小學(xué)數(shù)學(xué)“變中有不變”思想的實踐與思考

江蘇省無錫市東北塘實驗小學(xué) 王錫芳

“動與靜”是哲學(xué)觀中的一組關(guān)鍵詞，用以辯證性地認知世界。動靜相宜，互為補充，此乃融善之道。意為在變幻莫測的現(xiàn)象中，找到不變的規(guī)律，以便更好地認識它，為自身服務(wù)，可視為不變。在學(xué)習數(shù)學(xué)或用數(shù)學(xué)解決問題的過程中，也會面對千變?nèi)f化的對象，在這些變化中找到不變的性質(zhì)和規(guī)律，發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)的本質(zhì)，這就是“變中有不變”思想，正所謂“萬變不離其宗”。數(shù)學(xué)教學(xué)時，面對變化萬千的題組變式，若能引導(dǎo)學(xué)生抽絲剝繭，把尋到“不變”之匙，定能發(fā)現(xiàn)知識本真，撬開與之關(guān)聯(lián)的諸多問題之鎖，解決相類同的數(shù)學(xué)問題。

一、從膚淺到深入，在“變”與“不變”中感知知識的形成過程

知識的獲取和認識不是一蹴而就的，而是有其內(nèi)在聯(lián)系的，需要循序漸進，在多變的外形下引導(dǎo)學(xué)生經(jīng)歷逐步內(nèi)化的認知過程，促使其真正觸及概念的本質(zhì)，掌握知識的原理。

如教學(xué)“倍的認識”一課，新授環(huán)節(jié)通過設(shè)計三個層次的教學(xué)，讓學(xué)生在“變”與“不變”中逐步深化對“倍”的認識。第一個層次，教師利用課件進行動態(tài)演示，在第一行畫2個圓，告訴學(xué)生可以把它看作一份圈起來，并稱它為“1個2”，再出示第二行的圓，讓學(xué)生一起來數(shù)一數(shù)共有幾個2。在此基礎(chǔ)上告訴學(xué)生：第一行有1個2，第二行有3個2，像這樣就可以說，第二行的個數(shù)是第一行的3倍。接著，通過逐步增加第二行圓的個數(shù)，讓學(xué)生認識4倍、5倍、6倍直至幾倍。第二個層次，保持第二行圓的個數(shù)（12個）不變，變化第一行圓的個數(shù)（從2個變成4個），追問學(xué)生：“第二行圓的個數(shù)是否還是第一行的6倍？”讓學(xué)生試著圈一圈。學(xué)生在圈的過程中發(fā)現(xiàn)第一行有1個4，第二行有3個4，第二行的個數(shù)是第一行的3倍。接著去掉第一行的一個圓，變成3個，再次讓學(xué)生圈一圈，學(xué)生發(fā)現(xiàn)第一行有1個3，第二行有4個3，第二行的個數(shù)是第一行的4倍。最后，比較三次變圓的過程，提問：“第二行都是12個圓，可為什么有的第二行是第一行的6倍，有的第二行是第一行的4倍，還有的第二行是第一行的3倍呢？”通過探究學(xué)生明白：要知道第二行的個數(shù)是第一行的幾倍，關(guān)鍵是要看清第一行是幾個為一份的，第二行有這樣的幾份，第二行的個數(shù)就是第一行的幾倍。第三個層次，屏幕隱去上面圖框中的圓，只留下圖框，引導(dǎo)學(xué)生思考：第一行除了可以畫2個圓、3個圓、4個圓，你覺得還可以畫什么？逐步引導(dǎo)學(xué)生說出：還可以畫三角形、正方形、紅花、藍花等。最后小結(jié)：不管第一行是什么物體，也不管有幾個，只要把第一行的數(shù)量看作一份，第二行有這樣的幾份，就可以說，第二行的個數(shù)是第一行的幾倍。

上述三個層次，由淺入深，教師通過對例題的巧妙擴容，將倍的概念先解構(gòu)再建構(gòu)，讓學(xué)生在“變”與“不變”的智慧演繹中，不斷獲得更清晰的概念表象，“倍”的模型也在學(xué)生頭腦中悄然生長。在這里，“變”的是物體的個數(shù)，“不變”的是“只要把第一行的數(shù)量看作一份，第二行有這樣的幾份，第二行的個數(shù)是第一行的幾倍”這樣的模型?！白儭迸c“不變”的智慧，加深了學(xué)生對“倍”的理解，也點燃了學(xué)生樂學(xué)的 情感。

二、從片面到全面，在“變”與“不變”中經(jīng)歷知識的探索過程

建構(gòu)主義哲學(xué)認為：學(xué)習是一個積極主動的探知過程，是學(xué)生自主完成知識建構(gòu)的過程。因此，在數(shù)學(xué)課堂中要注重探究式學(xué)習，引導(dǎo)學(xué)生觀察比較，在“變”與“不變”中經(jīng)歷知識的探索過程，從而獲得深刻的感性體驗和理性規(guī)律，提升自我探究解決問題的能力。

