非高斯高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌的表征

李炯，林煒軒，程鶴登，陳榕杰，王江涌

（汕頭大學 理學院，廣東 汕頭 515063）

表面粗糙度是評定各機械零件表面加工質(zhì)量的一個重要指標。表面粗糙度理論及標準在過去的幾十年里得到了巨大的發(fā)展，出現(xiàn)了接觸式（比較法、印模發(fā)和觸針法）和非接觸式（光切法、實時全息法、散斑法、光外差干涉法和AFM測量法）的粗糙度測量方法[1—2]。而隨著微機處理技術(shù)、集成電路技術(shù)等的發(fā)展，出現(xiàn)了圖像法、分形法、Motif 法、功能參數(shù)集法等各種評定方法[3—6]。由于對表面形貌描述的精度需求不斷增加，導致了描述表面粗糙度的參數(shù)也在不斷增加。我國 GB/T 3505—2009推薦了18個二維粗糙度參數(shù)專業(yè)術(shù)語用，以描述二維表面形貌特征[7]。而多達41個粗糙度參數(shù)卻又給實際應用帶來了不便[8]。

高度分布函數(shù)是評估表面形貌的一個非常重要的指標，雖然它直觀地給出了表面形貌高度的分布情形，但它與表面形貌并非有著一一對應的關(guān)系。同一高度分布函數(shù)可以產(chǎn)生各種各樣的表面形貌，而不同的高度分布函數(shù)又可以用同樣的方式構(gòu)造出有關(guān)聯(lián)的表面形貌。一般情況下，表面形貌的高度分布函數(shù)滿足高斯型分布函數(shù)分布，但并非所有的表面形貌都滿足高斯型分布[9—10]。本文用同一高度分布函數(shù)(包括高斯和非高斯型)構(gòu)造不同的表面形貌，同時，用不同高度分布函數(shù)以同樣的方式構(gòu)造出表面形貌，再研究表征這些表面形貌各參數(shù)之間的關(guān)系。特別討論了非高斯型高度分布函數(shù)對表征表面形貌高度類粗糙度參數(shù)的影響，并在此基礎(chǔ)上提出了可以簡化表征參數(shù)數(shù)目的方案。

1 表征參數(shù)與高度分布函數(shù)

1.1 表面形貌的表征參數(shù)

現(xiàn)今評估和衡量表面形貌粗糙度的參數(shù)多達 41個，其大致可以分為：高度類參數(shù)(Amplitude parameters)、間距類參數(shù)(Spacing parameters)和混合類參數(shù)(Hybrid parameters)。不同類型的參數(shù)描述的對象有所差異，高度類參數(shù)對應于表面形貌的縱向特性評定，間距類參數(shù)對應于表面形貌的橫向特性評定，混合類參數(shù)是高度信息和間距信息的結(jié)合，任意高度或間距的變化都會導致混合類參數(shù)的改變[8]。其中，高度類參數(shù)作為比較重要的參數(shù)，多應用于對表面形貌的描述[6,12]。因此，本文選取高度類的 16個參數(shù)來表征所構(gòu)造的表面形貌的相關(guān)特征，見表1。

表1 高度類參數(shù)列表Tab.1 List of the amplitude parameters

1.2 高度分布函數(shù)

高度分布函數(shù)（Height Distribution Function，HDF）是對表面形貌的高度分布進行統(tǒng)計的直方圖。因為表面形貌是由很多不同高度的點組成，可以將表面形貌看作一個數(shù)組。統(tǒng)計表面形貌在[y,y+δy]高度范圍內(nèi)的點數(shù)，當δy的值趨于零時，就能夠得到高度為y所對應的點數(shù)n。將y作為橫軸，n作為縱軸，就可以得到該表面形貌所對應的高度分布函數(shù)（HDF）。如圖1所示，左邊為表面形貌的剖面圖（profile），右邊即為表征該剖面的高度分布函數(shù)。圖2給出了本文將要討論的6種不同的高度分布函數(shù)。高度分布函數(shù)不僅包含了表面形貌的高度信息，而且還可以通過其構(gòu)造各種新的表面形貌。

