環(huán)的n-余撓維數(shù)

熊 濤

（西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充637002）

0 引言

規(guī)定R恒指有單位元的交換環(huán).對(duì)R-模N，pdRN代表N的投射維數(shù).用gl.dim（R）（對(duì)應(yīng)地，w.gl.dim（R））表示R的整體（對(duì)應(yīng)地，弱整體）維數(shù)，未解釋的概念和符號(hào)可參考文獻(xiàn)［1-2］.

余撓模受到諸多文獻(xiàn)關(guān)注.文獻(xiàn)［3］中R-模C稱為余撓模，是指對(duì)任何平坦模F，都有Ext1R（F，C）＝0.每個(gè)模都有內(nèi)射包，與內(nèi)射包相對(duì)應(yīng)的概念是投射蓋.人們自然要問，每個(gè)模是否有投射蓋.文獻(xiàn)［4］證明了每個(gè)R-模有投射蓋當(dāng)且僅當(dāng)R是完全環(huán)（每個(gè)平坦模是投射模）.隨著蓋包理論的發(fā)展，文獻(xiàn)［5］提出了平坦蓋猜測（Flat Cover Conjecture，縮寫為FCC）：每個(gè)R-模有平坦蓋.此后，多篇文獻(xiàn)討論了平坦蓋的存在性.文獻(xiàn)［6］借助余撓模，徹底解決了FCC：任何環(huán)上，每個(gè)模都有平坦蓋和余撓包.

按照同調(diào)理論的觀點(diǎn)，文獻(xiàn)［11］引入了模M

環(huán)R是完全環(huán)，是指每個(gè)R-模都有投射蓋，等價(jià)地，每個(gè)平坦R-模是投射模.文獻(xiàn)［12］的定義1.1稱R為n-完全環(huán)，是指每個(gè)平坦模的投射維數(shù)不超過n.文獻(xiàn)［11］推論7.2.7證明了環(huán)R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Cot.D（R）＝0；文獻(xiàn)［11］推論7.2.6證明了環(huán)R是n-完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Cot.D（R）≤n.

文獻(xiàn)［13］也引入了模的強(qiáng)余撓分解和模的強(qiáng)余撓維數(shù)，以及環(huán)R的強(qiáng)余撓整體維數(shù)S.Cot.D（R），并且證明了對(duì)任何環(huán)R，Cot.D（R）≤S.Cot.D（R）；Cot.D（R）＝0當(dāng)且僅當(dāng)S.Cot.D（R）＝0；自然地，每個(gè)模也應(yīng)該有n-余撓分解以及相應(yīng)的維數(shù)，環(huán)應(yīng)該有相應(yīng)的n-余撓整體維數(shù).文獻(xiàn)［14］正是沿著這個(gè)思路，借助文獻(xiàn)［7］定義的n-余撓模，建立在整個(gè)R-模范疇上的n-余撓分解，任何模的n-余撓維數(shù)，以及環(huán)R的n-余撓整體維數(shù)Cn.D（R）.

文獻(xiàn)［4］引入環(huán)R的有窮投射維數(shù)FPD（R）＝sup｛pdRM｜MR-模滿足pdRM＜∞｝.這個(gè)同調(diào)維數(shù)受到學(xué)者們的廣泛關(guān)注.文獻(xiàn)［15］證明了R是完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)FPD（R）＝0；滿足FPD（R）＝1的凝聚環(huán)R是Noether環(huán).

R稱為幾乎完全環(huán)是指其每個(gè)真商環(huán)是完全環(huán).文獻(xiàn)［16］證明了幾乎完全環(huán)或者是完全環(huán)，或者是整環(huán).幾乎完全整環(huán)稱為APD整環(huán).文獻(xiàn)［8］引理3.6和文獻(xiàn)［9］推論6.4證明了整環(huán)R是APD整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)內(nèi)射模的商模是弱內(nèi)射模.文獻(xiàn)［17］命題3.2證明了整環(huán)R是APD整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)FPD（R）≤1.這一結(jié)果啟示我們可以利用Cn.D（R）刻畫環(huán)的FPD（R）維數(shù).這在文獻(xiàn)［14］中已有所體現(xiàn).本文在文獻(xiàn)［14］的研究基礎(chǔ)上，繼續(xù)考慮更一般的情形.

