對一道全國大學生數(shù)學競賽題的探討

王艷

【摘要】本文從一道2020年全國大學生數(shù)學競賽試題出發(fā)，給出關(guān)于該試題的推廣，并舉例說明其應(yīng)用.

【關(guān)鍵詞】 冪指函數(shù);極限;導數(shù);積分

【基金項目】2020年安徽省質(zhì)量工程項目：高職數(shù)學課程思政教學團隊（項目編號：2020kcszjxtd51）;安慶職業(yè)技術(shù)學院高職數(shù)學課程建設(shè)項目.

一、引言

在2020年11月全國大學生數(shù)學競賽初賽中有一道如下試題：

設(shè)f（x），g（x）在x=0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U，f（x）=g（x），且limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，則limx→0f（x）g（x）-g（x）g（x）f（x）-g（x）=.

解由于limx→0f（x）=limx→0g（x）=a>0，所以由極限的保號性，存在x=0的一個去心鄰域U0，使得對x∈U0，有f（x）>0，g（x）>0.下面開始計算：先分子、分母同除以[g（x）]g（x），得

limx→0[f（x）]g（x）-[g（x）]g（x）f（x）-g（x）=limx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）·[g（x）]g（x）=aalimx→0f（x）g（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅰ）.

這里f（x）g（x）g（x）是冪指函數(shù)，由反函數(shù)的性質(zhì)f-1f（x）=x，有

f（x）g（x）g（x）=elnf（x）g（x）g（x）=eg（x）lnf（x）g（x）.

由等價無窮小替換，當x→0時，g（x）·lnf（x）g（x）→0，有eg（x）lnf（x）g（x）-1～g（x）lnf（x）g（x），

則

（Ⅰ）式=aalimx→0g（x）lnf（x）g（x）f（x）-g（x）

=aalimx→0g（x）ln1+f（x）g（x）-1f（x）-g（x）……（Ⅱ）.

再由等價無窮小替換，當x→0時，f（x）g（x）-1→0，

有l(wèi)n1+f（x）g（x）-1～f（x）g（x）-1，

則（Ⅱ）式=aalimx→0g（x）f（x）g（x）-1f（x）-g（x）=aalimx→0f（x）-g（x）f（x）-g（x）=aa.

這道題主要用到冪指函數(shù)極限的相關(guān)性質(zhì).冪指函數(shù)形如f（x）g（x），這個函數(shù)既像冪函數(shù)又像指數(shù)函數(shù)，它的特點是底數(shù)和指數(shù)都是變量.我們初識冪指函數(shù)是在學習初等函數(shù)的時候，很多同學認為它不是初等函數(shù)或者錯誤地進行初等分解，其實冪指函數(shù)是初等函數(shù)，它滿足初等函數(shù)的所有性質(zhì).在高等數(shù)學學習過程中，很多內(nèi)容都涉及冪指函數(shù)，例如求極限和求導，特別是求導的時候，很多同學會錯誤地把它當成冪函數(shù)或指數(shù)函數(shù)的復合函數(shù)來求導.本文基于幾道競賽題和習題推廣冪指函數(shù)在導數(shù)和不定積分中的應(yīng)用，并給出一些對應(yīng)的解題方法.

二、相關(guān)問題的進一步探討

（一）冪指函數(shù)的極限

這類題型一般有兩種解題方法：（1）取對數(shù)化成隱函數(shù);（2）利用冪指函數(shù)指數(shù)化.

冪指函數(shù)指數(shù)化又分為兩種：f（x）和g（x）都是關(guān)于x的函數(shù)，為了方便，簡記為g和f.

① 設(shè)lim f=a>0，lim g=b，則lim fg=lim eln fg=elim gln f=ab=（lim f）lim g.

② 1∞型未定式.設(shè)lim f=1，lim g=∞，利用等價無窮小替換，ln f～f-1，則lim fg=elim gln f=elim（f-1）g.

例1 limx→0sin x2+cos 2x1x.（第八屆北京大學生數(shù)學競賽大專組第4題）

解方法一：取對數(shù)化成隱函數(shù).

設(shè)y=sin x2+cos 2x1x，

則ln y=lnsin x2+cos 2x1x=1xlnsin x2+cos 2x.

由洛必達法則，得

limx→0lnsin x2+cos 2xx=limx→012cos x2-2sin 2xsin x2+cos 2x1=12，

即limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

方法二：冪指函數(shù)指數(shù)化.這里又可以分兩種解法：

limx→0sin x2+cos 2x1x=elimx→0sin x2+cos 2x-1·1x

=elimx→0sin x2-2sin2xx=e12.

或limx→0sin x2+cos 2x1x=limx→01+sin x2-2sin 2x1x

=limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x·sin x2-2sin 2xx，

由于limx→01+sin x2-2sin 2x1sin x2-2sin 2x=e，

limx→0sin x2-2sin 2xx=limx→0sin x2x2·2-0=12，

所以limx→0sin x2+cos 2x1x=e12.

（二）冪指函數(shù)的求導或微分

1.冪指函數(shù)的求導

這類題型一般用指數(shù)函數(shù)求導法或取對數(shù)求導法.下面對指數(shù)函數(shù)求導法和取對數(shù)求導法做簡要說明.

