正視實(shí)驗(yàn)誤差，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生

江蘇省江陰市城西中心小學(xué) 吳 靜

《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）》明確指出：“設(shè)計(jì)必要的數(shù)學(xué)活動(dòng)，讓學(xué)生通過(guò)觀察、實(shí)驗(yàn)、猜測(cè)、推理、交流、反思等，感知知識(shí)的形成和應(yīng)用?！睌?shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是為了獲得某種數(shù)學(xué)理論、檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)數(shù)學(xué)猜想和解決某類數(shù)學(xué)問(wèn)題，借助一定的物質(zhì)手段，在數(shù)學(xué)思維活動(dòng)的參與下所進(jìn)行的一種數(shù)學(xué)探索活動(dòng)。數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)是一種常見(jiàn)的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)活動(dòng)，學(xué)生以數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)為載體進(jìn)行數(shù)學(xué)探究，逐步建構(gòu)數(shù)學(xué)知識(shí)或驗(yàn)證數(shù)學(xué)猜想，能促進(jìn)數(shù)學(xué)理解力和創(chuàng)造力的提升。隨著課改的不斷深入，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)被越來(lái)越多的一線教師采納和運(yùn)用。然而，數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)的誤差往往會(huì)使教師陷入尷尬的境地，使得教師對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)教學(xué)心存畏懼。

一、問(wèn)題：實(shí)驗(yàn)誤差的教學(xué)現(xiàn)狀和分析

教師在面對(duì)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差時(shí)，主要有以下三種情況：

1.“規(guī)避”誤差

教師對(duì)實(shí)驗(yàn)過(guò)程中出現(xiàn)的誤差有清晰的認(rèn)識(shí)，但考慮到實(shí)驗(yàn)誤差可能會(huì)對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)產(chǎn)生負(fù)面影響，在設(shè)計(jì)教案時(shí)有意通過(guò)控制實(shí)驗(yàn)變量、改變實(shí)驗(yàn)要求等方式，直接規(guī)避實(shí)驗(yàn)誤差，不讓學(xué)生有看見(jiàn)誤差的機(jī)會(huì)。

2.“忽略”誤差

實(shí)驗(yàn)過(guò)程中，學(xué)生已經(jīng)發(fā)現(xiàn)誤差，但教師往往因分析誤差影響教學(xué)的進(jìn)程和學(xué)生判斷，采取視而不見(jiàn)的態(tài)度，直接忽略誤差，出示標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)。

3.“應(yīng)付”誤差

學(xué)生發(fā)現(xiàn)并提出實(shí)驗(yàn)誤差，教師無(wú)法給予學(xué)生合理的解釋，而用“誤差在實(shí)驗(yàn)中是客觀存在的、無(wú)法避免的”“出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)誤差是正?，F(xiàn)象”等語(yǔ)言應(yīng)付，不做深究。

透過(guò)以上教學(xué)現(xiàn)象，可以看出教師面對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差時(shí)，存在懼怕心理，教師對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的成因和教學(xué)價(jià)值缺乏應(yīng)有的認(rèn)識(shí)。

二、明晰：實(shí)驗(yàn)誤差的成因和教學(xué)價(jià)值

正確認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)誤差，了解實(shí)驗(yàn)誤差產(chǎn)生的原因，明晰其蘊(yùn)含的教學(xué)價(jià)值，對(duì)于優(yōu)化實(shí)驗(yàn)過(guò)程，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)理解都有著重要意義。

（一）實(shí)驗(yàn)誤差的成因

實(shí)驗(yàn)誤差是實(shí)驗(yàn)中一個(gè)量的觀測(cè)值或計(jì)算值與真實(shí)值之間的差距。實(shí)驗(yàn)誤差具有客觀性、生成性和可控性的特點(diǎn)。導(dǎo)致實(shí)驗(yàn)誤差的因素有很多，實(shí)驗(yàn)方式、實(shí)驗(yàn)工具、實(shí)驗(yàn)程序、操作和觀察方法等都會(huì)造成實(shí)驗(yàn)誤差，特別對(duì)具象的、現(xiàn)實(shí)的實(shí)驗(yàn)素材進(jìn)行手工操作時(shí)，誤差是難以避免的。

