數(shù)學(xué)建模思想在“算用結(jié)合”課例中的應(yīng)用

【摘要】背景分析：《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)》指出：“計(jì)算應(yīng)該使學(xué)生經(jīng)歷從現(xiàn)實(shí)生活中抽象出簡單的數(shù)量關(guān)系，在具體的情境中理解，并應(yīng)用所學(xué)的知識(shí)解決問題的過程，應(yīng)避免將運(yùn)算與應(yīng)用割裂開來?！睘榇?，我們在教學(xué)中應(yīng)該著力解決以下問題：是知識(shí)從哪里來——讓學(xué)生知道為什么要計(jì)算（為了解決問題）;二是知識(shí)是怎樣的一一讓學(xué)生結(jié)介問題情境理解算理、掌握算法;三是知識(shí)到哪里去一一讓學(xué)生用計(jì)算進(jìn)一步解決問題。解決以上問題的關(guān)鍵是怎樣將“算”、“用”有機(jī)結(jié)介，構(gòu)建行之有效的“算用互促”的數(shù)學(xué)模刑，使“計(jì)算意義”成為“解決問題”的依據(jù)，用“解決問題”來解釋“算理”。在實(shí)際教學(xué)中如果使兩者結(jié)合得好，叫以提高解決問題的效率。

【關(guān)鍵詞】 解決問題;數(shù)學(xué)建模;數(shù)學(xué)模型;數(shù)量關(guān)系;問題情境;引導(dǎo)學(xué)生;計(jì)算教學(xué);有機(jī)結(jié)合。

課例研究：下而以課程標(biāo)準(zhǔn)實(shí)驗(yàn)教材二年級下冊“混合運(yùn)算”為例，探討怎樣利用數(shù)學(xué)建模思想有效應(yīng)用“算用結(jié)合”。

教學(xué)片段：

一、情境導(dǎo)入，提出問題——為什么要計(jì)算以“用”引“算”

出示主題圖“過河”：一群小學(xué)生上學(xué)途中要乘船過河，河邊擺著許多船，每條船限乘9人?，F(xiàn)在河邊共有男生29人，女生25人，其中個(gè)男生在想：至少需要幾條船？

二、建立模刑，解決問題—理解算理、掌握算法（以“用”釋“算”）

師：要求需要幾條船，可以用什么方法來計(jì)算？請說出數(shù)量關(guān)系式。

生：總?cè)藬?shù)÷每條船限乘的人數(shù)=需要船的條數(shù)。（提出模型假設(shè)）

師：哪個(gè)信息還沒有直接告訴我們？怎樣解決？

生：“總?cè)藬?shù)”還不知道，可以用“男生人數(shù)+女生人數(shù)=總?cè)藬?shù)”求出。（利用數(shù)學(xué)模型解決中間問題）

（利用模型求解）生：29+25=54（人）54÷9=6（條）。

綜介算式：29+25÷9

師：請各學(xué)習(xí)小組討論這樣列綜合算式對不對？（讓學(xué)生用前面提出的模型假設(shè)來驗(yàn)證運(yùn)算順序是否正確。）

生：這樣列式是不對的，因?yàn)橐人恪?5÷9”，它是有余數(shù)的，和原來的得數(shù)不一樣了。

生：在分步計(jì)算的時(shí)候，是先求總?cè)藬?shù)，然后按照“總?cè)藬?shù)÷每條船限乘的人數(shù)=需要船的條數(shù)”來算的，而這樣列綜介算式就不能先求“總?cè)藬?shù)”了，所以是錯(cuò)的。

師：那有什么辦法讓綜介算式與分步計(jì)算的運(yùn)算順序樣呢？

生：要將綜介算式中的“29+25"用小括號(hào)括起來。

師：（讓這個(gè)學(xué)生在板書的算式中添上小括號(hào)）小括號(hào)有什么作用呢？

生：算式中小括號(hào)括起來的部分能夠先算。

師：對，小括號(hào)的作用就是能夠先算。請大家和前面的數(shù)量關(guān)系對照一下，現(xiàn)在運(yùn)算順序是否正確了？（讓學(xué)生根據(jù)數(shù)學(xué)模刑體驗(yàn)小括號(hào)的作用）