2 同一高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌特征

2.1 余弦型高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面形貌

給定一個余弦型的高度分布函數(shù)：h代表高度，p代表點數(shù)，-π/2≤h≤π/2（如圖 2b所示）。當?取一定的抽樣間隔時（如h=0.0001時），則高度h和對應的點數(shù)p都被分為一系列不連續(xù)的數(shù)值，那么就可以將h和p視作數(shù)組。表面形貌對應的數(shù)組y大小為∑p，然后采用隨機（或某一特定）的取點排列形式，將點數(shù)p隨機賦值到數(shù)組y中，就構(gòu)造出一個表面形貌。

通過計算機模擬，可以得到一系列隨機排列、數(shù)組的大小均為∑p的表面形貌，具體的構(gòu)建方法如下：

1）對數(shù)據(jù)進行預處理，利用計算機的隨機函數(shù)，選取表面形貌的隨機起點h0，則其對應的點數(shù)為p(h0)。

2）判斷原始數(shù)組p是否為零，如是，結(jié)束程序。

3）通過隨機函數(shù)，確定從原始數(shù)組取高度點的方向（左/右）、取點范圍Δh和取點間距n。

4）判斷高度對應的點數(shù)p(?)是否為為零，如不是，保存?，點數(shù)p(?)自減 1，跳到下一個高度?+n。

5）判斷高度?+n是否大于Δh，如是，返回第2步；否則，執(zhí)行第4步。

通過上述隨機取點、放置的方式，本文構(gòu)建了一系列不同的隨機數(shù)組，即一系列不同的、服從同一個余弦型高度分布函數(shù)的表面形貌。

2.2 參數(shù)統(tǒng)計

通過模擬，可以得到一系列隨機排列、數(shù)組大小均為∑p的表面形貌。本部分共進行多次模擬，并選取其中10組數(shù)組（表面形貌）作為實驗對象。分別對所構(gòu)造的表面形貌的高度類粗糙度參數(shù)進行統(tǒng)計，結(jié)果如下。

2.2.1 與高度位置無關(guān)的參數(shù)

在高度類粗糙度參數(shù)中，Ra、Rq、Rsk和Rku與高度位置信息無關(guān)，因此，對所構(gòu)造的10個表面形貌來說，這4個參數(shù)保持一致，其大小Ra=0.577 μm，Rq=0.691 μm，Rsk=?1.30×10?5，Rku=2.194。

由于Ra與Rq反映的都是輪廓高度的變化情況，只要整體的表面形貌高度信息保持不變（即同一個高度分布函數(shù)），則Ra和Rq的數(shù)值都會保持一致，無論表面形貌的高度是按何種方式來隨機排列。

表面形貌的偏度Rsk通常是用來衡量表面形貌關(guān)于中線的對稱性。對于對稱的高度分布函數(shù)，表面形貌的偏度為零。這個參數(shù)可以分辨具有相同Ra、Rq參數(shù)的不同表面形貌。因為高度分布函數(shù)包含了除位置外所有的高度信息，所以，這10個表面形貌的數(shù)組元素都取自同一高度分布函數(shù)，其數(shù)組元素一樣，只是分配的位置不同。因此，Rsk參數(shù)具有相同的值。

表面形貌的峰度Rku通常是用來描述表面形貌的陡峭程度。如果Rku＜3，則表面形貌處于平峰態(tài)，只有少量尖銳的波峰和波谷；如果Rku＞3，則說明表面形貌處于尖峰態(tài)，具有較多尖銳的波峰和波谷。與Rsk參數(shù)相似，由于10個表面形貌的數(shù)組元素一樣，只是位置不同，所以表面形貌所包含的尖銳波峰和尖銳波谷數(shù)量應該具有一致性，Rku的數(shù)值也相同。

2.2.2 由波峰、波谷決定的高度參數(shù)

由波峰、波谷決定的參數(shù)分別為：Rp（最大峰值）、Rv（最大谷值）、Rpm（輪廓峰平均高度）、Rvm（輪廓谷平均深度）、Rmax（輪廓最大的高度）和k（輪廓度因子）。其中，Rp、Rv、Rmax和k的數(shù)值分別具有相同的數(shù)值，與表面形貌的高度位置無關(guān)，且Rp=1.507 μm，Rv=1.508 μm，Rmax=3.141 μm，k=0.500；Rpm和Rvm的數(shù)值隨著表面形貌的不同而不同，如圖3所示（圖中的橫坐標1至10表示表面形貌的編號，以下類同）。

