“三角形的分類”教學(xué)實踐與思考

江蘇省無錫市新吳區(qū)錫梅實驗小學(xué) 陳 雅

江蘇省無錫市新吳區(qū)江溪小學(xué) 吳建亞

“三角形的分類”是蘇教版數(shù)學(xué)四年級下冊的內(nèi)容，旨在讓學(xué)生通過觀察、比較、歸類等活動，經(jīng)歷給三角形分類的過程，認(rèn)識并辨別銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形，了解各種三角形的特點。這節(jié)課可以說是一節(jié)“老”課，但修訂教材對這一塊內(nèi)容有所調(diào)整，而很多一線教師卻沒有關(guān)注到教材的變化，還按著“老方子”教學(xué)，令人憒憾。如何循著新教材的修改意圖，理解教材的編排與要求，將老課新上，從而更好地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維呢？基于此，我們對這一課展開了研究、實踐與思考。

數(shù)學(xué)課堂可以發(fā)展學(xué)生哪些思維，我們進(jìn)行了如下思考。

一、對點狀思維和整體思維的思考

【教學(xué)片段】

（1）復(fù)習(xí)角的分類

師：同學(xué)們來到農(nóng)場做志愿者服務(wù)。為了慶祝農(nóng)場成立，舉辦了一場燈光晚會。看，舞臺上的燈光漂亮嗎？

生：漂亮！

師：燈光里還有數(shù)學(xué)知識呢。瞧，如果把射燈看作一個端點，射出的光線看作一條射線，把這條射線繞著它的端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到另一個位置，就形成了一個（角）。這是一個什么角？（銳角）

師：那請同學(xué)們想象一下，如果繼續(xù)旋轉(zhuǎn)這條射線，還會形成什么角呢？我們一起來轉(zhuǎn)一轉(zhuǎn)、說一說。

師：什么角？（銳角）繼續(xù)轉(zhuǎn)。（直角）繼續(xù)轉(zhuǎn)。（鈍角）繼續(xù)轉(zhuǎn)，現(xiàn)在（平角），旋轉(zhuǎn)一圈（周角）。

師：根據(jù)角的度數(shù)，我們可以把角分成這樣幾類，見圖1。

圖1 角的動態(tài)演示

（2）引入三角形的分類

師：農(nóng)場里還藏著許多三角形呢，我們一起來找一找、看一看。

課件播放。

師：三角形和角一樣還有很多，可以畫多少個不同的三角形（無數(shù)個），那我們用省略號來表示無數(shù)個。

師：看了這么多三角形，你有什么想法？我們怎么來區(qū)分它們？要不，給每一個三角形都取個名字？（不可取）無數(shù)個三角形，取不完呀！那應(yīng)該怎么辦？

生：可以根據(jù)角給三角形分類。

師：這位同學(xué)覺得可以根據(jù)角的特征來給三角形分類。好，就聽她的，那今天我們就從角的特征入手，對三角形進(jìn)行分類。

師：為了便于研究，我們從這么多的三角形中選出5個，老師給它們標(biāo)上序號、排排整齊。

【思考】

以農(nóng)場射燈的情境表征角的動態(tài)定義，從而引入角的分類，接著引出三角形，再自然而然地引向三角形的分類需求，這樣設(shè)計注重新舊知識之間的聯(lián)系。將三角形放在平面圖形中考察，而不單獨割裂開來學(xué)習(xí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)思維的整體性。從農(nóng)場實物中抽象出三角形，學(xué)生感受到三角形和角一樣有無數(shù)多個，最終選5個代表展開研究。這一過程培養(yǎng)了學(xué)生思維的整體性，因為個體的背后是一個整體，這5個是三角形世界中的代表。

