巧用數(shù)學(xué)模型解初中幾何題
——解答一道壓軸題的幾點思考

廣東省廣州市南沙欖核中學(xué)(511480) 周玉珍

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》特別強(qiáng)調(diào):“數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的積累是提高學(xué)生數(shù)學(xué)素養(yǎng)的重要標(biāo)志.幫助學(xué)生積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo),是學(xué)生不斷經(jīng)歷、體驗各種數(shù)學(xué)活動過程的結(jié)果”.積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗的目的之一是建立數(shù)學(xué)的感悟、數(shù)學(xué)的直觀.

縱覽全國各地的中考試題,在數(shù)學(xué)的幾何題中往往都是考驗學(xué)生綜合應(yīng)用并兼顧各個知識點融會貫通的能力的,尤其是在壓軸題考查中體現(xiàn)得更是淋漓盡致.因此,學(xué)生要順利解出幾何題的關(guān)鍵是從題目的語言敘述中獲取“符號信息”,從題目的圖象、圖形中獲取“形象信息”,靈活應(yīng)用定義、公式、性質(zhì)、定理進(jìn)行計算和推理.運用各種數(shù)學(xué)思想,學(xué)會構(gòu)建并熟練選用合適的數(shù)學(xué)模型方能更快更好解決幾何問題.

以2020年廣州市南沙區(qū)初三一模第16 題這一壓軸題為注腳,將常見的數(shù)學(xué)模型構(gòu)建的方法做深入剖析.

1 原題目呈現(xiàn)

如圖1, 在邊長為a的正方形ABCD中, 點M為CB的延長線上的動點, 線段MN⊥AM于點M, 且與∠BCD的外角平分線交于點N, 直線AN與邊BC交于點E, 與DC的延長線交于點F.下列結(jié)論:

圖1

①∠BAM= ∠CAE; ②AE=EF; ③AC+CN=④AF平分∠MFD; ⑤ΔMCF的周長為定值.其中正確的是____.

2 分析與解決

在這題中,看到圖形就會覺得很復(fù)雜,有無從下手的感覺.可是我們把它逐一分解,從各個已知條件出發(fā),分析條件可得到的結(jié)論,再結(jié)合數(shù)學(xué)模型進(jìn)行分析找切入點,問題就會慢慢解決的了.

下面為題目的分析:

分析1: 如圖2 所示:

圖2

在題中說到正方形ABCD, 根據(jù)“正方形的性質(zhì)”可得AB=AD=BC=CD, ∠BAD= ∠ABC=∠BCD= ∠ADC= 90°,AC平分∠BAD和∠BCD,所以∠BAC= ∠DAC= ∠BCA= ∠DCA= 45°.由題知CN平分∠BCD的外角, 而∠BCD= 90°, 則∠BCF= 90°, 所以∠BCN= ∠FCN= 45°.于是∠ACN= ∠BCA+∠BCN= 45°+45°= 90°.由已知MN⊥AM可得∠AMN= 90°= ∠ACN, 而AN為這兩個直角所對的公共斜邊, 所以利用“四點共圓模型”, 根據(jù)“90°的圓周角所對的弦是直徑”就可知道點A、M、N、C四點共圓, 都在以AN為直徑的圓上.于是根據(jù)“同弧或等弧所對的圓周角相等”可得∠CAE= ∠CMN.又因為∠ABC= 90°, ∠AMN= 90°, 所以利用“三垂直模型”可得∠BAM+ ∠BMA= 90°, ∠CMN+ ∠BMA= 90°,根據(jù)“同角的余角相等”可得∠BAM= ∠CMN, 因此∠BAM=∠CAE.

所以①∠BAM=∠CAE是正確的.

分析2: 如圖3 所示:

圖3

由分析1 知∠BAM= ∠CAE, 所以∠MAF=∠BAM+∠BAE= ∠CAE+∠BAE= ∠BAC= 45°,于是利用“旋轉(zhuǎn)半角模型”,把ΔBAM繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得ΔDAG, 由“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”可知ΔBAMΔDAG,∠GAM= ∠DAB= 90°,AG=AM, 所以∠GAF=∠GAM ?∠MAF= 90° ?45°= 45°= ∠MAF.又因為AF為公共邊,所以利用“三角形全等之SAS(公共邊)模型”, 根據(jù)三角形的全等判定方法“兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等”可知ΔAFMΔAFG, 所以∠AFM=∠AFD,即AF平分∠MFD.

所以④AF平分∠MFD是正確的

分析3: 如圖4 所示:

圖4

由分析2 知∠MAF=45°,由MN⊥AM知∠AMN=90°, 則∠MNA= 45°= ∠MAF, 所以AM=MN, 由分析1 知道, 點A、M、N、C四點共圓.所以把ΔMNC繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)90°可得ΔMAH, 由“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”可知ΔMNCΔMAH, ∠MAH= ∠MNC,MH=MC,AH=CN,∠HMA= ∠CMN, 又根據(jù)“圓內(nèi)接四邊形的對角互補”可知∠MNC+ ∠CAM= 180°, 所以∠CAH=∠MAH+∠CAM=∠MNC+∠CAM=180°,因此點C、A、H三點共線.于是由“共頂點等線段模型”,依據(jù)“旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)”可知HC=AC+AH=AC+CN,∠HMC= ∠AMN= 90°.于是由“勾股定理”可得HM2+CM2=CH2, 所以2CM2= (AC+AH)2=(AC+CN)2,兩邊分別開方就可得到AC+CN=

所以③AC+CN=是正確的.

