關(guān)于向量兩個維度的量化表示

張青雨

【摘要】向量展現(xiàn)了幾何與代數(shù)的雙重特性，是解決幾何、代數(shù)、物理問題的重要工具，但其基礎(chǔ)邏輯較為復(fù)雜，很多學(xué)生難以理解，自然無法在實(shí)際中應(yīng)用.因此，本文從向量兩個維度的量化表示入手進(jìn)行研究，以期幫助學(xué)生量化實(shí)際的應(yīng)用邏輯，并結(jié)合例題剖析，全面優(yōu)化學(xué)生的解題思路，切實(shí)提高教學(xué)效率和教學(xué)質(zhì)量，同時為向量教學(xué)提供一定的參考.

【關(guān)鍵詞】高中數(shù)學(xué);向量理解;維度量化;數(shù)學(xué)語言

在高中數(shù)學(xué)教學(xué)內(nèi)容中，向量占據(jù)了重要地位，它在其他數(shù)學(xué)知識的學(xué)習(xí)上也發(fā)揮著很大的作用.向量自身的屬性比較特殊，它可以將多個數(shù)學(xué)知識有機(jī)聯(lián)系在一起，切實(shí)提高教師教學(xué)的有效性.向量兼具了大小和方向，需要用多個實(shí)數(shù)進(jìn)行確切表達(dá).對于一個擁有雙重身份的概念，教師在實(shí)際教學(xué)過程中要引導(dǎo)學(xué)生從正確的角度入手，深入分析雙重維度的量化表達(dá)方式.

一、向量學(xué)習(xí)的重要性

向量作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)中的重點(diǎn)內(nèi)容之一，具有雙重身份，系統(tǒng)地研究、掌握向量內(nèi)容可以讓學(xué)生的計(jì)算能力以及思維能力得到大幅度提高，為學(xué)生未來的學(xué)習(xí)奠定良好的基礎(chǔ).不僅如此，向量中的數(shù)形結(jié)合思想可以促進(jìn)學(xué)生對數(shù)學(xué)本質(zhì)的理解，讓數(shù)學(xué)教學(xué)工作得到全面的提高.從數(shù)學(xué)課程改革發(fā)展的趨勢來看，向量作為解決數(shù)學(xué)問題的重要工具，可以有效促進(jìn)學(xué)生解題能力的提高.但從目前來看，很多學(xué)生在向量理解上還存在問題，故教師必須提高學(xué)生對向量的理解，才能充分發(fā)揮向量的實(shí)際應(yīng)用價值.向量最初應(yīng)用在物理學(xué)中，而后逐漸被應(yīng)用到了高中數(shù)學(xué)中.它以數(shù)、量和運(yùn)算為根本，向量的加減法、數(shù)乘向量、向量的數(shù)量積都是非常重要的內(nèi)容.高中階段的向量學(xué)習(xí)旨在為下一階段的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ).作為幾何代數(shù)化的重要組成部分，加強(qiáng)對關(guān)于向量兩個維度的量化表示的學(xué)習(xí)，可以讓學(xué)生建立學(xué)習(xí)自信心，從而在學(xué)習(xí)其他數(shù)學(xué)知識的過程中能和其他學(xué)科聯(lián)系在一起，以發(fā)展的眼光看待向量和中學(xué)數(shù)學(xué)的結(jié)合.

二、向量兩個維度的量化表示

第一，對向量的理解.向量是在數(shù)量的基礎(chǔ)上多了一個維度，它其實(shí)是兩個維度的量：數(shù)量+方向.因此，理解向量是學(xué)生的一個難點(diǎn)，尤其要在方向上加重對向量的理解.因此，數(shù)形結(jié)合在向量中的體現(xiàn)極其重要.

第二，在數(shù)量維度上，可以用向量的模來表示，那么按照教材的邏輯，如何用數(shù)學(xué)語言（公式）來表示方向這個維度呢？所以，我們需要引入向量的坐標(biāo)表示，從而將向量的兩個維度都進(jìn)行量化，用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行表示.

1.利用向量坐標(biāo)實(shí)現(xiàn)向量維度量化

根據(jù)平面向量的基本定理，可知平面內(nèi)任意一個向量OP在以另一組不共線的向量OA，OB為基底時，它有且僅有唯一的有序?qū)崝?shù)對（λ，μ）使得OP=λOA+μOB.而逆推可得基底（λOA，μOB）對應(yīng)于向量OP.這種量化方式可以讓向量OP在坐標(biāo)系中的坐標(biāo)更加合理，將其和三角函數(shù)結(jié)合在一起綜合性會更強(qiáng)，可以更好地完成相關(guān)解題內(nèi)容的處理.

