立足深度教學(xué) 提高教學(xué)效果

謝繼林

摘 要：學(xué)生學(xué)習(xí)的主陣地在課堂，新時(shí)代課程改革下，教師要有新的課堂教學(xué)模式。本文以螺旋式上升式問(wèn)題鏈的設(shè)計(jì)，以數(shù)學(xué)思想主導(dǎo)知識(shí)傳授，以數(shù)學(xué)方法為靈魂構(gòu)建的三大策略來(lái)進(jìn)行深度課堂教學(xué)，提升學(xué)生研究數(shù)學(xué)的能力，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

關(guān)鍵詞：深度教學(xué);高中數(shù)學(xué)課堂

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)常因知識(shí)容量大，教學(xué)進(jìn)度快，導(dǎo)致教學(xué)上在數(shù)學(xué)的概念、定義、法則上花費(fèi)較少時(shí)間，由此導(dǎo)致兩種后果，一是學(xué)生學(xué)習(xí)的知識(shí)呈碎片化，沒(méi)有對(duì)教材知識(shí)的內(nèi)容進(jìn)行深層次的整合，系統(tǒng)掌握數(shù)學(xué)知識(shí)體系;二是學(xué)生學(xué)習(xí)上較為被動(dòng)，滿足于做題解題，沒(méi)有建立起相關(guān)知識(shí)間橫縱聯(lián)系，缺乏探究能力，不會(huì)靈活運(yùn)用知識(shí)。要在新的課程改革下做學(xué)生學(xué)習(xí)的領(lǐng)路人，教師需要進(jìn)行有深度的課堂教學(xué)，不僅在傳授知識(shí)上進(jìn)行高效率的深度教學(xué)，更要教會(huì)學(xué)生用數(shù)學(xué)的思維分析世界。教師需以教材為綱，以數(shù)學(xué)思想方法為靈魂，通過(guò)對(duì)知識(shí)的有效加工，對(duì)高中涉及的數(shù)學(xué)思想方法進(jìn)行有意滲透。教師構(gòu)建有深度的課堂教學(xué)，才能傳授學(xué)生以更高層次的眼界觀察數(shù)學(xué)，以更寬廣的思維處理數(shù)學(xué)問(wèn)題，真正調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，使學(xué)生扎扎實(shí)實(shí)掌握數(shù)學(xué)學(xué)科知識(shí)，舉一反三地運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題。

一、以問(wèn)題構(gòu)建深度教學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生思考的角度

教師如果在教學(xué)上只讓學(xué)生讀課本，做簡(jiǎn)單的概念分析，就不能引起學(xué)生對(duì)所學(xué)知識(shí)進(jìn)行深度思考，更不能使學(xué)生感悟知識(shí)發(fā)生過(guò)程產(chǎn)生的魅力，學(xué)生也不會(huì)利用知識(shí)，丟失學(xué)生自主學(xué)習(xí)與探究的能力?？鬃佑性疲骸皩W(xué)而不思則罔，思而不學(xué)則殆?！焙玫膯?wèn)題，能開(kāi)啟學(xué)生研究數(shù)學(xué)的大門(mén)。有深度的數(shù)學(xué)課堂，教師要以有針對(duì)性、合理的、有梯度的問(wèn)題設(shè)計(jì)，引領(lǐng)學(xué)生探究知識(shí)，激發(fā)學(xué)生求知欲，讓學(xué)生更好地感悟知識(shí)發(fā)生過(guò)程的魅力，使學(xué)生探究步步為營(yíng)，層層推進(jìn)，掌握運(yùn)用數(shù)學(xué)知識(shí)的正確途徑。筆者在講授“基本不等式”時(shí)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)：

問(wèn)題1：如何利用重要不等式：得到基本不等式;

問(wèn)題2：觀察與比較重要不等式與基本不等式，二者對(duì)自變量a，b的范圍有何要求？

問(wèn)題3：如何類(lèi)比重要不等式證明來(lái)證明基本不等式？

學(xué)情是教學(xué)的基礎(chǔ)，學(xué)生已經(jīng)掌握了重要不等式，教師可通過(guò)問(wèn)題1和問(wèn)題2的啟發(fā)與引導(dǎo)，讓學(xué)生掌握類(lèi)比法：把代入得到基本不等式，并思考二者的相同與不同點(diǎn);進(jìn)而通過(guò)問(wèn)題3讓學(xué)生掌握作差證明，再次建立起兩個(gè)不等式的聯(lián)系，使學(xué)生對(duì)基本不等式的理解進(jìn)一步加深。

