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    基于反席卷法的高超聲速飛行器最優(yōu)制導(dǎo)律

    2021-11-17 07:08:20郭曉林
    計算機仿真 2021年2期
    關(guān)鍵詞:席卷最優(yōu)控制標(biāo)稱

    林 靈,郭曉林

    (1. 中國民用航空飛行學(xué)院,四川 廣漢 618307;2. 中國民用航空西南地區(qū)空中交通管理局重慶分局,重慶 401120;)

    1 引言

    再入飛行器的制導(dǎo)律設(shè)計通常可分為標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)[1-4]和預(yù)測校正制導(dǎo)[5-10]。預(yù)測校正制導(dǎo)是根據(jù)實際軌道的預(yù)報落點與預(yù)定落點之間的偏差值對控制量進行校正。標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)是設(shè)計反饋控制律消除擾動,使再入飛行器始終沿著基準(zhǔn)軌跡飛行。兩種設(shè)計方法各有利弊,自適應(yīng)方法可以適應(yīng)飛行過程中由于故障或任務(wù)改變而進行的軌跡調(diào)整,但由于在每一個制導(dǎo)周期內(nèi)都對飛行軌跡進行重新規(guī)劃,計算量較大,因而對再入飛行器的在線計算能力和信息存儲容量要求較高[11]。標(biāo)稱軌跡制導(dǎo)主要包括離線標(biāo)稱軌跡規(guī)劃與在線軌跡跟蹤兩部分,在最優(yōu)軌跡確定以后,通過設(shè)計反饋控制律消除跟蹤偏差可以實現(xiàn)高精度制導(dǎo),且計算量小,工程上易于實現(xiàn)。

    本文所設(shè)計的制導(dǎo)律基于標(biāo)稱制導(dǎo)體制,傳統(tǒng)的標(biāo)稱制導(dǎo)律通常是使實際狀態(tài)量盡快的接近標(biāo)稱狀態(tài)量,而沒有考慮為了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優(yōu)性。本文在設(shè)計反饋控制律時,考慮到擾動所形成的偏差偏離原最優(yōu)標(biāo)稱軌跡的范圍并不大,因而引入了鄰域最優(yōu)控制理論,從而保證修正軌跡的最優(yōu)性。在計算反饋控制量時,基于標(biāo)稱軌跡的數(shù)據(jù),采用反席卷法[12]建立終端席卷變量的微分方程,逆向進行積分計算,因此求解最優(yōu)反饋修正量的過程中并沒有進行迭代計算,提高了計算效率,保證了算法的在線實施。

    2 再入制導(dǎo)標(biāo)稱軌跡

    2.1 再入運動數(shù)學(xué)模型

    不考慮地球自轉(zhuǎn)帶來的影響,無動力高超聲速再入飛行器的運動模型如下。狀態(tài)量為x=(r,φ,θ,v,γ,χ),r表示飛行器與地心的距離;φ,θ分別表示經(jīng)度與緯度;v表示速度、γ與χ分別表示航跡傾角、航跡偏角;控制量為u=[a,β],a,β分別表示攻角和傾側(cè)角。

    (1)

    式中,m表示飛行器質(zhì)量,g表示重力加速度,L,D分別表示升力和阻力

    (2)

    式中,ρ為大氣密度,S為參考面積,CL,CD分別表示升力系數(shù)與阻力系數(shù),其表達式如下,具體參數(shù)參考文獻[13]

    (3)

    2.2 軌跡優(yōu)化模型

    軌跡優(yōu)化即求解控制量u=[a,β]使目標(biāo)函數(shù)最小(或最大),并且滿足狀態(tài)微分方程及一系列終端及過程約束條件。為了再入飛行器的橫向機動最大,通常區(qū)精度最大為性能指標(biāo)

    J=Φ(x(tf),tf)=-θf

    (4)

    再入飛行過程中需要嚴(yán)格滿足動壓、過載及熱流密度及控制量約束

    q=0.5ρv2≤qmax

    (5)

    (6)

    (7)

    umin≤u≤umax

    (8)

    在終端時刻需要滿足位置、速度和角度等約束條件

    (9)

    針對以上的再入軌跡優(yōu)化模型,先采用偽譜法將其轉(zhuǎn)化為非線性規(guī)劃問題,再采用非線性規(guī)劃求解器SNOPT[14]等進行求解。具體參數(shù)設(shè)置參考文獻[13],仿真結(jié)果如圖1至圖3所示。

    圖1 標(biāo)稱軌跡

    圖2 標(biāo)稱控制量

    圖3 過程約束

    3 基于反席卷法的制導(dǎo)律設(shè)計

    由于建模誤差及外界隨機干擾,通常會造成飛行器的實際軌跡偏離標(biāo)稱軌跡,為了解決此問題,可以在線重新規(guī)劃軌跡,但這種方法計算量大,工程上難以實現(xiàn)。本節(jié)考慮采用最優(yōu)控制中的相關(guān)理論與反席卷法,通過最優(yōu)控制理論得到協(xié)態(tài)量與終端偏差的微分方程后,引入席卷變量,推導(dǎo)席卷變量的微分方程及終端條件,進行逆向席卷,然后借助標(biāo)稱軌跡數(shù)據(jù)求得席卷變量,進而根據(jù)最優(yōu)控制中的相關(guān)推導(dǎo),求解跟蹤控制律,得到最優(yōu)修正軌跡。

