順勢而為 順學(xué)而教

盛媛媛

《一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系》在新課標中是列為選學(xué)內(nèi)容的，雖然明確指出不作為考試要求，但是任課老師們都沒有忽略該內(nèi)容，而是不約而同的進行教學(xué)。因為這一內(nèi)容在數(shù)學(xué)中有著相當重要的作用。一元二次方程的求根公式和根與系數(shù)的關(guān)系（即：韋達定理）分別從兩個不同的角度揭示了一元二次方程根與系數(shù)的內(nèi)在聯(lián)系，并且掌握好韋達定理能有效深化學(xué)生對一元二次方程的理解，提高學(xué)生運用一元二次方程分析問題和解決問題的能力，為學(xué)生今后的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)提供有利的條件[1]。

但是在本節(jié)課的教學(xué)設(shè)計上，筆者參考了很多，發(fā)現(xiàn)多數(shù)以解方程填表作為引入，讓學(xué)生填完表后思考一元二次方程的根與系數(shù)的有什么關(guān)系，這樣的方式對學(xué)生來講是很困難的，學(xué)生會很困惑，找不到思考的方向，不知道哪種關(guān)系是自己需要關(guān)注的;甚至有些設(shè)計里在表格中就直接給出了，這樣設(shè)計對學(xué)生來講這節(jié)課的知識更是顯得突兀，學(xué)生根本不清楚為什么要研究根與系數(shù)的這種關(guān)系，從心理上難以接受，很不利于學(xué)生對知識的理解和運用。不僅如此，在韋達定理的證明上一般都是基于求根公式的，這種證明并不是一種好的證明，這一點在《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀》（2011年版）中已經(jīng)明確指出了：“這種基于求根公式的證明不是一個好的證明?！辫b于課堂教學(xué)要講究自然而然，講究知識點之間的銜接流暢，在學(xué)生已有的學(xué)習(xí)經(jīng)驗的基礎(chǔ)上，按照學(xué)生的認知規(guī)律教學(xué)，能激發(fā)和調(diào)動他們的學(xué)習(xí)興趣和積極性，能引發(fā)他們的數(shù)學(xué)思考，使之掌握有效的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法[2]。筆者基于理解數(shù)學(xué)、理解學(xué)生、理解教學(xué)的認識，順應(yīng)學(xué)生的認知發(fā)展進程，順勢而為、順學(xué)而教為宗旨，以突出重點、突破難點為目的，重新構(gòu)思了本內(nèi)容的教學(xué)設(shè)計。

問題1：解方程：（1）（2）（3） .

追問1：對比（1）、（2）、（3）三個方程的根，你有什么發(fā)現(xiàn)？

追問2：一元二次方程的根由什么決定？根與系數(shù)的關(guān)系是什么？

設(shè)計意圖：通過解三個具體的一元二次方程幫助學(xué)生復(fù)習(xí)回顧一元二次方程的解法，通過追問1，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一次項系數(shù)符號變了，根也隨之而發(fā)生了變化，而且兩根僅僅是符號發(fā)生了變化;常數(shù)項變了，根也隨之發(fā)生了變化。讓學(xué)生體會到數(shù)學(xué)中的“變與不變”的思想，也讓學(xué)生體會到方程的根和一次項系數(shù)和常數(shù)項有關(guān)系.通過追問2，引起學(xué)生的回憶，一元二次方程的求根公式反映的就是根與系數(shù)的一種關(guān)系，并幫助學(xué)生復(fù)習(xí)了這種關(guān)系.

問題2 ?解方程：

追問1：你能不能再寫出一個根為1、-4的一元二次方程？這樣的方程有幾個？應(yīng)該怎么表示？

追問2：你能不能寫出所有根為的一元二次方程？

設(shè)計意圖：學(xué)生通過解方程，發(fā)現(xiàn)它的根與問題1中的方程（3）的根完全相同，引發(fā)學(xué)生思考和它們同根的方程有多少個？該怎樣表示？經(jīng)過思考學(xué)生會聯(lián)想到一元二次方程解法之一——因式分解法.通過因式分解法的啟發(fā)學(xué)生能自己寫出同根方程的一般形式：。問題2也進一步讓學(xué)生體會一元二次方程中的第二個“變與不變”——根發(fā)生變化，一元二次方程的各項系數(shù)也隨之而發(fā)生變化.通過追問2，把問題一般化，采用從特殊到一般的研究方法，易于學(xué)生理解，也為學(xué)生提供了一種研究問題的思想方法。

問題3 ?把方程化成一般形式，對比一元二次方程方程的一般形式你有什么發(fā)現(xiàn)？（知道方程的兩根，是怎樣把一元二次方程的各項系數(shù)確定下來的？）