由于給定的高度分布函數(shù)滿足-π/2≤h≤π/2，即高度的最小值、最大值分別是-π/2和π/2，因此構(gòu)建出的表面形貌最大谷值Rv和最大峰值Rp分別為-π/2和 π/2。此外，因為另一高度粗糙度參數(shù)Rmax=Rp+Rv，根據(jù)以上的論述，Rmax的數(shù)值必定為π。而k=Rv/Rmax，由于Rv和Rmax的數(shù)值均保持不變，所以，k的數(shù)值也保持一定。

由于Rpm和Rvm計算的是5個抽樣長度內(nèi)的最大峰值的平均值與最大谷值的平均值。若5個最大的峰谷值不是均勻地分配在5個抽樣長度內(nèi)，則就會導致Rpm和Rvm參數(shù)數(shù)值的差異，因此，這兩個參數(shù)的大小受到峰谷位置的影響。

2.2.3 與表面形貌高度位置相關(guān)的參數(shù)

高度類粗糙度參數(shù)是統(tǒng)計表面形貌的縱向分布特征，但由于實驗的表面形貌是將高度信息隨機分配在數(shù)組上，這便導致部分高度類參數(shù)在進行統(tǒng)計時，會隨著表面形貌的橫向分布而呈現(xiàn)出不同的數(shù)值。在統(tǒng)計的參數(shù)中，Rz（微觀不平度十點平均高度）、Rti（局部最大峰谷高度）、Rtm（最大峰谷高度均值）、Ry（最大峰谷高度）、R3y（第三點高度）和R3z（第三點高度均值）便是隨高度位置信息變化而變化的粗糙度參數(shù)。以上各個參數(shù)隨表面形貌不同的變化情況如圖4所示。

由圖4中所顯示的參數(shù)數(shù)值的變化情況可以得出：參數(shù)Rz、Rti、Rtm、Ry、R3y、R3z（Rti和R3y沒有列出）是不斷變化的。由于10個構(gòu)造的表面形貌是通過對高度分布函數(shù)的高度信息進行隨機排列而得到的新數(shù)組，對于每一個表面形貌，其波峰出現(xiàn)在一個位置的概率是不定的。而這部分所涉及的 6個高度類粗糙度參數(shù)都是隨高度位置而變化，因此這 6個粗糙度參數(shù)會隨著實際表面形貌的峰谷排列情況而改變，從而體現(xiàn)在表征表面形貌隨高度位置變化的參數(shù)數(shù)值的波動，如圖4所示。

3 不同高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌特征

3.1 6種不同的高度分布函數(shù)

給定6種不同形狀的高度分布函數(shù)(見圖2），采用同一種方式來構(gòu)建表面形貌。其中，h代表高度，p代表點數(shù)，-π/2≤h≤π/2。每個高度分布函數(shù)都以對照組的高斯型高度分布函數(shù)為標準，進行歸一化。此部分的表面形貌構(gòu)建方式同樣采用隨機的取點排列形式，將高度分布函數(shù)的點數(shù)p隨機賦值到數(shù)組y中，最后得到一個表面形貌。

對照組：高斯型高度分布函數(shù)。實驗組：A對稱型非高斯高度分布函數(shù)，對稱型高度分布函數(shù)選用余弦型、等腰三角形和等腰梯形高度分布函數(shù)；B非對稱型非高斯高度分布函數(shù)，非對稱型高度分布函數(shù)選用三角形和直角三角形高度分布函數(shù)。

此部分的表面形貌構(gòu)建方式與之前的有所差異，其具體的構(gòu)建方法如下：

1）對數(shù)據(jù)進行預處理，然后將從分布函數(shù)得到的高度排列∑p打亂，并定義表面形貌的最大高度差Δh。

2）利用程序的隨機函數(shù)，確定表面形貌y的起點y(1)并將其從∑p中剔除。

3）從高度排列∑p中提取高度點p，與y(1)進行比較。如果滿足兩者之差在△?內(nèi)，則將其歸入到表面形貌y中，并將其作為起點（同時從∑p中剔除）；否則，把p與表面形貌的終點y(end)進行比較，判斷是否滿足兩者差在Δh內(nèi)，如果滿足，則將其歸入到表面形貌y中，并將其作為終點（同時從∑p中剔除）。