平面幾何和平面向量之間也有著密切的聯(lián)系，但從目前來看，由向量的夾角可以推斷出幾何圖形的垂直關(guān)系，故利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可以確定圖形的位置關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)中，向量的坐標(biāo)運(yùn)算是幾何問題代數(shù)化的重要工具，學(xué)生需要具備數(shù)與形的轉(zhuǎn)化能力和較強(qiáng)的邏輯思維能力.而這種向量兩個維度的量化表示無疑可以幫助學(xué)生更好地完成學(xué)習(xí)，將向量的作用發(fā)揮到最大.以下題為例，其中就運(yùn)用到了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，將向量的兩個維度進(jìn)行量化，從更好地分析并解題.

例題在△AOB中，有OA，OB，AB三條邊，其中M和N分別為OA，OB兩邊上的點(diǎn)，在三角形中，BM，AN相交于點(diǎn)P，已知OA=a，OB=b，OM=λa（0<λ<1），ON=μb（0<μ<1），OP=p，求如何用a，b表達(dá)OP=p.

解題從圖1和已知數(shù)據(jù)來看，可以推斷出OP=p=ON+NP或者OP=p=OM+MP，此時，假設(shè)MP=mMB=m（OB-OM）=m（b-λa），

又ON=μb，設(shè)NP=nNA=n（OA-ON）=n（a-μb），

進(jìn)而將兩個式子合二為一，化簡后就可以得到p=na+μ（1-n）b=λ（1-m）a+mb.在此基礎(chǔ)上，借助方程思想就可以進(jìn)一步求出向量OP用a，b的表達(dá)式p=λ（1-μ）1-λμa+μ（1-λ）1-λμb.

由上可知，向量的方向性非常重要，要想準(zhǔn)確地將p表達(dá)出來，可利用向量和向量之間的運(yùn)算得到線段的數(shù)量關(guān)系，然后根據(jù)向量坐標(biāo)得出不同點(diǎn)坐標(biāo)之間的數(shù)量關(guān)系.由此可知向量坐標(biāo)表達(dá)能力的重要性.在立體幾何運(yùn)算中，這種量化表達(dá)方法也具有重要作用，這是因?yàn)樵诹Ⅲw幾何運(yùn)算中也可以將其轉(zhuǎn)化為平面問題進(jìn)行解決，但需要注意向量的方向性.

2.借助數(shù)量和方向完成向量維度量化

在立體幾何解題中也可以利用向量的方法進(jìn)行求解，如根據(jù)坐標(biāo)得到線面角的大小，或者借助向量的方向、數(shù)量特性等得到線面角的大小.在立體幾何解題過程中，學(xué)生需要具備立體化思維能力，借助向量的加法、比例關(guān)系等得到相應(yīng)的結(jié)果，有效解決三角函數(shù)問題.

例題某正三棱柱ABC-A1B1C1中，底面邊長和側(cè)棱長分別為a和2a，求直線AC1和平面ABB1A1所成角的大小.

本題可借助數(shù)量和方向完成向量維度量化，則可以有效判定線與面所成的角，利用向量進(jìn)行解決效率較高，難度也會相對降低.

解題從圖2和已知條件中能夠明確得到A，B，A1，C1四點(diǎn)的坐標(biāo)，取A1B1的中點(diǎn)D，其坐標(biāo)也可以求出，按照圖2完成輔助線的連接，能夠進(jìn)一步得到向量DC1，AB，AA1的坐標(biāo)，按照相應(yīng)的向量規(guī)律，可知DC1·AB=0，DC1·AA1=0，因此可知直線DC1和平面ABB1A1相互垂直，而直線AC1和平面ABB1A1之間的夾角為∠C1AD，根據(jù)向量坐標(biāo)和向量夾角公式就可以得到角的大小為30°.

三、向量兩個維度的量化表示的教學(xué)建議

由上可知，向量在三角關(guān)系和幾何中得到了廣泛應(yīng)用，其方法簡單，理解直觀，可以將坐標(biāo)、線段、向量聯(lián)系在一起.但學(xué)生對其的理解還存在很多問題，無法真正發(fā)揮向量的價值，尤其是很多學(xué)生無法理解

向量兩個維度的量化表示.在實(shí)際教學(xué)中，向量的概念和定理都較為抽象，故教師在教學(xué)中將其量化表示是必要的，這可以確保學(xué)生更容易理解向量內(nèi)容，同時認(rèn)識到用向量解題的便利性.

（一）聯(lián)系實(shí)際展開量化表示教學(xué)

向量最開始出現(xiàn)在物理學(xué)中，都是具有大小和方向的向量，教師可以借助實(shí)際案例，更好地表現(xiàn)出向量的模以及單位向量的概念.高中階段，學(xué)生可以接觸到的向量主要表現(xiàn)在大小和位置關(guān)系兩個方面，結(jié)合實(shí)際生活案例可以讓這兩個維度得到更好的量化.比如，某公交車先向東開出500米，后又向北開出600米，然后又向西南開出200米，求公交車和起始點(diǎn)之間的距離和方位.利用向量可以很好地解決這一問題，建立平面直角坐標(biāo)系就可以得到向量表達(dá)式.將數(shù)學(xué)知識和實(shí)際生活相結(jié)合，不僅能讓學(xué)生理解向量的實(shí)際應(yīng)用價值，也可以使其了解向量的基本性質(zhì).教師在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)用位移、速度、加速度等物理量作為向量的因素，能讓學(xué)生更好地感受到向量的存在，從而對向量形成更加清晰的理解.