（二）實(shí)驗(yàn)誤差的教學(xué)價(jià)值

表面看，實(shí)驗(yàn)誤差會(huì)阻礙教學(xué)進(jìn)程，混淆學(xué)生的認(rèn)知，影響學(xué)生的判斷。事實(shí)上，實(shí)驗(yàn)誤差中蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)價(jià)值，對(duì)學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)有著積極的推動(dòng)作用。

1.培育實(shí)驗(yàn)精神

物理學(xué)家丁肇中認(rèn)為：“需要培養(yǎng)實(shí)驗(yàn)的精神，不論是研究自然科學(xué)，研究人文科學(xué)，還是在個(gè)人行動(dòng)上，我們都要保留一個(gè)懷疑求真的態(tài)度。”實(shí)驗(yàn)誤差是培育實(shí)驗(yàn)精神的有效物質(zhì)載體。妥善利用誤差，能幫助學(xué)生樹(shù)立懷疑求真的實(shí)驗(yàn)態(tài)度。

2.優(yōu)化實(shí)驗(yàn)要素

基于實(shí)驗(yàn)誤差，組織學(xué)生進(jìn)行成因分析，有助于教師和學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)素材、實(shí)驗(yàn)過(guò)程、實(shí)驗(yàn)要求等要素的主動(dòng)改良和優(yōu)化，使實(shí)驗(yàn)操作更規(guī)范，實(shí)驗(yàn)結(jié)果更合理。

3.提升思維品質(zhì)

對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的分析，能引發(fā)學(xué)生的深度思考，不僅能使學(xué)生主動(dòng)改變和修正原有的想法，增進(jìn)數(shù)學(xué)理解；還能尋找更為合理的實(shí)驗(yàn)方法和路徑，發(fā)展實(shí)踐能力和創(chuàng)新能力。

三、實(shí)踐：利用實(shí)驗(yàn)誤差組織教學(xué)的操作路徑

教師要正視和利用實(shí)驗(yàn)誤差，讓內(nèi)隱的思維可見(jiàn)，幫助學(xué)生發(fā)現(xiàn)誤差背后的原因并及時(shí)加以改進(jìn)、優(yōu)化實(shí)驗(yàn)過(guò)程，不斷提升思維品質(zhì)。

（一）覺(jué)察誤差：數(shù)據(jù)從“內(nèi)隱”走向“外顯”，讓思維可見(jiàn)

小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)中的實(shí)驗(yàn)，比較常見(jiàn)的是基于合情猜想而進(jìn)行的驗(yàn)證性實(shí)驗(yàn)，其主要目的在于 “證實(shí)”，而非“證偽”。長(zhǎng)期受到這種數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)文化的影響，即便在實(shí)驗(yàn)中出現(xiàn)了誤差，大部分學(xué)生也會(huì)選擇相信猜想，把真實(shí)存在的誤差當(dāng)作是自身學(xué)習(xí)中的錯(cuò)誤，自動(dòng)調(diào)整和修改實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。這種對(duì)誤差“視而不見(jiàn)”的現(xiàn)象，不僅不利于學(xué)生形成嚴(yán)謹(jǐn)、科學(xué)的實(shí)驗(yàn)精神，還會(huì)使學(xué)生錯(cuò)失深入思考的機(jī)會(huì)。因此教師在組織數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)時(shí)，要謹(jǐn)防這種“虛假”實(shí)驗(yàn)，引導(dǎo)學(xué)生正視實(shí)驗(yàn)誤差，讓每一個(gè)測(cè)量的數(shù)據(jù)都能被覺(jué)察、看見(jiàn)，從而推動(dòng)思維的發(fā)展。

