立足基礎(chǔ),穩(wěn)中求新,凸顯素養(yǎng)
——對(duì)一道數(shù)學(xué)中考?jí)狠S題的探索

廣東省中山市板芙鎮(zhèn)板芙初級(jí)中學(xué)(528400) 許景初

1 試題呈現(xiàn)

(2020年浙江金華第24 題)如圖,在平面直角坐標(biāo)系中,正方形ABOC的兩直角邊分別在坐標(biāo)軸的正半軸上,分別過OB,OC的中點(diǎn)D,E作AE,AD的平行線,相交于點(diǎn)F,已知OB=8.

(1)求證: 四邊形AEFD為菱形.

(2)求四邊形AEFD的面積.

(3)若點(diǎn)P在x軸正半軸上(異于點(diǎn)D),點(diǎn)Q在y軸上,平面內(nèi)是否存在點(diǎn)G,使得以點(diǎn)A,P,Q,G為頂點(diǎn)的四邊形與四邊形AEFD相似? 若存在,求點(diǎn)P的坐標(biāo);若不存在,試說明理由.

圖2(備用圖)

2 特色解讀

2.1 立足基礎(chǔ),盡顯人文關(guān)懷

試題立足基礎(chǔ), 題目簡(jiǎn)明, 內(nèi)涵豐富.研究背景是平面直角坐標(biāo)系下置入正方形, 限定了兩邊中點(diǎn), 提供兩條已知線段的平行線, 提供了正方形邊長(zhǎng)的長(zhǎng)度.壓軸題的第(1) 問考察特殊四邊形(菱形) 的判定, 屬于教學(xué)中常見常練的類型, 基礎(chǔ)性非常強(qiáng), 學(xué)生理應(yīng)掌握得較好.學(xué)生在論證四邊形AEFD為平行四邊形的基礎(chǔ)上, 可利用ΔACEΔABD(S A S)論證AD=AE, 或利用三角形的中位線性質(zhì)和正方形的性質(zhì)論證DE ⊥AF, 四邊形AEFD為菱形即可得證.第(1)問論證菱形,是學(xué)生熟悉感很強(qiáng)的題材,思維高度定在學(xué)生“跳一跳能摸到桃子”,第(2)問求四邊形AEFD的面積亦見學(xué)生基礎(chǔ),平面直角坐標(biāo)系的置入讓學(xué)生的思考方向有了更多可能.筆者認(rèn)為,思維路徑簡(jiǎn)單、直接, 難度小的問題設(shè)置, 不僅能穩(wěn)定學(xué)生的心態(tài),而且為解決后面問題做好鋪墊,盡顯命題者對(duì)考生的人文關(guān)懷.

2.2 立足能力,凸顯思維深度

試題入口淺,立意深,逐層深入,凸顯了思維深度.整體而言,命題者關(guān)注不同層次學(xué)生,讓不同思維水平的學(xué)生都能得到合理展現(xiàn).第(1)問注重基礎(chǔ),考察特殊四邊形(菱形)的判定,涉及正方形性質(zhì)、平行四邊形判定、全等三角形及菱形判定等知識(shí),突出知識(shí)立意,屬于常規(guī)問題.第(2)問難度拾級(jí)而上,從知識(shí)層面上看考察菱形面積的計(jì)算,從技能層面上看考查菱形的性質(zhì)、正方形性質(zhì)、中位線性質(zhì)、勾股定理、割補(bǔ)面積法、一次函數(shù)等,體現(xiàn)能力立意和價(jià)值立意,屬于中檔題.第(3)問區(qū)分度較高,學(xué)生先借助幾何直觀建構(gòu)5個(gè)符合條件的菱形,確定P點(diǎn)的存在,再通過邏輯推理求出P點(diǎn)坐標(biāo).這道題目解決始于幾何直觀,行于邏輯推理,終于代數(shù)運(yùn)算,突出學(xué)生能力培養(yǎng)的重要性,考察了學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).從思想層面上看,主要涉及幾何直觀、數(shù)形結(jié)合和轉(zhuǎn)化等數(shù)學(xué)思想,體現(xiàn)能力立意和價(jià)值立意,屬于難題,具有思維的廣度和深度.