問(wèn)題4：基本不等式能否等價(jià)轉(zhuǎn)化為命題或？

問(wèn)題5：運(yùn)用基本不等式如何求解：已知x>0時(shí)，求的最小值？

問(wèn)題6：如果根據(jù)，得出x=1時(shí)，等號(hào)成立是為了說(shuō)明什么？

問(wèn)題7：如果2是的一個(gè)取值，那么2會(huì)是的最小值嗎？如果不是，那么還是求出最小值嗎？

問(wèn)題8：能利用基本不等式求出的最小值嗎？如果不能，你能總結(jié)利用基本不等式求解函數(shù)最值的方法嗎？

問(wèn)題4至問(wèn)題8是讓學(xué)生真正了解和認(rèn)識(shí)基本不等式，引領(lǐng)學(xué)生掌握基本不等式內(nèi)涵，幫助學(xué)生以不同角度完善對(duì)基本不等式的理解。螺旋式上升式的問(wèn)題鏈，是有深度的課堂教學(xué)的保障，有助于教師在課堂教學(xué)上幫助學(xué)生理清數(shù)學(xué)知識(shí)的重難點(diǎn)，讓學(xué)生看到知識(shí)的發(fā)生、發(fā)展以及問(wèn)題解決背后蘊(yùn)含的價(jià)值;有助于啟發(fā)學(xué)生產(chǎn)生問(wèn)題意識(shí);有助于學(xué)生掌握利用新舊知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系來(lái)分析解決問(wèn)題;有助于學(xué)生掌握從不同角度看待和思考數(shù)學(xué)問(wèn)題;有助于學(xué)生形成自己的學(xué)習(xí)習(xí)慣。

二、以數(shù)學(xué)思想方法為核心構(gòu)建深度教學(xué)，提升學(xué)生思考的深度

數(shù)學(xué)的思想是數(shù)學(xué)的靈魂，其包含了讓學(xué)生領(lǐng)悟并掌握數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的眼光看待世界，學(xué)會(huì)用數(shù)學(xué)的方法解釋世界。深度的數(shù)學(xué)課堂教學(xué)，不僅需要讓學(xué)生抽離現(xiàn)象的本質(zhì)，比如：看到對(duì)稱，不僅會(huì)想到生活中常見(jiàn)的對(duì)稱問(wèn)題，更需要學(xué)會(huì)在數(shù)學(xué)中是如何定義對(duì)稱的，并將之牢牢記住其本質(zhì)特征。數(shù)學(xué)思想是學(xué)好數(shù)學(xué)的關(guān)鍵，但數(shù)學(xué)思想距離成為學(xué)生得心應(yīng)手的工具，可能比預(yù)想的要差太遠(yuǎn)，這其中的關(guān)鍵原因是數(shù)學(xué)思想是對(duì)數(shù)學(xué)知識(shí)內(nèi)容在更高層面上的理解，是知識(shí)體系中蘊(yùn)含的寶藏，是需要挖掘的，是需要逐步推進(jìn)的。因而，教師在數(shù)學(xué)思想方法的教學(xué)上，不能混為一談，不能一味強(qiáng)調(diào)應(yīng)用，需要心中對(duì)數(shù)學(xué)思想有較為深刻而獨(dú)到的理解，進(jìn)而將每種數(shù)學(xué)思想劃分為幾個(gè)層次，通過(guò)不斷地滲透將之細(xì)化，達(dá)到一葉成林的效果。筆者為在橢圓定義中滲透數(shù)形結(jié)合思想，設(shè)計(jì)如下教學(xué)：

例1：如果平面內(nèi)點(diǎn)到定點(diǎn)的距離為定值的點(diǎn)形成的軌跡是圓，那么平面內(nèi)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之和為定值2a（a>0）的點(diǎn)會(huì)有軌跡嗎？

教師利用幾何畫(huà)板后，再讓學(xué)生討論歸納出橢圓定義，并進(jìn)一步探究如下例題：

例2：已知P（x，y）的x，y滿足當(dāng)a分別取時(shí)，能求出動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡嗎？

例3：已知?jiǎng)訄AP與圓相內(nèi)切，與圓相外切，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡是橢圓嗎？

例4：已知點(diǎn)C2（-1，0）和圓，點(diǎn)M為圓C1的動(dòng)點(diǎn)，線段MC2垂直平分線與MC1相交于點(diǎn)P，動(dòng)點(diǎn)P（x，y）的軌跡是橢圓嗎？