設(shè)f（f>0）和g都可微，

① 指數(shù)函數(shù)求導法：利用恒等式fg=egln f，得

（fg）′=（egln f）′=eg ln f（gln f）′=fgg′ln f+gf′f.

② 取對數(shù)求導法：等式y(tǒng)=fg（f>0）兩邊取對數(shù)，ln y=ln fg=gln f，再求導，1yy′=g′ln f+gf′f，得（fg）′=fgg′ln f+gf′f.

例2若u=xyyx，求uy.（第六屆北京市大學生數(shù)學競賽大專組第8題）

解用取對數(shù)求導法，u=xyyx兩邊同時取對數(shù)，得

ln u=lnxy-lnyx=1xln y-1yln x.

等式兩邊對y求導，得1uuy=1x·1y+1y2·ln x，

即uy=xy1-xyx1x+ln xy.

本題直接用乘積的求導公式和冪函數(shù)及指數(shù)函數(shù)的求導公式也可以得到結(jié)果.

u=xyyx=x-1y·y1x，把x，y 當作獨立的變量，則

uy=x-1y·ln x·-1y′·y1x+x-1y·1x·y1x-1·y′

=x-1y·1y2·y1x·ln x+x-1y·y1x-1·1x·1

=x-1y·y1x-1·ln xy+x-1y·y1x-1·1x

=xy1-xyx1x+ln xy.

2.冪指函數(shù)的微分

有時候遇到求多元函數(shù)的偏導數(shù)僅僅用指數(shù)函數(shù)求導法或取對數(shù)求導法并不容易得出正確的答案，這時候需要用到全微分的計算公式和隱函數(shù)的微分法.

① 若函數(shù)z=f（x，y）可微，則dz=fx（x，y）dx+fy（x，y）dy.由一階全微分形式的不變性，不管x，y是自變量還是中間變量，該等式都成立.

② 隱函數(shù)的微分法：若二元方程確定的一元隱函數(shù)F（x，y）=0，y=y（x），則dydx=-FxFy;

若三元方程確定的二元隱函數(shù)F（x，y，z）=0，z=z（x，y），則zx=-FxFz，zy=-FyFz.

例3設(shè)z=f（x，y）是由方程zx=yz確定的，求z對x的偏導數(shù).

解方法一：兩邊同時取對數(shù)，有xln z=zln y，

兩邊同時求微分，d（xln z）=d（zln y），

ln zdx+x1zdz=ln ydz+z1ydy，

化簡，得xz-ln ydz=-ln zdx+zydy，

x-zln yzdz=-ln zdx+zydy，

即dz=-zln zx-zln ydx+z2yx-zln ydy，

得到zx=-zln zx-zln y=zln zzln y-x.

方法二：設(shè)Fx，y，z=zx-yz，

則Fx=zxln z，F(xiàn)y=xzx-1-yzln y，

zx=-FxFy=-zxln zxzx-1-yzln y=zxln zyzln y-xzx-1=zxln zzxln y-xzx-1，

等式右端分子、分母同時除以zx，得zx=zln zzln y-x.

（三）冪指函數(shù)的不定積分

這類題型實質(zhì)上是冪指函數(shù)求導的逆過程，主要用到湊微分法，掌握了冪指函數(shù)求導方法，處理相關(guān)積分就容易多了.下面給出被積函數(shù)是一階導數(shù)和二階導數(shù)的不定積分公式.

設(shè)f（f>0）和g都可微，則∫f gg′ln f+gf′fdx=∫f g（gln f）′dx=∫（f g）′dx=f g+C，其中C為任意常數(shù).由于（f g）′=f g（gln f），有（f g）″=f ggln f″+gln f′2，所以

f g{（gln f）″+[（gln f）′]2}=（f g）″dx2=f g+C1x+C2.

有時候也會遇到被積函數(shù)是高階導數(shù)的不定積分，求解方法同上.下面給出例題加深理解.

例4求不定積分：

∫xx（1+x+xln x）dx.

解原式=∫xx+11+xx+ln xdx

=∫xx+1（x+1）（ln x）′+ln x（x+1）′dx

=∫xx+1[ln x（x+1）]′dx

=∫（xx+1）′dx

=xx+1+C.

三、結(jié)論

冪指函數(shù)既不是冪函數(shù)也不是指數(shù)函數(shù)，它是冪底數(shù)和冪指數(shù)都是變量的函數(shù)，正因為這個特點，在求其極限、導數(shù)和不定積分的時候才稍顯復雜.本文受2020年全國大學生數(shù)學競賽一道冪指函數(shù)試題的啟發(fā)，對相關(guān)內(nèi)容進行了拓展和應(yīng)用.冪指函數(shù)主要貫穿在解題中的某一環(huán)節(jié)，搞清楚它在各題型中需要的解題方法至關(guān)重要.本文結(jié)合幾道競賽題目給出了更直觀的結(jié)論，以方便大家理解和應(yīng)用，也可融入今后的高數(shù)教學中.

【參考文獻】

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