2.3 穩(wěn)中求新,突出核心素養(yǎng)

縱觀試題,此壓軸題立意深遠(yuǎn),實(shí)為不可多得的好題.試題立足“四基”,穩(wěn)中出新,知識(shí)常規(guī)考察中體現(xiàn)創(chuàng)意,尤其體現(xiàn)在第三小問的問題設(shè)置上,考察菱形相似有新意,學(xué)生可將其轉(zhuǎn)化為三角形相似去解題,考察學(xué)生靈活運(yùn)用轉(zhuǎn)化數(shù)學(xué)思想的能力.推證P點(diǎn)坐標(biāo)的環(huán)節(jié),需要學(xué)生在理解題意基礎(chǔ)上精準(zhǔn)畫圖,采取“分類討論”思想繪制合理的圖形,然后靈活運(yùn)用菱形等性質(zhì)定理進(jìn)行邏輯推理,最后在“數(shù)形結(jié)合”下進(jìn)行代數(shù)計(jì)算,在問題解決中,畫圖與分析能力發(fā)揮了重要作用,使復(fù)雜的幾何問題迎刃而解.由此可見,學(xué)生解題過程中的畫圖不僅是一種技能,更是一個(gè)操作、觀察、思考,體現(xiàn)學(xué)生數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的過程[1].試題對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)建模、幾何直觀、邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等核心素養(yǎng)進(jìn)行全面且綜合的考察,充分體現(xiàn)從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意和價(jià)值立意,對(duì)教學(xué)有明晰導(dǎo)向作用.

3 試題簡(jiǎn)解

2020年浙江省金華中考數(shù)學(xué)第24 題雖說綜合性強(qiáng),但其所涉及的知識(shí)較常規(guī),因此學(xué)生只要扎實(shí)基礎(chǔ),勤于反思,善于總結(jié)和靈活運(yùn)用,便可順利解答.認(rèn)知結(jié)構(gòu)的完善和優(yōu)化,使得認(rèn)知水平提高,自然能產(chǎn)生越來越多的優(yōu)解,解法會(huì)越顯簡(jiǎn)捷.

第(1)問分析: 證明四邊形AEFD為菱形,只要論證四邊形AEFD為平行四邊形,外加一組鄰邊相等或?qū)蔷€互相垂直即可得證,屬于常規(guī)問題.

解法1: 如圖3, 因?yàn)锳E,AD的平行線分別為DF,EF, 所以四邊形AEFD為平行四邊形.又因?yàn)橐鬃CΔACEΔABD(S A S) , 所以AE=AD.所以四邊形AE,AD為菱形,得證.

圖3

解法2: 如圖4, 聯(lián)結(jié)AF, 根據(jù)對(duì)稱性,A、F、O三點(diǎn)共線, 聯(lián)結(jié)DE,BC分別交AF于點(diǎn)H,K.因?yàn)檎叫蜛BOC,所以BC ⊥AO,又因?yàn)镈E為ΔBOC的中位線,所以DE//BC,故DE ⊥AF.易證四邊形AEFD為平行四邊形,所以四邊形AEFD為菱形,得證.

圖4

第(2)問分析: 求解四邊形AEFD(菱形)的面積,采取“底乘以高”不可取,學(xué)生如果抓住這個(gè)方法不放,那會(huì)吃力不討好.需要用“割補(bǔ)思想”或者用“對(duì)角線乘積的一半”求解,亦可嘗試使用函數(shù)的方法求解.不同方法的選擇導(dǎo)致解題思維的難易程度不一樣,計(jì)算量差別很大,凸顯了方法選擇的重要性,屬于中檔難度.