讓學(xué)生完整地計(jì)算“（29+25）÷9”，并說說它的運(yùn)算順序。

三、拓展模型，解釋應(yīng)用——讓計(jì)算運(yùn)用新情境（以“算”促“用”）

1.基本練習(xí)（模型應(yīng)用）

18-9÷3 （18- 9） ÷3

2.變式練習(xí)（模型拓展）

（1）歡歡有10支鉛筆，用去4支，剩下的送給2個(gè)小朋友，平均每個(gè)小朋友能分到幾支？

3.提煉概括（模型提升）

師：下而我們來總結(jié)解決兩步計(jì)算問題的共同特征。（兩步計(jì)算問題解決的共同模型及關(guān)鍵）

解讀：

在以往的教學(xué)中，計(jì)算和應(yīng)用問題各自單獨(dú)安排，如四則混合運(yùn)算就純粹地解決運(yùn)算順序，應(yīng)用題教學(xué)中也沒有學(xué)習(xí)小括號(hào)的任務(wù)。本次課程改革對“應(yīng)用題”動(dòng)了“大手術(shù)”：不再單獨(dú)編排“應(yīng)用題”章節(jié)，強(qiáng)調(diào)從運(yùn)算意義出發(fā)進(jìn)行思考。倡導(dǎo)“問題情境一一建立模型一一解釋、應(yīng)用與拓展”的學(xué)習(xí)模式和“原型一一模型——應(yīng)用”的知識(shí)呈現(xiàn)形式。教材是抓住了計(jì)算和應(yīng)用問題之間的內(nèi)在聯(lián)系，使計(jì)算的意義成為解決問題的依據(jù)，而通過解決問題又可以加深對算理和算法的理解，兩者之間是相互促進(jìn)的關(guān)系，在教學(xué)中只有把它們有機(jī)結(jié)介起來，使它們“水乳相融”而不是“油水分離”。上述教學(xué)片段就是基于這樣的思考來開展的，體現(xiàn)了以下特點(diǎn)。

1、在問題情境中計(jì)算。以往的計(jì)算教學(xué)是沒有具體情境的，一般是通過復(fù)習(xí)舊知導(dǎo)入的。新課程強(qiáng)調(diào)計(jì)算教學(xué)要緊密聯(lián)系學(xué)生的生活實(shí)際，因此，上述課例創(chuàng)設(shè)了學(xué)生上學(xué)途中乘船的情境，讓學(xué)生從情境中發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)信息，提出數(shù)學(xué)問題，發(fā)展學(xué)生收集信息、發(fā)現(xiàn)問題的能力。這是數(shù)學(xué)建模的第一步，抽象為數(shù)學(xué)模型，求出模型的解，驗(yàn)證模型的合理性，并用該數(shù)學(xué)模型所提供的解答來解釋、應(yīng)用現(xiàn)實(shí)問題的過程。該課例中的整個(gè)計(jì)算教學(xué)，學(xué)生始終在問題情境中提出問題、探索算理、掌握算法，這樣的情境有“以用引算”的作用。

2、在計(jì)算中解決問題。為了解決提出的數(shù)學(xué)問題，教師引導(dǎo)學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系和解題思路，這是提高學(xué)生解決問題能力的重要手段。當(dāng)前，有些教師存在困惑：在解決問題教學(xué)中要不要進(jìn)行數(shù)量關(guān)系的分析？要回答這個(gè)問題，我們首先來分析下“解決問題”的思維過程，在解決問題中要實(shí)現(xiàn)兩個(gè)轉(zhuǎn)化：（1）實(shí)際情境→數(shù)學(xué)問題;（2）數(shù)學(xué)問題→解決問題。在以往的教學(xué)中，第一個(gè)轉(zhuǎn)化教材編寫者代替了，學(xué)生只需解決第二個(gè)轉(zhuǎn)化。有些教師關(guān)注了情境的創(chuàng)設(shè)，關(guān)注了信息的收集，而忽略了數(shù)量關(guān)系的提煉，形成了“就題論題”現(xiàn)象，學(xué)生的每次活動(dòng)都只是個(gè)孤立的“個(gè)案”，沒有加以必要的“梳理”與“整合”，沒有通過問題情境，探索并構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，也就難以實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化遷移，這樣的教學(xué)也不是真正的數(shù)學(xué)建模學(xué)習(xí)活動(dòng)，因?yàn)閿?shù)學(xué)模型的核心要素是要用數(shù)學(xué)語言表述數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。因此，教學(xué)中應(yīng)該讓學(xué)生根據(jù)數(shù)量關(guān)系和解題思路獨(dú)立地解決問題。

