎn)D使若存在請(qǐng)直接給出點(diǎn)D坐標(biāo);若不存在請(qǐng)說(shuō)明理由;

(3)將直線BC繞點(diǎn)B順時(shí)針旋轉(zhuǎn)45°,與拋物線交于另一點(diǎn)E,求BE的長(zhǎng).

簡(jiǎn)析: 本題為深圳市2017年中考?jí)狠S題.

(1)、(2)皆常規(guī)題型,略.

(3) 求得直線BE解析式是關(guān)鍵, 聯(lián)立直線BE和拋物線解析式可求得E點(diǎn)坐標(biāo), 則可求得BE的長(zhǎng).求得直線BE解析式方法多種, 如利用全等或相似等知識(shí)先求出直線BE上的一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo), 進(jìn)而求得直線BE解析式; 還可以設(shè)直線BE與y軸交于點(diǎn)F, 由題可易求,tan ∠FBC= tan 45°= 1, 由公式tan(α+β) =得, tan ∠ABF= 3, 進(jìn)而求得OF=12,直線BE解析式為y=?3x+12.