解法3: 如圖5, 聯(lián)結(jié)DE, 由正方形四邊都等于8, 點(diǎn)E,F分別為正方形OA,OC邊點(diǎn)中點(diǎn), 得CE=DE=BD=OD=4,由正方形的四個(gè)角都是直角,可得正方形和ΔACE,ΔABD和ΔDOE的面積,然后正方形ABOC的面積分別減去3 個(gè)三角形的面積,得到ΔADE的面積,翻倍即可得到菱形AEFD的面積為48.

圖5

圖6

圖7

解法6: 如圖8, 過點(diǎn)F分別作FM ⊥AC延長(zhǎng)線于點(diǎn)M,FN ⊥AB延長(zhǎng)線于點(diǎn)N.易證四邊形ANFM是正方形, 且點(diǎn)F(?4,?4).將數(shù)據(jù)代入S菱形AEF D=S正方形ANF M ?2(SΔABD+S直角梯形DBNF)可得結(jié)果.

圖8

解法7: 如圖9, 因?yàn)锳(8,8),D(4,0), 易得直線AD為y=2x ?8,因?yàn)锳D平行于EF,且EF經(jīng)過E(0,4),所以直線EF為y= 2x+4,故直線EF與x軸交點(diǎn)L(?2,0),所以DL=6.易證點(diǎn)F坐標(biāo)(?4,?4),所以,

圖9

第(3)問分析: 本題是壓軸題中的重頭戲,一改熟悉的考察相似三角形方式,換成論證相似多邊形的存在.因?yàn)榱庑嗡倪呄嗟?只要有一個(gè)內(nèi)角相等,兩菱形就會(huì)相似,由此四邊形相似轉(zhuǎn)化為三角形相似;而找等角的過程,借助銳角三角函數(shù),跟直角三角形中某些邊的比建立相互轉(zhuǎn)換關(guān)系.學(xué)生需要對(duì)相關(guān)概念理解透徹,懂得將問題轉(zhuǎn)化為尋找相似的等腰三角形.從知識(shí)立意轉(zhuǎn)向能力立意、價(jià)值立意,屬于難題.

本題的解決需要完成兩個(gè)問題.第一個(gè)問題是尋找符合條件的菱形,分兩種情況討論: 第一種是頂點(diǎn)A上的內(nèi)角大小等于∠ADF,如圖10、11、12 三種情形; 第二種是頂點(diǎn)A上的內(nèi)角大小等于∠DAE,有兩種情形,如圖13、14.第二個(gè)問題是求解OP的長(zhǎng)度.因?yàn)榱庑蜛EFD與目標(biāo)四邊形相似,原圖菱形AEFD中,DH:AH=1:3,所以目標(biāo)四邊形(菱形)對(duì)角線相交形成的直角三角形的對(duì)應(yīng)直角邊的比為1:3.

解法8: 根據(jù)題意可繪制出5 個(gè)符合條件的圖例,然后依次推理論證,利用數(shù)學(xué)運(yùn)算求得符合題意的點(diǎn)的坐標(biāo).分類討論:

1)當(dāng)頂點(diǎn)A上的內(nèi)角大小等于∠ADF時(shí),滿足條件共分圖10、圖11 和圖12 三種情況:

圖10

圖11

圖12

③如圖12, 菱形AQ3P3G, 點(diǎn)G在正方形外.當(dāng)∠Q3AG=∠ADF,AQ3=AG時(shí),菱形AQ3P3G滿足條件.過點(diǎn)H作x軸的平行線,分別交y軸于點(diǎn)N,交AB于點(diǎn)R,過點(diǎn)P作P3M ⊥NH于點(diǎn)M,易證ΔP3MH∽ΔHNQ3,所以MP3:NH=P3H:Q3H= 1 : 3.因?yàn)镠是AP3的中點(diǎn), 所以MP3=NO= 4, 所以NH= 12, 所以RH=NH ?NR= 4,由RH是ΔABP3 的中位線,可得BP3=8,故OP3 =16,所以P3坐標(biāo)為(16,0).