例5：如果點(diǎn)平面內(nèi)點(diǎn)P到兩個(gè)定點(diǎn)F1，F(xiàn)2的距離之積為定值，則動(dòng)點(diǎn)P的軌跡會(huì)是橢圓嗎？如果不是，你覺(jué)得動(dòng)點(diǎn)P與兩個(gè)定點(diǎn)F1、F2斜率乘積為定值，動(dòng)點(diǎn)P的軌跡是橢圓嗎？

回顧例2至例5，教師可使學(xué)生在不涉及橢圓方程的前提下，以數(shù)形結(jié)合思想為橋梁，讓學(xué)生深刻理解橢圓的軌跡形成的各種途徑，把抽象的橢圓定義具體化，把無(wú)形的橢圓定義形象化，讓學(xué)生層層推進(jìn)，步步為營(yíng)掌握橢圓軌跡。高中的數(shù)學(xué)思想還有分類(lèi)與整合，函數(shù)與方程等思想，不僅形式多樣，內(nèi)容豐富，而且運(yùn)用廣泛，靈活多變。教師不僅平時(shí)教學(xué)時(shí)要重視數(shù)學(xué)思想的滲透，更需要采用有效的教學(xué)形式如采用幾何畫(huà)板把思想直觀化等，讓枯燥的數(shù)學(xué)思想具現(xiàn)出來(lái)，讓學(xué)生切實(shí)領(lǐng)悟數(shù)學(xué)思想，真正實(shí)現(xiàn)有深度的課堂教學(xué)。

三、以方法為靈魂構(gòu)建深度教學(xué)，提升學(xué)生思維的深度

美國(guó)著名數(shù)學(xué)教育學(xué)家波利亞說(shuō)過(guò)：“一個(gè)專(zhuān)心的認(rèn)真?zhèn)湔n的教師能夠拿出一個(gè)有意義但又不太復(fù)雜的題目，去幫助學(xué)生挖掘問(wèn)題的各個(gè)方面，使得通過(guò)這道題，就像通過(guò)一道門(mén)戶，把學(xué)生引入一個(gè)完整的理論領(lǐng)域?！备咧械臄?shù)學(xué)方法，狹義上是具體的方法如待定系數(shù)法等，廣義上則是掌握處理問(wèn)題的系統(tǒng)思路如圓錐曲線中的定點(diǎn)定值的求解方法等。有深度的課堂教學(xué)，教師需在滲透數(shù)學(xué)方法過(guò)程中讓學(xué)生掌握數(shù)學(xué)方法的背景來(lái)源，需教會(huì)學(xué)生運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解決問(wèn)題的思路，掌握處理復(fù)雜數(shù)學(xué)情境下運(yùn)用數(shù)學(xué)方法解題的能力，進(jìn)而提升學(xué)生的思維深度。筆者課堂上讓學(xué)生探究圓與定點(diǎn)定值時(shí)，設(shè)計(jì)如下教學(xué)：

例1：已知點(diǎn)P與定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），滿足求點(diǎn)P的軌跡方程？

例2：已知點(diǎn)P與定點(diǎn)A（-3，0），B（3，0），滿足求點(diǎn)P的軌跡方程？

例3：已知點(diǎn)P（x，y），A（-c，0），B（c，0），若求點(diǎn)P的軌跡方程？

通過(guò)例1和例2，讓學(xué)生探究得到：當(dāng)λ=1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為線段AB垂直平分線;當(dāng)λ≠1時(shí)，點(diǎn)P的軌跡為圓.通過(guò)鋪墊后，讓學(xué)生探究更一般的例3，挖掘出點(diǎn)P的軌跡方程：，即為定“圓”，也叫阿波羅斯圓。

例4：已知及點(diǎn)A（-2，0），是否在x軸上定點(diǎn)O2，滿足：對(duì)于圓O1上的任意點(diǎn)P，都有成立，存在，求出點(diǎn)O2坐標(biāo)，不存在，說(shuō)明理由？

例5：已知及點(diǎn)A（-2，0），B（-6，-4）：點(diǎn)P在圓O1上求|PB|+2|PA|的最小值？

本節(jié)課堂教學(xué)以阿波羅斯圓為核心，以的比值展開(kāi)探究，不僅滲透了研究定點(diǎn)定值的方法，而且通過(guò)例4和例5的變式探究，開(kāi)拓了學(xué)生的數(shù)學(xué)思維。有深度的課堂教學(xué)，教師需讓學(xué)生領(lǐng)略數(shù)學(xué)方法中蘊(yùn)含的核心，需讓學(xué)生體會(huì)多變的數(shù)學(xué)方法的本質(zhì)。需用以點(diǎn)帶面的策略來(lái)讓學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法，需用專(zhuān)題的方法來(lái)構(gòu)建學(xué)生認(rèn)識(shí)數(shù)學(xué)方法，需用系統(tǒng)性來(lái)提升學(xué)生處理知識(shí)的能力，培養(yǎng)學(xué)生適應(yīng)現(xiàn)代生活應(yīng)具有的數(shù)學(xué)素養(yǎng)。