1.明確要求，提供方法支持

看見(jiàn)實(shí)驗(yàn)誤差，需要以規(guī)范的操作為前提。實(shí)驗(yàn)前，教師要出示實(shí)驗(yàn)要求，提供實(shí)驗(yàn)工具和實(shí)驗(yàn)材料、明確規(guī)范實(shí)驗(yàn)流程，避免學(xué)生出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤。例如，在教學(xué)“三角形的內(nèi)角和”時(shí)，教師要在學(xué)生基于已有經(jīng)驗(yàn)猜想“三角形內(nèi)角和是180°”后，出示實(shí)驗(yàn)要求：（1） 標(biāo)一標(biāo)，在課前準(zhǔn)備好的任意三角形（可以是畫(huà)的，也可以是剪下的三角形）上標(biāo)出3個(gè)內(nèi)角，做好記號(hào)；（2）想一想，你有什么辦法驗(yàn)證自己的猜想，再動(dòng)手實(shí)驗(yàn)；（3） 填一填，三角形的內(nèi)角和是（ ）°。注意：操作規(guī)范、正確，并如實(shí)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。為了確保實(shí)驗(yàn)的有效性，教師要在課前對(duì)學(xué)生任意畫(huà)的、剪下的三角形進(jìn)行檢查，確保符合標(biāo)準(zhǔn)。

規(guī)范的數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，能有效排除無(wú)關(guān)干擾，凸顯數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)中真正的誤差，進(jìn)而幫助學(xué)生聚焦誤差，引發(fā)深度思考。教師要認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)誤差的成因具有多樣性和復(fù)雜性，根據(jù)數(shù)學(xué)知識(shí)特點(diǎn)進(jìn)行問(wèn)題的預(yù)設(shè)，制訂實(shí)驗(yàn)規(guī)范，為誤差的顯現(xiàn)提供外在的方法支持。

2. 夯實(shí)基礎(chǔ)，依托經(jīng)驗(yàn)支撐

為了防止出現(xiàn)錯(cuò)誤的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，教師不僅要檢視實(shí)驗(yàn)工具等外在因素，還要從源頭出發(fā)，夯實(shí)數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)所必備的基礎(chǔ)知識(shí)和技能。如教學(xué)“三角形內(nèi)角和”前，要幫助學(xué)生回憶和固化量角的基本方法，包括量角器的擺法和讀刻度的方法。學(xué)生在量角經(jīng)驗(yàn)的支撐下，按“規(guī)定”實(shí)驗(yàn)，就能關(guān)注到與猜想不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，并就此深入探究，形成對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的正確認(rèn)識(shí)。

3. 鼓勵(lì)求真，給予心理支援

實(shí)驗(yàn)誤差能否被接納與實(shí)驗(yàn)者的實(shí)驗(yàn)態(tài)度、實(shí)驗(yàn)精神高度相關(guān)。學(xué)生實(shí)驗(yàn)精神的養(yǎng)成，需要教師給予足夠的心理支援，教師要做好兩方面的工作：一是要積極營(yíng)造“納錯(cuò)”文化氛圍，引導(dǎo)學(xué)生正確看待學(xué)習(xí)中出現(xiàn)的問(wèn)題，認(rèn)識(shí)到錯(cuò)誤資源的價(jià)值，并能在錯(cuò)誤中探尋學(xué)習(xí)方向和方法；二是要幫助學(xué)生形成求真務(wù)實(shí)的實(shí)驗(yàn)態(tài)度，尊重實(shí)驗(yàn)結(jié)果，接納各種不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。實(shí)驗(yàn)中，教師更要提醒學(xué)生如實(shí)記錄實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)。

（二）辨識(shí)誤差：認(rèn)識(shí)從“模糊”走向“清晰”，讓思維可立

小學(xué)生的抽象思維能力尚處在發(fā)展階段，對(duì)直觀、可見(jiàn)的事物抱有一種執(zhí)念。當(dāng)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)和實(shí)驗(yàn)猜想出現(xiàn)不一致的情況時(shí)，絕大多數(shù)學(xué)生會(huì)受表象的迷惑，相信實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)而放棄原有的想法。對(duì)學(xué)生而言，接受誤差是從感性思維走向理性思維的一次飛躍。教師要把握機(jī)會(huì)，引導(dǎo)學(xué)生理性看待實(shí)驗(yàn)結(jié)果和實(shí)驗(yàn)猜想之間的矛盾，分析實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)背后的原因，正確認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)誤差的意義。

1.多樣呈現(xiàn)，形成“沖突點(diǎn)”