4）檢測原始高度排列∑p是否為零，若是，則結(jié)束構(gòu)建；否則，返回第3步繼續(xù)構(gòu)建。

通過上述的程序過程，本文利用圖2給出的6種高度分布函數(shù)，用以上同一種方式構(gòu)建了一系列的隨機表面形貌，然后對粗糙度參數(shù)進行統(tǒng)計分析。

3.2 參數(shù)統(tǒng)計

每種高度分布函數(shù)選取10個表面形貌作為實驗對象，總共獲得60個表面形貌的數(shù)組元素，并對這些模擬表面進行參數(shù)統(tǒng)計。所選用的參數(shù)是上述16個高度類粗糙度參數(shù)，其統(tǒng)計結(jié)果如下。

3.2.1 由高度分布函數(shù)確定的參數(shù)

在高度類參數(shù)的統(tǒng)計時，發(fā)現(xiàn)有4個參數(shù)只跟隨高度分布函數(shù)的變化而變化，它們與表面形貌高度位置的橫向分布無關(guān)。這 4個參數(shù)分別是Ra、Rq、Rsk、Rku，它們的數(shù)值變化隨高度分布函數(shù)的變化情況如圖5所示（圖中用i-trapezoid、i-triangle、ra-triangle分別表示等腰梯形，等腰三角形和直角三角形HDF，以下類同）。

在第2節(jié)已說明，對應于同一個高度分布函數(shù)，Ra、Rq、Rsk、Rku保持數(shù)值不變。而圖 5表示，隨著高度分布函數(shù)對稱性的逐漸消失，Ra、Rq呈現(xiàn)出正相關(guān)的情形，當對稱性達到最小時（即直角三角形時），Ra、Rq值達到極大值，即隨著對稱性的消失，其數(shù)值有一定的增加趨勢。

而Rsk、Rku的變化趨勢雖不像負相關(guān)的情形，但也可明顯看出，當對稱性消失時，Rsk和Rku的數(shù)值明顯小于對稱性時的數(shù)值。分布函數(shù)處于對稱的情況時，參數(shù)數(shù)值明顯區(qū)別于非對稱性時的參數(shù)數(shù)值。

3.2.2 由峰值、谷值限定的參數(shù)

在統(tǒng)計過程中，有4個參數(shù)始終保持不變，它們不隨高度分布函數(shù)的改變而變化，也不隨表面形貌的高度位置信息的變化而變化。這4個參數(shù)分別是Rp、Rv、Rmax和k。另外，參數(shù)Rz的數(shù)值雖然隨著高度分布函數(shù)形狀改變而變化，但其數(shù)值變化較小，因此將其歸入這部分中討論。它們的數(shù)值大小如表2所示。

由于在用計算機模擬表面形貌時，給定的6個高度分布函數(shù)的高度都在-π/2≤h≤π/2之間，類似于之前說明的情況，最大峰值、谷值的數(shù)值只能被限制在-π/2和π/2。因此，輪廓最大高度只會等于π，k只會等于1/2，不會隨高度位置信息的變化而發(fā)生改變。

表2 Rp、Rv、Rmax、Rz和 k的數(shù)值Tab.2 Values of Rp, Rv, Rmax, Rz and k

另外，Rz是表示最高峰值與最深谷值之間的差值平均值。由于計算機程序模擬表面形貌時，是將最深谷值設(shè)置為略微大于最高峰值的，因此Rz的數(shù)值是負值。此外，Rz數(shù)值的變化是因為在構(gòu)建表面形貌時，會存在某些高度點因不符合取點原則而被舍棄的情況，當分布函數(shù)內(nèi)最大的（或最小的）幾個高度點被舍棄時，便會造成Rz數(shù)值的波動。

3.2.3 隨高度分布函數(shù)變化的參數(shù)

除了以上9個參數(shù)，剩下7個參數(shù)（Rpm、Rvm、Ry、Rti、Rtm、R3y和R3z）都會隨著表面形貌的高度位置隨機改變而發(fā)生變化。對于同一種高度分布函數(shù)，這些高度類參數(shù)的數(shù)值都不是恒定的，而對于不同的高度分布函數(shù)，它們的數(shù)值也不相同，而且沒有顯示出一定隨對稱性改變的規(guī)律，更多地是顯示出數(shù)值的波動。由于Rtm和Ry表示的是參數(shù)Rti的平均值和最大值，因此這三個參數(shù)的圖像變化情況是一致的。而R3z和R3y分別表示表面抽樣長度內(nèi)的第三點高度和第三點高度的最大值，其表征的內(nèi)容與Rti、Ry相似，因此這兩個參數(shù)的變化與Rtm、Ry和Rti極其相似。因此，可選用Ry來反映這四個參數(shù)的變化情況。這部分參數(shù)的數(shù)值變化見圖6。