拋出“大問題”，讓學(xué)生小組合作討論解決，我們發(fā)現(xiàn)，這樣的課堂更精彩。學(xué)生對這些三角形按角的特征進(jìn)行分類，首先依據(jù)的標(biāo)準(zhǔn)是三角形里有沒有直角，在此基礎(chǔ)上，部分學(xué)生再將經(jīng)驗遷移，思考三角形里有沒有鈍角、是否全是銳角，這些學(xué)生采取的是二分法。還有部分學(xué)生直接根據(jù)角的特征，采用了三分法。最終，班級學(xué)生一共得到四種分法，在下一環(huán)節(jié)，我們設(shè)計了將四類分法整理為同一類的教學(xué)環(huán)節(jié)，這一過程也體現(xiàn)了思維的整體性，因為整體思維是追求各種關(guān)系的一種整合。我們發(fā)現(xiàn)，改進(jìn)后的教學(xué)設(shè)計，學(xué)生在推動著課堂生成的同時，自身也在逐步形成有意義的學(xué)習(xí)建構(gòu)?！叭切蔚姆诸悺币徽n，很多教師往往過分關(guān)注學(xué)生會不會對三角形按角的特征來分成三類，而忽視了更重要的向?qū)W生滲透數(shù)學(xué)中的分類思想，即“根據(jù)教學(xué)對象的共同性與差異性，把具有相同屬性的歸入一類，把具有不同屬性的歸入另一類”。減少教師的“鋪路”，給學(xué)生一定的空間與時間對問題進(jìn)行全局性思考，充分發(fā)揮學(xué)生的主觀能動性，能更好地培養(yǎng)學(xué)生思維的整體性。

筆者認(rèn)為，教師在教學(xué)“三角形的分類”一課時，應(yīng)該培養(yǎng)學(xué)生的整體思維而不是點狀思維，這也是為何修訂教材時把表格刪去的原因吧。

二、對求同思維和求異思維的思考

【教學(xué)片段】

師：三角形還有很多很多，數(shù)也數(shù)不盡。那根據(jù)角的特征，是不是只能分成這樣的三類（銳角三角形、直角三角形和鈍角三角形）呢？

生1：角還有平角和周角，三角形應(yīng)該還有其他類別。

我們的競爭者不僅有國內(nèi)的同行們，還有強勁的國外大型數(shù)字企業(yè)向國內(nèi)的大舉擴(kuò)張。這些國外大型數(shù)字企業(yè)不但擁有先進(jìn)的技術(shù)和豐富的經(jīng)驗，還具有完善的營銷策略。面對這些挑戰(zhàn)，我們要擺正心態(tài)，將注意力集中到自我發(fā)展上。好的競爭對手更能激勵我們不斷地前進(jìn)。

生2：我覺得所有的三角形只能分成這樣的三類。師：到底哪位同學(xué)的猜想是對的呢？

（1）釘子板操作驗證。

（2）三角形內(nèi)角和的推理驗證。

（3）幾何畫板多樣驗證。

師：剛才同學(xué)們圍出了很多三角形，也都只有這三類。是不是根據(jù)角的特征，三角形真的只能分成三類呢？其實啊，數(shù)學(xué)家也思考過這個問題，他們利用幾何畫板來研究，我們來看看（圖略）。

圖2 幾何畫板演示三個點在一線情況

師：通過剛才的演示，你有什么發(fā)現(xiàn)？

生：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。

師：你真會概括。現(xiàn)在，我們可以十分肯定地說——師生齊：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。

【思考】

我們發(fā)現(xiàn)，這樣的教學(xué)不僅藏著許多探究活動，而且還向?qū)W生滲透不完全歸納推理等數(shù)學(xué)思想，給學(xué)生提供了思考的土壤，與原有設(shè)計中教師的直接告知形成了鮮明的對比。學(xué)生通過動手在釘子板上圍一圍——圍不出第四種三角形、用三角形內(nèi)角和的知識來推理——發(fā)現(xiàn)一個三角形最多只有一個直角或鈍角、在幾何畫板上移一移——沒有第四種三角形出現(xiàn)。最終，學(xué)生們十分肯定地說出：根據(jù)角的特征，三角形只能分成這三類。而這一切，源于教師對學(xué)生“求異思維”的保護(hù)，讓學(xué)生猜一猜，充分尊重了學(xué)生的體會與感悟。