同一個(gè)實(shí)驗(yàn)，不同學(xué)生得到的實(shí)驗(yàn)結(jié)果是不完全相同的。教學(xué)時(shí)，教師要充分利用差異資源，設(shè)置認(rèn)知沖突，引導(dǎo)學(xué)生聚焦實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，進(jìn)行合理分析，正確認(rèn)識(shí)實(shí)驗(yàn)誤差。如教學(xué)“可能性大小”時(shí)，教師先出示裝有3個(gè)紅球和3個(gè)黃球的透明袋子，讓學(xué)生猜測(cè)“任意摸一個(gè)球，摸到哪種顏色的可能性大？”隨后進(jìn)行摸球?qū)嶒?yàn)驗(yàn)證猜想，通過(guò)先猜想后實(shí)驗(yàn)的方式引發(fā)學(xué)生的認(rèn)知沖突。最后，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)大量的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，感受摸球?qū)嶒?yàn)中“摸到紅球或黃球”的不確 定性。

2.多方辨析，澄清“混淆點(diǎn)”

實(shí)驗(yàn)誤差和實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤是兩個(gè)不同的概念，澄清實(shí)驗(yàn)誤差和實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤，有助于學(xué)生形成更為嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶?shí)驗(yàn)態(tài)度，同時(shí)能發(fā)展學(xué)生的思辨能力。教師要舍得花時(shí)間，呈示各種不同的數(shù)據(jù)，組織學(xué)生進(jìn)行辨析。如學(xué)生通過(guò)測(cè)算驗(yàn)證三角形內(nèi)角和為180°時(shí)，出現(xiàn)了179°、180°、173°等不同的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，教師要適時(shí)提問(wèn)：“對(duì)于179°和173°這2個(gè)不是180°的內(nèi)角和，你有什么想說(shuō)的？”在學(xué)生初步判斷出173°是錯(cuò)誤數(shù)據(jù)后，對(duì)三角形三個(gè)內(nèi)角進(jìn)行再次測(cè)算，確認(rèn)其是實(shí)驗(yàn)過(guò)程中測(cè)量和讀數(shù)錯(cuò)誤導(dǎo)致的。而179°是在實(shí)驗(yàn)過(guò)程中受材料、觀察角度的影響出現(xiàn)的誤差，難以避免。通過(guò)以上辨析，學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差和實(shí)驗(yàn)錯(cuò)誤有了一定的鑒別能力，為后續(xù)結(jié)論的得出掃除了認(rèn)知障礙。

3.多元對(duì)話，構(gòu)建“認(rèn)知點(diǎn)”

學(xué)生對(duì)實(shí)驗(yàn)誤差的理解需要從比較接近精確結(jié)論的模糊認(rèn)知，走向?qū)φ`差合理范圍的基本框定。教學(xué)中，教師要追問(wèn)實(shí)驗(yàn)誤差的出現(xiàn)是否正常，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)多元對(duì)話，理解和分析實(shí)驗(yàn)誤差。如，在學(xué)生利用工具測(cè)算圓周長(zhǎng)和直徑的比值后，教師要組織學(xué)生討論2個(gè)問(wèn)題：（1）剛才我們的猜想圓周長(zhǎng)和直徑的商是固定不變的，可是實(shí)驗(yàn)得到的商都不一樣，這是怎么回事？（2）你認(rèn)為實(shí)驗(yàn)誤差能不能避免？為什么？

（三）利用誤差：理解從“淺表”走向“深刻”，讓思維可變

實(shí)驗(yàn)誤差一定程度上會(huì)讓學(xué)生的思維淺表化，影響學(xué)生的數(shù)學(xué)判斷。教學(xué)中，教師要利用實(shí)驗(yàn)誤差這一資源，引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行由表及里、由淺入深的思考，讓思維變得更加深刻、精準(zhǔn)和有創(chuàng)意。

1. “深”處走——逼近知識(shí)本質(zhì)，讓思維變得更深刻

實(shí)驗(yàn)誤差有時(shí)會(huì)成為學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)路上的“絆腳石”。教師要引導(dǎo)學(xué)生從數(shù)學(xué)的角度化解問(wèn)題，完善實(shí)驗(yàn)過(guò)程，提升學(xué)生的思維品質(zhì)。如教學(xué)“三角形三邊關(guān)系”時(shí)，經(jīng)常會(huì)遇到學(xué)生用“兩邊之和等于第三邊”的小棒圍出了三角形的情形。教師清楚把小棒作為“線”進(jìn)行實(shí)驗(yàn)必然會(huì)出現(xiàn)實(shí)驗(yàn)誤差，因而設(shè)計(jì)了小棒由粗變細(xì)的多個(gè)實(shí)驗(yàn)活動(dòng)，但學(xué)生遵循“眼見(jiàn)為實(shí)”的準(zhǔn)則，拒絕承認(rèn)小棒變細(xì)后就不可能圍成三角形的事實(shí)。