2)當(dāng)頂點(diǎn)A上的內(nèi)角大小等于∠DAE時(shí),滿足條件共有圖13、圖14 兩種情況:

圖13

圖14

4 教學(xué)導(dǎo)向分析

4.1 關(guān)注“四基”,讓素養(yǎng)“生長(zhǎng)”有根

波利亞說:“如果你想學(xué)會(huì)游泳,你必須下水;如果你想成為解題能手,你必須解題”.縱觀全國各地中考?jí)狠S題的命制,依托教材中經(jīng)典習(xí)題例題或改編,或深度挖掘與拓展,因此教師要聚焦課堂教學(xué),努力做到“數(shù)學(xué)知識(shí)的深刻理解”,而不是知識(shí)的簡(jiǎn)單積累[2].如這道題中第(1)問推證特殊平行四邊形的課堂突破,在教學(xué)中我們應(yīng)加強(qiáng)對(duì)菱形定義和性質(zhì)及判定的研究,類比平行四邊形和矩形的學(xué)習(xí),使學(xué)生經(jīng)歷探討菱形性質(zhì)和判斷的學(xué)習(xí)過程,使學(xué)生積累學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)和形成解題策略.課堂上教師應(yīng)注重對(duì)“核心概念”與“核心問題“的提煉,以及重要數(shù)學(xué)思想的梳理,實(shí)現(xiàn)學(xué)生的深度學(xué)習(xí).

教師還應(yīng)立足教材,關(guān)注“四基”,善于發(fā)現(xiàn)和揭示各類問題的本質(zhì),引導(dǎo)學(xué)生領(lǐng)悟概念的內(nèi)涵和外延,體會(huì)基本結(jié)構(gòu)的“生長(zhǎng)性”.日常教學(xué)中,教師可動(dòng)態(tài)演示平行四邊形變成菱形的過程,使學(xué)生對(duì)菱形與平行四邊形的關(guān)系形成深刻印象.引導(dǎo)學(xué)生認(rèn)識(shí)到,菱形是有一組鄰邊相等的特殊平行四邊形,積累學(xué)生對(duì)問題規(guī)律的認(rèn)識(shí),積累基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn).第(2)問中計(jì)算菱形面積的方法研究,在教材例題中也常有涉及.如在人教版教材八年級(jí)下冊(cè)18.2.2 菱形一節(jié)的例題教學(xué)中,教師應(yīng)引導(dǎo)學(xué)生掌握不同的計(jì)算菱形面積的方法,除應(yīng)用計(jì)算平行四邊形面積的一般方法外,還可以應(yīng)用菱形的對(duì)角線計(jì)算面積,應(yīng)用時(shí)可以根據(jù)已知條件靈活選擇方法.教師通過對(duì)教材例題、習(xí)題蘊(yùn)含豐富的教育教學(xué)價(jià)值,深挖細(xì)品,適時(shí)而用,實(shí)現(xiàn)課堂高效,實(shí)現(xiàn)學(xué)生核心素養(yǎng)的課堂落地,讓素養(yǎng)“生長(zhǎng)”有根.

4.2 培養(yǎng)“圖感”,讓思維“生長(zhǎng)”有徑

圖感是實(shí)現(xiàn)將問題化抽象為直觀、化繁為簡(jiǎn)的法寶.在教學(xué)過程中,教師們要引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行適當(dāng)畫圖訓(xùn)練,培養(yǎng)學(xué)生的“圖感”,促使學(xué)生形成“圖形語言”的解題能力.考生在本道題解決首先遇到的最大障礙就是不能畫出符合條件的菱形,事實(shí)上壓軸題的大關(guān),正是在于學(xué)生能否運(yùn)用“圖感”合理制圖,在圖形語言的引導(dǎo)下,學(xué)生形成簡(jiǎn)明的解題思路和方法.第(3)問找符合條件的P點(diǎn)的過程,其本質(zhì)上是借助幾何直觀準(zhǔn)確完成5 個(gè)制圖,然后邏輯推理論證,最后數(shù)形結(jié)合進(jìn)行計(jì)算的過程.