“求異探索是一種富有創(chuàng)造性的辨異思維”，當(dāng)課堂上只有一種聲音，大家都在“求同”時，敢于說出自己不同意見“可能還有其他類三角形”的學(xué)生，雖然不一定正確，但其勇氣就值得教師肯定。原有的設(shè)計，只“求同”——讓學(xué)生知道所有的三角形按角分類只有三種，從而快速完成本課的重難點；而改進(jìn)設(shè)計后慢下來的教學(xué)則更關(guān)注“學(xué)生的個性心理差異，使他們能更深入細(xì)致且靈活變通地掌握知識”。蘇教版修訂教材時將“三角形的內(nèi)角和”前置于“三角形的分類”，這樣的編排凸顯了知識發(fā)生、發(fā)展的邏輯順序，為學(xué)生“求異”思維的培養(yǎng)提供了條件。

三、對常規(guī)性思維和創(chuàng)造性思維的思考

【教學(xué)片段】

練習(xí)：

（1）給出三角形兩個銳角的度數(shù)，判斷是什么三角形。

①30°，60° （ ）三角形

②7□°，5□° （ ）三角形

（2）露出三角形一個角，判斷是什么三角形。你最想猜哪一個信封。

【思考】

第（1）題的題①，學(xué)生通過三角形內(nèi)角和的知識進(jìn)行計算后進(jìn)行判斷，符合學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律。教師小結(jié)時提到“這兩個銳角之和是90°，它就是一個直角三角形”，為接下來的教學(xué)做鋪墊。

當(dāng)題②出示時，學(xué)生不約而同地發(fā)出“啊”的驚嘆聲，他們發(fā)現(xiàn)角度越來越小了，甚至影響他們通過計算來判斷。面對這樣的習(xí)題，學(xué)生們陷入了深深的思考中，有一部分學(xué)生用舉例子帶入數(shù)據(jù)來計算得出結(jié)論，但明顯發(fā)現(xiàn)有些煩瑣且容易出錯；還有一部分學(xué)生則發(fā)現(xiàn)這兩個銳角度數(shù)之和大于90°，那么第三個角度數(shù)肯定比90°小，所以肯定是銳角三角形，通過已知兩個銳角度數(shù)之和與90°的關(guān)系推理出了結(jié)論。這樣的教學(xué)尊重學(xué)生的個體差異，正視不同個體之間的思維差距，數(shù)據(jù)留白了，學(xué)生的思維卻從低階邁步進(jìn)入了高階。

在題②基礎(chǔ)上，有的學(xué)生甚至說出如果已知兩個銳角度數(shù)之和小于90°，那么這個三角形肯定是鈍角三角形。從這個結(jié)論的得出，可見學(xué)生對所有情況都進(jìn)行了分析，體現(xiàn)了思維的整體性和深刻性。計算與推理相結(jié)合的解題思路，必然會引起學(xué)生的頭腦風(fēng)暴，最終促進(jìn)學(xué)生形成高階思維。

第（2）題的“你最想猜哪一個信封”，極大激發(fā)了學(xué)生的解題興趣。這一問不僅讓學(xué)生去判斷三角形的類型，更讓學(xué)生思考自己的選擇。具有不同數(shù)學(xué)思想的學(xué)生會做出不同的選擇。選擇從簡單出發(fā)的學(xué)生注重由易向難，選擇從高挑戰(zhàn)性出發(fā)的學(xué)生則突顯了其探究欲。教師應(yīng)該尊重學(xué)生的個體差異。

數(shù)學(xué)課堂是學(xué)生發(fā)展思維的重要場所，而每一節(jié)課、每一個環(huán)節(jié)甚至每一句話都可以是載體，教師要時刻把培養(yǎng)學(xué)生整體思維、求異思維、創(chuàng)新思維等重要思維品質(zhì)作為每一節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)，真正遵循學(xué)生的思維發(fā)展規(guī)律——由淺入深、從簡到繁、從易到難來開展教學(xué)，讓學(xué)生在逐步發(fā)展數(shù)學(xué)思維的過程中，養(yǎng)成具有生長性的必備品格與關(guān)鍵能力，最終提升學(xué)生的數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)。