追問1：如何證明你的發(fā)現(xiàn)？你有哪些方法？（學(xué)生分組討論）

追問2：根據(jù)方程根的意義，得到和，能否進一步得到根與系數(shù)之間的關(guān)系？

追問3：能否用文字敘述兩個根、的和、積與一元二次方程系數(shù)之間的關(guān)系？

設(shè)計意圖：通過問題3，讓學(xué)生思考一元二次方程的兩根是如何反過來確定各項系數(shù)的，從而讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的關(guān)系之二：這里對于一元二次方程根與系數(shù)的這種關(guān)系并不是像以往那樣讓學(xué)生提出猜想，那樣是很困難的，而且在內(nèi)容的理解上也很牽強，學(xué)生不知道為什么只研究和與積而不研究其它的關(guān)系。在這里是讓學(xué)生通過合情推理，利用多項式的相等的知識，發(fā)現(xiàn)了一元二次方程的各項系數(shù)可以由兩根確定，進而順其自然的發(fā)現(xiàn)根與系數(shù)的這種內(nèi)在聯(lián)系。這種發(fā)現(xiàn)過程也為后續(xù)韋達定理的證明提供了一種思路.通過追問1，在教師的指導(dǎo)下學(xué)生易得到如下的證明：設(shè)一元二次方程有兩個根，則該方程就一定可以寫成如下形式：.因此，將上式左、右兩邊變形得[3] ，再由“多項式相等”的概念容易得到韋達定理。這種證明方法便于學(xué)生從本質(zhì)層面去理解一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，而且為學(xué)生今后探討一元高次方程的根與系數(shù)的關(guān)系提供了一種可行的科學(xué)研究思路，真正挖掘了這種證明方法背后所蘊含的豐富的科學(xué)方法，與“理解數(shù)學(xué)”的要求相呼應(yīng)[2]。通過追問1、追問2引導(dǎo)學(xué)生利用不同方法推理根與系數(shù)的關(guān)系，發(fā)展學(xué)生代數(shù)推理的能力，培養(yǎng)思維的靈活性與多樣性。通過追問3，讓學(xué)生嘗試用語言敘述一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，培養(yǎng)學(xué)生的語言表達能力，加深學(xué)生對韋達定理的理解。

例1 求下列方程兩根的和與積：

設(shè)計意圖：不解方程，求兩根的和與積，讓學(xué)生深刻體會到韋達定理的簡便性，讓學(xué)生學(xué)有所用，學(xué)有所思.在應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時要特別注意方程有實數(shù)根的條件，即，再直接利用結(jié)論解決問題。

例2 若方程的一根為1，求它的另一個根和m的值.

設(shè)計意圖：韋達定理的應(yīng)用比較靈活，學(xué)生在解這道題時可能有不同方法，通過不同方法的對比討論，讓學(xué)生在解題中進一步體會韋達定理的靈活之處，加深對理解根與系數(shù)內(nèi)在聯(lián)系的理解[4]。

小結(jié)

一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系是什么？應(yīng)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系時要注意什么問題？

設(shè)計意圖：通過思考讓學(xué)生回顧本節(jié)課的內(nèi)容，把握本節(jié)課的核心，體會數(shù)學(xué)活動過程的探索性，發(fā)展學(xué)生的歸納和概況能力。

學(xué)生是學(xué)習(xí)的主體，教師的教學(xué)應(yīng)該從學(xué)生的已有知識經(jīng)驗出發(fā)，基于學(xué)生最近發(fā)展區(qū)，給予學(xué)生探究韋達定理合適的梯子，讓學(xué)生經(jīng)歷深層次的思考，真正理解韋達定理的生成過程.蘇霍姆林斯基曾說過，在人的心靈深處，都有一種根深蒂固額需要，這就是希望自己是一個發(fā)現(xiàn)者、研究者、探索者，而這種需要在學(xué)生的精神世界中尤為重要.這就要求教師在課堂教學(xué)中尊重學(xué)生是學(xué)習(xí)的主人，在各個環(huán)節(jié)上力求知識問題化，問題情景化，調(diào)動起學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情，激發(fā)起學(xué)生學(xué)習(xí)的內(nèi)驅(qū)力，讓學(xué)生在自我探索中發(fā)現(xiàn)真理，提高學(xué)生精神世界的自我滿足感.好的課堂應(yīng)該是春風(fēng)化雨、潤物細無聲的，教師通過設(shè)置好的問題引導(dǎo)，引領(lǐng)學(xué)生一步一步的向目標靠近，讓學(xué)生通過自主、合作探究獲得知識，獲得優(yōu)秀的思維習(xí)慣和能力。

“授人以魚不如授人以漁”，我們今天的教育并不是要教給學(xué)生多少知識，而是要培養(yǎng)學(xué)生獨立解決問題的能力.這就要求教師的教育教學(xué)要遵循自然規(guī)律，遵循學(xué)生的認知特點和發(fā)展規(guī)律，不能刻意而為，要順勢而為、順學(xué)而教，回歸教育本質(zhì)。

參考文獻：

[1]教育部基礎(chǔ)教育課程教材專家工作委員會.義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準解讀（2011版）【M】.北京師范大學(xué)出版社，2012：167.

[2]鄒楚林 甘哲.基于三個理解 創(chuàng)新教學(xué)設(shè)計【J】.中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考，2016（6）：63-65.

[3]嚴士健.義務(wù)教育教科書數(shù)學(xué)九年級上冊【M】.長沙：湖南教育出版社，2014：46-47.

[4]南京市教研成果叢書編委會.課程標準的教學(xué)解析和實施建議【M】.江蘇鳳凰教育出版社，2017：16.