這道題屬于解決“存在性”形式問題,學(xué)生不能精準(zhǔn)畫圖和分析,究其根源是學(xué)生的幾何直觀能力不足,思維受阻.圖感的缺失,導(dǎo)致學(xué)生缺少簡(jiǎn)明的解題思路和方法,無法通過類比、遷移形成有效的解題策略.學(xué)生“圖感”的培養(yǎng),教師可通過日常教學(xué)中適當(dāng)?shù)漠媹D來訓(xùn)練.培養(yǎng)學(xué)生“圖感”是實(shí)現(xiàn)學(xué)生思維發(fā)展的一個(gè)途徑,是培養(yǎng)學(xué)生類比、遷移,形成有效的解題策略的過程.熟練畫出各類圖形,并使用圖表清晰表述出平行四邊形、矩形、菱形和正方形的聯(lián)系與區(qū)別,有利于學(xué)生掌握?qǐng)D形的概念和性質(zhì);教師通過圖形訓(xùn)練,激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣,活躍學(xué)生的思維,對(duì)學(xué)生的思維能力有好處.基于此,教學(xué)中教師應(yīng)重視培養(yǎng)學(xué)生“圖感”,并力求教學(xué)過程貫通規(guī)律探究和思維形成訓(xùn)練,以此提高學(xué)生思維的條理性、邏輯性和簡(jiǎn)潔性,讓學(xué)生的思維“生長(zhǎng)”有徑.

4.3 聚焦能力,讓課堂教學(xué)“有方”

教學(xué)應(yīng)聚焦學(xué)生良好學(xué)習(xí)習(xí)慣和綜合能力的培養(yǎng).這道中考?jí)狠S題的解決聚焦在學(xué)生綜合能力,第(1)問“證明四邊形AEFD是菱形”考察學(xué)生的邏輯推理能力,第(2)問“計(jì)算四邊形AEFD的面積”考察學(xué)生的推理能力和計(jì)算能力,第(3)問更是壓軸題良好區(qū)分度和可信度的體現(xiàn),學(xué)生的綜合能力成為解題的關(guān)鍵.壓軸最后一問既綜合考核了學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng),也承接了中考的選拔功能,既要有幾何直觀能力來畫出圖形,又要能充分利用圖形語言,靈活運(yùn)用性質(zhì)定理進(jìn)行邏輯推理,最后“數(shù)形結(jié)合”進(jìn)行數(shù)學(xué)運(yùn)算,有很大難度和區(qū)分度.

基礎(chǔ)是考查的永恒主體,是形成數(shù)學(xué)能力的重要載體和抓手.在教學(xué)中教師要立足基礎(chǔ),引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)探尋解決數(shù)學(xué)問題的規(guī)律和方法,培養(yǎng)學(xué)生良好的數(shù)學(xué)思維習(xí)慣,并積累豐富的解題經(jīng)驗(yàn).因壓軸題具有解題思路方法多樣性和入口寬廣性,不同的解題思路繁簡(jiǎn)程度不一,對(duì)應(yīng)思維深度和解題長(zhǎng)度大相徑庭.因此,教師應(yīng)在基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想和基本活動(dòng)經(jīng)驗(yàn)四個(gè)方面予以重視,在學(xué)生數(shù)學(xué)核心概念、原理學(xué)習(xí)教學(xué)中下足功夫,培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng),以適應(yīng)時(shí)代的需要.不管怎么改變壓軸題的考察方式,教學(xué)都應(yīng)聚焦能力培養(yǎng),突出價(jià)值取向,讓學(xué)生“學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光觀察現(xiàn)實(shí)世界,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的思維思考現(xiàn)實(shí)世界,學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)現(xiàn)實(shí)世界”,實(shí)現(xiàn)教學(xué)的可持續(xù)發(fā)展.