3、在解決問題中釋算。在學(xué)生完成分步解決的基礎(chǔ)上，教師及時(shí)引導(dǎo)學(xué)生列綜合算式，此時(shí)又創(chuàng)設(shè)了個(gè)新的問題情境：沒有小括號(hào)的綜合算式和分步的算式不一致。此時(shí)，教師引導(dǎo)學(xué)生充分利用數(shù)量關(guān)系和解題思路去驗(yàn)證綜合算式是否正確，在引出小括號(hào)后，又用它們?nèi)ソ忉?、體驗(yàn)小括號(hào)的作用，達(dá)到了以“用”釋“算”的功效。在解決問題的情境中，學(xué)生體驗(yàn)到小括號(hào)的引進(jìn)是解決實(shí)際問題的需要，它的運(yùn)用使原先產(chǎn)生的“矛后沖突”得到解決，學(xué)生不僅理解了算理、掌握了算法，還順利完成了解決問題的任務(wù)，而且負(fù)擔(dān)不重，收到了一舉多得的效果。

4、在釋算中提煉升華。當(dāng)學(xué)生得出具體的數(shù)學(xué)模型后，教學(xué)中還安排了拓展應(yīng)用的環(huán)節(jié)。首先設(shè)計(jì)了基本練習(xí)，以鞏固和加深對基本模型的理解。接著安排了變式練習(xí)，這是對基本模型的拓展，使該計(jì)算模刑應(yīng)用到新的情境中去，達(dá)到“以算促用”的目的。最后，對解決兩步計(jì)算問題的共同特征進(jìn)行了提煉概括，引導(dǎo)學(xué)生理出解決兩步實(shí)際問題的知識(shí)鏈，形成認(rèn)知網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，實(shí)現(xiàn)結(jié)構(gòu)化遷移，提高解決數(shù)學(xué)問題的能力。

在當(dāng)前的教學(xué)中，不少學(xué)生不會(huì)分析數(shù)量關(guān)系，找不到兩步計(jì)算的中間問題，講不清解題思路。這些現(xiàn)象都與教師在教學(xué)中忽略對解決問題基本方法的提煉和總結(jié)有關(guān)，而這些基本方法對提高學(xué)生的數(shù)學(xué)思維能力和解決問題能力是很有作用的，它有別于解定類型題的個(gè)別技能技巧，它是種具有廣泛遷移性的解任何題都需要具備的能力?？梢?，學(xué)生只有積累必要的基本數(shù)量結(jié)構(gòu)，弄清數(shù)量結(jié)構(gòu)之間的組合特點(diǎn)，才能在獲取信息后形成解題思路，學(xué)會(huì)解決問題，并把零散的知識(shí)匯編成系統(tǒng)的網(wǎng)絡(luò)，從而把握“問題解決”學(xué)習(xí)領(lǐng)域總的結(jié)構(gòu)系統(tǒng)。

參考文獻(xiàn)

【1】陽志長《把握初中教材的實(shí)踐性-一抓好數(shù)學(xué)建模啟蒙教育》中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考2016. 10

【2】數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)編寫組《數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實(shí)驗(yàn)）解讀》江蘇教育出版社2004. 3

【3】堵盤華《從教材入手提煉數(shù)學(xué)建模思想》數(shù)學(xué)教育學(xué)報(bào)2018. 8

作者簡介：

姓名：朱艷梅，出生年月：1990年10月，性別：女，籍貫：廣西興業(yè)縣，民族：漢族，學(xué)歷：本科，職稱：二級教師，研究方向：小學(xué)數(shù)學(xué)，單位：廣西貴港市港北區(qū)石羊塘小學(xué)，郵編：537000