（二）重視聯(lián)系強(qiáng)化量化表示教學(xué)

從理論的角度出發(fā)，向量的代數(shù)性質(zhì)貫穿整個高中數(shù)學(xué)，向量的運(yùn)算同數(shù)的運(yùn)算之間有著緊密的聯(lián)系，因此，教師在實(shí)際教學(xué)過程中可以引導(dǎo)學(xué)生對向量運(yùn)算的規(guī)律進(jìn)行總結(jié)和歸納，同時使學(xué)生明確向量的幾何意義，有效實(shí)現(xiàn)向量代數(shù)運(yùn)算和位置關(guān)系之間的轉(zhuǎn)化，實(shí)現(xiàn)對向量兩個維度的量化表示.比如，當(dāng)ab=0時，向量a和b之間屬于垂直關(guān)系.在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，幾何代數(shù)化的教學(xué)可以讓學(xué)生更好地認(rèn)識圖形和空間，快速解決問題.教師在教學(xué)中有意識地滲透這一思想，對學(xué)生未來的學(xué)習(xí)具有重要的促進(jìn)作用.在“平面向量”這一知識的教學(xué)過程中，教師要讓學(xué)生充分認(rèn)識到向量概念和向量運(yùn)算的重要性，明確平面向量和空間向量之間的區(qū)別，對向量形成多元、多維的認(rèn)識.新時期，受到多方面因素的影響，數(shù)學(xué)教學(xué)方式日益豐富，課堂也朝著多元化的方向發(fā)展，面對不同的教學(xué)方式和教學(xué)渠道，教師的教學(xué)要貼合學(xué)生實(shí)際以及教學(xué)需求.在對一些抽象的數(shù)學(xué)知識進(jìn)行教學(xué)中，教師可以借助多媒體技術(shù)進(jìn)行教學(xué)，幫助學(xué)生理解幾何體知識，培養(yǎng)空間邏輯意識，也可以進(jìn)行實(shí)際操作，使學(xué)生感受學(xué)習(xí)立體幾何的樂趣.

（三）鞏固基礎(chǔ)優(yōu)化量化表示教學(xué)

現(xiàn)如今，高中數(shù)學(xué)教學(xué)在朝著“夯實(shí)基礎(chǔ)、回歸教材”的方向努力，故教師要正確對待數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識，從而讓學(xué)生認(rèn)識到基本功的重要性.很多學(xué)生在學(xué)習(xí)向量時一味地借助向量特點(diǎn)展開計(jì)算，忽略了向量中的基礎(chǔ)概念、定理、公式等基本問題，在應(yīng)用時想不起來，也無法第一時間從變式中找到關(guān)鍵.因此，教師在向量量化表示的教學(xué)過程中應(yīng)重點(diǎn)針對基礎(chǔ)概念、定理、公式進(jìn)行講解，尤其是概念的核心內(nèi)容和附加條件，不僅要讓學(xué)生牢記熟記，還要能夠做到靈活應(yīng)用和熟練掌握.向量作為蘇教版數(shù)學(xué)教材中最為基礎(chǔ)的部分，其涉及了大量的概念，而且很多概念都較為抽象，如果學(xué)生對概念掌握不牢固，那么真正做題時就會出現(xiàn)問題.因此，教師在教學(xué)時要適度放緩，確保每個重要的概念都講解清楚，并讓學(xué)生在掌握概念的基礎(chǔ)上利用課后練習(xí)題對知識點(diǎn)進(jìn)行鞏固.此時，教師可以借助問題引導(dǎo)法，讓學(xué)生以小組為單位，自主閱讀教材，找出關(guān)鍵性概念，并在初步閱讀后，先自己完成課后練習(xí)題，在教師講解和小組分析后，重新對練習(xí)題進(jìn)行審視，以加深印象，鞏固思考，強(qiáng)化認(rèn)識，真正理解向量兩個維度的量化表示.

綜上所述，向量是數(shù)形結(jié)合體，雖然具有數(shù)形的特點(diǎn)，但是又不同于數(shù)形，它在解決數(shù)學(xué)問題中發(fā)揮著至關(guān)重要的作用.教師在向量教學(xué)中量化兩個維度的表示，可以讓學(xué)生對數(shù)學(xué)問題形成更加全面的理解，讓數(shù)學(xué)教學(xué)質(zhì)量得到提高，還可以讓學(xué)生產(chǎn)生最直觀的感受，切實(shí)激發(fā)學(xué)生的想象力.這種表示方法可以讓學(xué)生更好地借助向量這種工具，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方式解決問題，真正理解向量的多重意義.

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