如教學(xué)“一一間隔排列”一課，分三個層次讓學(xué)生經(jīng)歷知識的探索過程。第一個層次結(jié)合情境圖，讓學(xué)生觀察夾子與手帕、小兔與蘑菇、木樁與籬笆這三組物體的排列特點。在讓學(xué)生知道什么是一一間隔排列的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們數(shù)一數(shù)這些一一間隔排列的物體的個數(shù)，并通過觀察、比較形成初步的猜想：兩端物體和中間物體的個數(shù)相差1。第二個層次，舉例驗證，用小棒和圓片擺一擺，同桌交流擺法后，全班交流并匯報展示幾種擺法，然后引導(dǎo)學(xué)生觀察小棒與圓片的個數(shù)，思考：小棒和圓片有著怎樣的排列特點？它們的個數(shù)又有怎樣的排列規(guī)律？最后得出結(jié)論：不管是什么物體，也不管有多少個，只要是一一間隔排成一行，兩端相同，那么兩端物體就比中間物體多1，中間物體就比兩端物體少1。第三個層次，拓展延伸，教師追問：兩端是小棒時，100根小棒之間應(yīng)擺多少個圓片？若擺了100個圓片需要擺多少根小棒？出示：10個正方形，并引導(dǎo)學(xué)生思考：正方形和三角形一一間隔排列，如果正方形有10個，三角形可能有多少個？最多有多少個？最少呢？如果圍成一圈呢？

上述三個層次，由情境引入，不斷變換探究的對象和物體的個數(shù)，從一開始的夾子與手帕、兔子與蘑菇、木樁與籬笆，到后來的小棒與圓片，再到后來的正方形和三角形，教師通過不一樣的素材，豐富了學(xué)生的感官，讓他們經(jīng)歷了“初步猜想—舉例驗證—得出結(jié)論—拓展延伸”的探索規(guī)律的全過程。同時也展現(xiàn)了動態(tài)教學(xué)的優(yōu)勢，通過多媒體演示讓學(xué)生直觀感知直線與封閉圖形中間隔現(xiàn)象的異同，了解其中的變化規(guī)律。教學(xué)中，教師不時鼓勵學(xué)生透過現(xiàn)象去抓住數(shù)學(xué)中不變的本質(zhì)。這種應(yīng)用不變的本質(zhì)去解決變與不變的哲學(xué)思想是本課的點睛之筆。

三、從割裂到統(tǒng)整，在“變”與“不變”中感悟知識的應(yīng)用過程

數(shù)學(xué)問題的呈現(xiàn)情境各不相同，然而其內(nèi)在解題思路是相通的。如果能夠抓住數(shù)學(xué)模型來認知，那么就可以去偽存真，不為問題表象所迷惑。培養(yǎng)學(xué)生的模型思想，有利于培養(yǎng)學(xué)生發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題和解決問題的能力。當學(xué)生理解并掌握了各種基本的數(shù)學(xué)模型后，面對變化多樣的數(shù)學(xué)問題，就可以利用已掌握的模型進行分析求解，把握數(shù)學(xué)的本質(zhì)。

如果說新授課上學(xué)生對分數(shù)、比的認識僅僅是割裂的，是孤立知識點的累加，那么設(shè)計分數(shù)應(yīng)用題題組就能很好地將兩者融合，調(diào)動學(xué)生的解題興趣，豐富教學(xué)過程。在一次次的比較分析中，學(xué)生充分感受到了雖然題目千變?nèi)f化，但可抓住“不變量”來解題的重要性。教師將一些深刻的數(shù)學(xué)本質(zhì)生動地呈現(xiàn)出來，學(xué)生對數(shù)學(xué)思想的感悟也隨之增強。

學(xué)生探索知識的形成、發(fā)展和應(yīng)用，除了獲取知識，更重要的是經(jīng)歷探索的過程，獲得積極的體驗，感悟探索數(shù)學(xué)知識的基本思想與方法。小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中，抓住“變中有不變”思想展開教學(xué)，有助于學(xué)生刪繁就簡，抓住本質(zhì)，形成更簡練的思維品質(zhì)?！疤┥讲蛔屚寥溃誓艹善浯螅缓雍２粨窦毩?，故能就其深?！苯處煈?yīng)在每堂課的教學(xué)中適時、適當?shù)伢w現(xiàn)思想方法的教學(xué)目標，使學(xué)生在潛移默化中日積月累，通過提高數(shù)學(xué)素養(yǎng)達到學(xué)好數(shù)學(xué)的目的。