面對(duì)這個(gè)問(wèn)題，教師不妨引導(dǎo)學(xué)生從“現(xiàn)象觀察”走向“數(shù)據(jù)分析”。事先在操作小棒上標(biāo)示具體的長(zhǎng)度，當(dāng)學(xué)生出現(xiàn)認(rèn)知偏差時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生通過(guò)數(shù)據(jù)的計(jì)算和分析，判斷小棒圍成三角形的可能性，用數(shù)學(xué)眼光看問(wèn)題。

2. “寬”處行——拓寬認(rèn)知視域，讓思維變得更精確

實(shí)驗(yàn)誤差的有效控制，本質(zhì)上是對(duì)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)再優(yōu)化的過(guò)程，有助于發(fā)展學(xué)生的數(shù)據(jù)分析能力，讓學(xué)生的思維得到發(fā)展。教學(xué)中，教師在學(xué)生收集大量實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的基礎(chǔ)上，引導(dǎo)他們選取更合理的實(shí)驗(yàn)量表示實(shí)驗(yàn)結(jié)果。如教學(xué)蘇教版數(shù)學(xué)四年級(jí)下冊(cè)的教學(xué)活動(dòng)課“怎樣滾得遠(yuǎn)”時(shí)，當(dāng)小球滾動(dòng)距離普遍存在差異的情況下，可以統(tǒng)計(jì)班級(jí)所有學(xué)生得到的數(shù)據(jù)取平均值作為標(biāo)準(zhǔn)數(shù)據(jù)，進(jìn)而縮小實(shí)驗(yàn)誤差。

優(yōu)選統(tǒng)計(jì)量表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)，是將實(shí)驗(yàn)誤差控制在合理范圍內(nèi)的有效辦法。在采用這一方法時(shí)，教師應(yīng)滲透統(tǒng)計(jì)的思想，引導(dǎo)學(xué)生做好兩件事：一是不要受單個(gè)實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的制約，而要擴(kuò)大實(shí)驗(yàn)樣本，收集盡可能多的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)；二是根據(jù)數(shù)據(jù)的實(shí)際情況靈活選擇平均值、眾數(shù)等統(tǒng)計(jì)量表示實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)的總體水平。只有這樣，才能合理控制實(shí)驗(yàn)誤差，使實(shí)驗(yàn)結(jié)果真正為數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)服務(wù)，提高學(xué)生思維的準(zhǔn)確性。

3. “高”處看——打破思維局限，讓思維變得更靈活

誤差有時(shí)是創(chuàng)新之源，能幫助學(xué)生克服思維定式，尋找到最佳的實(shí)驗(yàn)路徑。教師要充分利用實(shí)驗(yàn)誤差，引導(dǎo)學(xué)生另辟蹊徑，從不同角度、不同側(cè)面思考以尋求新的突破。如當(dāng)學(xué)生用先量角再計(jì)算的實(shí)驗(yàn)方法探究“三角形內(nèi)角和”卻出現(xiàn)誤差時(shí)，教師可以通過(guò)提問(wèn)：“求三角形內(nèi)角和就是把三角形3個(gè)內(nèi)角度數(shù)合起來(lái)，除了用先量后合的方法求內(nèi)角和，還可以用什么方法呢？”引導(dǎo)學(xué)生反向思考。實(shí)踐證明，很多學(xué)生受到啟發(fā)，想到先把三角形的3個(gè)內(nèi)角合起來(lái)再量度數(shù)的方法，并選擇用折角、撕角、畫(huà)角等實(shí)驗(yàn)方法加以證明。

綜上所述，實(shí)驗(yàn)誤差是數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)的必然產(chǎn)物，教師要看到實(shí)驗(yàn)誤差背后的教學(xué)價(jià)值，通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生覺(jué)察誤差、辨識(shí)誤差和控制誤差，使思維變得更加理性、深刻和靈活，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真實(shí)發(fā)生。