分析4: 動點問題建議作兩個不同位置的圖形進(jìn)行分析

對于結(jié)論②和⑤,我們只要按照題目意思多畫幾個不同位置的圖就可知道這兩個答案都是錯的.

3 解題與收獲

通過對這一題的分析與解決,對今后教學(xué)有幾點教學(xué)思考和啟示:

3.1 在解幾何題時,要注意條件之間的關(guān)系,結(jié)合要證明的結(jié)論選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行分析解答

在平時的教學(xué)中,教師要教會學(xué)生分析好題目的已知條件,從已知條件中得出盡量多一些結(jié)論以備用,并結(jié)合適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行思考.單個已知條件會有直接的結(jié)論,而多個已知條件組合也會有一些結(jié)論.如上題中正方形ABCD可以得到四邊相等,四個角都是直角,對角線平分每一組對角,得到∠BCD= 90°,∠BCA= 45°.∠BCD的外角平分線這個條件可得到∠BCN= 45°,兩個條件結(jié)合,則可得到∠ACN=90°.而由條件MN⊥AM則可得∠AMN=90°.由“直角所對的弦是直徑”可得AN是∠ACN和∠AMN所對的直徑,于是點A、M、N、C四點共圓,利用“四點共圓模型”,進(jìn)而得到∠CAE= ∠CMN.再根據(jù)“同角的余角相等”利用“三垂直模型”就可得到所求的結(jié)果1 了.雖然這樣的一個推理過程每步都要環(huán)環(huán)緊扣,但只要我們的基礎(chǔ)打扎實了,做出結(jié)論來也是不難的.

3.2 針對問題的結(jié)論,根據(jù)圖形的特點,選擇恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)模型進(jìn)行分析解答

教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生多運用逆向思維,想想怎樣的數(shù)學(xué)模型與圖中的形狀相似,運用什么樣的定理可以得到這樣的結(jié)論.這就要求教師對課本的定理非常熟悉,平時也要有良好的歸納總結(jié)的習(xí)慣.雖然有些難度,但?？嫉臄?shù)學(xué)模型不多,?？嫉慕Y(jié)論也不會太多, 所以平時多總結(jié)一定會有很大收獲的.正如上面題中的第1 個結(jié)論,求兩個角相等的求法就有等腰三角形中等邊對等角,三角形全等或相似,角平分線定義、兩直線平行,圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)和平移變換,在同圓中等弧對等角、等弦對等角,等量代換等.而題中的第2 個結(jié)論,求兩條邊相等的求法同樣有等腰三角形中等角對等邊,三角形全等,圖形的對稱、旋轉(zhuǎn)和平移變換,在同圓中等弧對等弦,等角對等弦,等量代換等.所有的這些做法都會有相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,結(jié)合題中的條件得到的結(jié)論,我們就不難找到相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解答了.

3.3 教師要求學(xué)生平時對定理和數(shù)學(xué)模型的理解必須到位

數(shù)學(xué)的定理是推理的重要依據(jù),每個定理與數(shù)學(xué)模型的條件與結(jié)論的關(guān)系, 一定要嚴(yán)格對應(yīng).如“共頂點等線段模型”,就要求兩條相等的線段必須要有公共的一個端點才能使用,而“四點共圓模型”則要求兩個直角所對的斜邊相同才能使用.只要平時養(yǎng)成好的推理習(xí)慣,那么這個工作也不會難了.

3.4 要培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣,多歸納數(shù)學(xué)模型以幫助之后的解題

著名數(shù)學(xué)教育家波利亞說,“如果沒有了反思,他們就錯過了解題的一次重要而有效益的機(jī)會”,“通過反思所完成的解答,通過重新考慮和重新檢查這個結(jié)果和得出這一結(jié)果的路子,學(xué)生們可以鞏固他們的知識和發(fā)展他們的解題能力.”可見,反思在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中具有重要的地位和作用.要在平時的教學(xué)中培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣.通過這個例題,可以看出解題后的反思的重要性.沒有反思就不可能產(chǎn)生這么多的想法,不會理解再復(fù)雜的數(shù)學(xué)壓軸題也是由若干個數(shù)學(xué)模型組合起來的,是可以通過建模的思想把原題分解成一個個的數(shù)學(xué)模型進(jìn)行解決,也不可能激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣,更不可能拓展學(xué)生的數(shù)學(xué)思維,掌握不了解數(shù)學(xué)題的本質(zhì).

綜上所述,教師在平時的教學(xué)中要讓學(xué)生熟記幾何的定義、定理、公式,同時掌握各類對應(yīng)的數(shù)學(xué)模型,引領(lǐng)學(xué)生學(xué)會挖掘題干信息,結(jié)合數(shù)學(xué)模型的圖形結(jié)構(gòu)把幾何數(shù)學(xué)壓軸題分解成多個數(shù)學(xué)模型,再結(jié)合數(shù)學(xué)模型的結(jié)論找到切入點解初中幾何題.這樣學(xué)生就可以比較順利地解出各類大家都感到壓力山大的幾何壓軸題了.