由圖6的數(shù)據(jù)可以看出，這些參數(shù)隨著高度分布函數(shù)的不同而無規(guī)律波動，這種數(shù)據(jù)的波動是表面形貌的高度位置隨機分配和高度分布函數(shù)的差異所致。

4 結(jié)論

本文分別利用同一非高斯型高度分布函數(shù)和不同的非高斯型高度分布函數(shù)來構(gòu)建表面形貌，并分析其高度類粗糙度參數(shù)。根據(jù)統(tǒng)計結(jié)果得出的結(jié)論如下。

1）由同一種高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面

當高度類參數(shù)滿足對整個表面形貌的數(shù)學統(tǒng)計，忽略高度數(shù)據(jù)的位置情況或是與整個表面形貌的一些極值有關(guān)，這些極值不會隨著位置的變化而影響到本來的特性（如表面形貌的最高峰和最低谷）時，參數(shù)數(shù)值保持不變。

當高度類參數(shù)只是滿足對局部表面形貌的數(shù)學統(tǒng)計，統(tǒng)計位置的不同會造成參數(shù)的變化或與表面形貌的極值無關(guān)時，參數(shù)數(shù)值會表現(xiàn)出不確定性。

2）由不同種高度分布函數(shù)構(gòu)建的表面

從區(qū)分表面形貌的角度出發(fā)，可以根據(jù)要求減少參數(shù)的測量：若只需要分辨表面形貌時，可只測量Ra、Rq、Rsk、Rku。由于它們只和高度分布函數(shù)有關(guān)，且這4個參數(shù)會隨著高度分布函數(shù)對稱性的改變而發(fā)生變化，因此可通過測量這4個參數(shù)來簡要區(qū)分不同對稱性高度分布函數(shù)構(gòu)造的表面形貌。

當測量出表面形貌的峰谷最大值時，可以根據(jù)其測量值來確定另外4個參數(shù)Rp、Rv、Rmax、k的數(shù)值，從而進一步對表面形貌進行區(qū)分。而如果需要對一個表面形貌的細節(jié)進行細致分析時，可計算剩余的8個參數(shù)來分析其詳細的高度位置信息。

3）應用

現(xiàn)應用上述結(jié)論，對圖1中三種不同的表面形貌進行表征區(qū)分。首先利用分布函數(shù)的形狀差異，可對比高斯型（或余弦型）表面形貌（圖1a或b）和三角形表面形貌（圖1c）。高斯型（余弦型）分布函數(shù)是對稱型的結(jié)構(gòu)，對應的表面形貌的高度點均勻地分配在中線兩側(cè)，并且在中線位置的高度點最為集中。而非對稱結(jié)構(gòu)的三角型分布函數(shù)，其表面形貌的高度點更多地集中于中線下方。對于滿足分布函數(shù)形狀差異較大的表面形貌，可以通過對比其縱向分布特征，即高度點的集中范圍來簡單表征形貌之間的差異，如通過對比圖1a與c的縱向分布差異來區(qū)分表面形貌。這是高度分布函數(shù)的一個直接應用。

但在表征高斯型與余弦型這兩種表面時，由于它們的縱向特征較相似，無法簡單判斷，則必須利用粗糙度參數(shù)來表征其差異、區(qū)分。根據(jù)上述的選取建議，對比高斯型和余弦型表面時，可選用參數(shù)Ra（Ra-gau=0.6403、Ra-cos=0.7664）和Rku（Rku-gau=2.1524、Rku-cos=2.1940）來反映兩種表面剖面的細微差異，進行初步簡單區(qū)分。假如需要對形貌的特征進行較高精度的表征時，也可適當?shù)剡x用其他參數(shù)（如Rpm、Rvm、Rti等）來分析表面形貌的橫向特征，進而更精確地反映形貌的信息。