    (10)

    根據(jù)極小值原理,可得正則方程與耦合方程如下

    (11)

    (12)

    式中,哈密頓函數(shù)為

    H(x,u,λ,t)=λTf(x,u,t)

    (13)

    考慮到終端狀態(tài)受約束,則邊界約束條件為

    x(t0)=x0

    (14)

    ψ[x(tf),tf]=0

    (15)

    (16)

    考慮飛行器實際飛行軌跡與標(biāo)稱軌跡的初始偏差δx(t),初始偏差會產(chǎn)生狀態(tài)量、協(xié)態(tài)量及控制量與最優(yōu)參考軌跡的偏差,分別為δx、δλ和δu,對式(11)-(15)進行二階變分,可得

    (17)

    (18)

    當(dāng)矩陣Huu為非奇異矩陣時,可得

    (19)

    式中

    (20)

    結(jié)合式(15)-(16),引入席卷變量S,R和Q將δλ和δψ表示成關(guān)于拉格朗日乘子偏差dv和狀態(tài)量偏差δx的線性關(guān)系

    δλ(t)=S(t)δx(t)+R(t)dv

    (21)

    δψ=RT(t)δx(t)+Q(t)dv

    (22)

    對式(21)-(22)等號兩邊進行求導(dǎo),考慮常量矩陣δψ和dv一階導(dǎo)為零,可得

    (23)

    (24)

    聯(lián)立式(17)與式(22)-(23),可以得到關(guān)于S,R和Q微分方程

    (25)

    (26)

    (27)

    式(25)-(27)的終端約束條件應(yīng)與式(18)相一致,所以可以得到如下的表達式

    (28)

    R(tf)=[ψx]tf

    (29)

    Q(tf)=0

    (30)

    根據(jù)微分方程(25)-(27)及其終端條件逆向進行積分,再聯(lián)立式(22),可以得到

    dv=Q-1(t0)(δψ-RT(t0)δx(t0))

    (31)

    將式(31)代入式(21)中,可以得到協(xié)態(tài)量偏差的初始值

    δλ(t0)=[(S-RQ-1RT)δX+RQ-1δψ]t0

    (32)

    由式(32)可以求出初始協(xié)態(tài)量偏差,結(jié)合初始狀態(tài)量偏差,將兩者代入式(19)中,即可得到任意時刻相應(yīng)的最優(yōu)狀態(tài)修正量及最優(yōu)控制修正量,進而實現(xiàn)了閉環(huán)的標(biāo)稱制導(dǎo)。本文所設(shè)計制導(dǎo)律的流程框圖如圖4所示。

    圖4 最優(yōu)制導(dǎo)律

    4 仿真驗證

    為了驗證本文所設(shè)計的制導(dǎo)算法的有效性,將表1中的初始擾動分別作為正值和負(fù)值加入制導(dǎo)回路中:

    表1 初始擾動

    為了便于比較,令Case 1和Case 2分別表示正值擾動和負(fù)值擾動,仿真所用的計算機配置為聯(lián)想CPU 2.5GHz Intel Core i5處理器,仿真軟件為MATLAB? R2014a。飛行器狀態(tài)量偏差變化曲線如圖5所示。過程約束的變化曲線如圖6所示,圖中Max表示約束上限。

    由圖5可知,在初始擾動存在的條件下,采用本文設(shè)計的反饋控制律所形成的閉環(huán)制導(dǎo)律,跟蹤誤差沿整條軌跡都不大,且最終收斂,驗證了制導(dǎo)算法的有效性。由圖6可知,采用本文方法得到的修正軌跡仍然滿足熱流、動壓和過載等過程約束,因此保證了制導(dǎo)律的可實現(xiàn)性。

    圖5 狀態(tài)量偏差

    圖6 過程約束

    圖7 軌跡對比

    本文在設(shè)計反饋控制律時,考慮了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優(yōu)性,為了驗證這一優(yōu)勢,將采用本文制導(dǎo)算法所得到的修正軌跡與偽譜法重新優(yōu)化所得到的軌跡進行了對比,由圖7可知,兩條軌跡基本重合,驗證了本文所設(shè)計的制導(dǎo)算法的最優(yōu)性。表2給出了本文方法與基于偽譜法重新優(yōu)化的制導(dǎo)策略的消耗時間對比,由表2可知,本文方法的計算效率遠遠高于重新優(yōu)化的策略,滿足實時性的要求。本文方法計算效率大幅提升的原因為其利用原有標(biāo)稱軌跡數(shù)據(jù),進行矩陣運算及積分求解最優(yōu)反饋修正量,避免了迭代尋優(yōu)計算,大幅降低了運算量。

    表2 消耗時間對比

    5 結(jié)論

    本文基于最優(yōu)控制相關(guān)理論與反席卷法,設(shè)計了一種實時的標(biāo)稱最優(yōu)制導(dǎo)律。所設(shè)計的制導(dǎo)律考慮了消除擾動所形成的實際修正軌跡的最優(yōu)性,在狀態(tài)量具有較大初始擾動的情況下具有良好的魯棒性,且修正軌跡滿足多種過程約束,保證了其可實現(xiàn)性。由于本文方法通過矩陣運算及積分求解最優(yōu)反饋修正量,避免了迭代尋優(yōu)計算,計算效率大幅提高,約為重新優(yōu)化策略的120倍,且滿足實時性的要求。

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