四、以變式為紐帶構(gòu)建深度教學(xué)，提升學(xué)生思維視角

教師教授學(xué)生知識(shí)，容易產(chǎn)生碎片化特點(diǎn)，不容易形成系統(tǒng)性的方法，掌握不了那些具有深刻思維的知識(shí)點(diǎn)。教師需要在教學(xué)中以變式為驅(qū)動(dòng)，引導(dǎo)學(xué)生探索某類(lèi)問(wèn)題的真諦，并借此引申至不同的方法，讓學(xué)的知識(shí)更加深刻且富有創(chuàng)造性。筆者在深度教學(xué)中堅(jiān)持從精心選題開(kāi)始變式，做到層次豐富，既有區(qū)別又有聯(lián)系，串聯(lián)起一系列數(shù)學(xué)方法，讓學(xué)生真正體會(huì)數(shù)學(xué)的美。筆者認(rèn)為深度教學(xué)中，應(yīng)根據(jù)題目本身所具有的難度，設(shè)置不同層次的變式，引發(fā)學(xué)生思考。例如：在函數(shù)極值點(diǎn)和函數(shù)值之間經(jīng)常具有相關(guān)性，給數(shù)學(xué)知識(shí)披上迷人外衣的同時(shí)，讓學(xué)生常常無(wú)法找到思路，變式的分層有助于學(xué)生逐步認(rèn)知，提高分析能力。筆者復(fù)習(xí)課時(shí)，喜歡運(yùn)用開(kāi)放式試題進(jìn)行復(fù)習(xí)，學(xué)生在學(xué)完知識(shí)之后，如以一個(gè)一個(gè)知識(shí)進(jìn)行零散復(fù)習(xí)，不僅不利于學(xué)生養(yǎng)成學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的方法，更難培養(yǎng)學(xué)生自身獨(dú)立創(chuàng)新的、整合知識(shí)的能力。筆者在高三復(fù)習(xí)導(dǎo)數(shù)極值和最值的公開(kāi)課時(shí)，設(shè)置了開(kāi)放的探究題：

例題：已知函數(shù)，你能根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)從易到難提出2～3個(gè)問(wèn)題并證明嗎？在課上，學(xué)生對(duì)于這類(lèi)問(wèn)題不適應(yīng)，但根據(jù)學(xué)生做題經(jīng)驗(yàn)，提出以下變式：

變式1：當(dāng)a=1時(shí)，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值、最值

變式2：如求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間、極值、最值或求函數(shù)f（x）在[1，e]上的單調(diào)區(qū)間、極值、最值

變式3：存在滿足，求證

變式4：若a>e時(shí)，且存在滿足，求證：

深度課堂教學(xué)下的變式，教師需要學(xué)生能通過(guò)對(duì)函數(shù)的的認(rèn)識(shí)并結(jié)合實(shí)踐，對(duì)所學(xué)問(wèn)題能進(jìn)一步深入探究，總結(jié)彼此之間存在的關(guān)聯(lián)。只有真正貫徹實(shí)施變式教學(xué)，才能讓學(xué)生在深度課堂教學(xué)中，將學(xué)習(xí)的知識(shí)綜合運(yùn)用，舉一反三，觸類(lèi)旁通，把思維推向更高的層次。

有深度的課堂教學(xué)，教師需要在平時(shí)的教學(xué)中潛移默化地滲透，需要教師具有深厚的知識(shí)寬度和深度，需在提高課堂知識(shí)深度和難度上把握好，要讓學(xué)生得法于課堂，受益于課外;有深度的課堂教學(xué)，有助于學(xué)生欣賞數(shù)學(xué)蘊(yùn)含的美，有助于學(xué)生領(lǐng)會(huì)知識(shí)蘊(yùn)含的數(shù)學(xué)思維，有助于學(xué)生在紛繁復(fù)雜中找到解決問(wèn)題的途徑，帶領(lǐng)學(xué)生走進(jìn)廣闊的數(shù)學(xué)天地，將數(shù)學(xué)的育人價(jià)值發(fā)揮最大作用。