1 n-余撓模與n-余撓維數(shù)

將n-余撓模簇記為Cn，將平坦維數(shù)不超過n的R-模簇記為Fn.

對(duì)任何n≥0，（n＋1）-余撓模是n-余撓模，反之則未必成立.

例1.1設(shè)Z是整數(shù)集.顯然有pdZZ／（2）＝1.由文獻(xiàn)［2］的定理7.17有Ext1Z（Z／（2），Z）?Z／2Z≠0，因此，Z不是1-余撓Z-模.

下面研究這種模類的性質(zhì).

定理1.3設(shè)n、m是給定的2個(gè)非負(fù)整數(shù)，則n-余撓模的m-階上合沖是（n＋m）-余撓模.特別地，任何模M的n-階上合沖是n-余撓模.

對(duì)任何模M，存在正合列0→M→E→C＝E／M→0和0→K→P→M→0，這里E是內(nèi)射模，P是投射模，但無法得到C、K的屬性.給出可以限定C、K屬性的如下定理.

定理1.4對(duì)任何R-模M和N，存在正合列0→K→P→M→0和0→N→E→C→0，這里P，C∈Fn，K，E∈Cn.

證明運(yùn)用命題1.2、文獻(xiàn)［18］的引理2.2.10和文獻(xiàn)［10］的引理2.1.2可得第一個(gè)正合列，由文獻(xiàn)［7］的定理3.4可得第二個(gè)正合列.

2 環(huán)的有窮投射維數(shù)

作為Cn.D（R）的應(yīng)用，有刻畫環(huán)的有窮投射維數(shù)FPD（R）.

定理2.1設(shè)n是給定的非負(fù)整數(shù)，則FPD（R）≤n當(dāng)且僅當(dāng)Cn＋1.D（R）≤n.

證明假設(shè)FPD（R）≤n成立.對(duì)任何R-模M∈Fn＋1，由文獻(xiàn)［19］的命題6可得pdR M＜∞.由條件，M∈Pn成立.由文獻(xiàn)［14］的定理3可得Cn＋1.D（R）≤n.反之，如果Cn＋1.D（R）≤n成立.假如FPD（R）＞n，不失一般性，可設(shè)FPD（R）＝n＋1，則存在R-模M∈P∞滿足pdR M＝n＋1，即M∈Pn＋1.故由文獻(xiàn)［14］的定理3，pdRM≤n成立，顯然矛盾，因此，F(xiàn)PD（R）≤n.

推論2.2對(duì)環(huán)R及非負(fù)整數(shù)n，以下陳述等價(jià)：

1）FPD（R）≤n；

2）Pn＝Fn＋1；

3）Pn＝F∞.

推論2.3環(huán)R有FPD（R）≥n＋1當(dāng)且僅當(dāng)Cn＋1.D（R）＝n＋1.

FPD（R）作為一種同調(diào)維數(shù)，需要找出它與環(huán)的整體維數(shù)的差距.

定理2.4設(shè)k≥n.如果w.gl.dim（R）≤k且Cn.D（R）≤m，則gl.dim（R）≤m＋k－n.

例2.9設(shè)L是域，F(xiàn)是L的擴(kuò)域，且［F：L］＝∞.構(gòu)造環(huán)R＝L＋xF［x］.則由文獻(xiàn)［16］知R是APD整環(huán)，即FPD（R）≤1.由于R不是Noether環(huán)，故R不是Dedekind整環(huán)，自然gl.dim（R）≥2.由推論2.5可得w.gl.dim（R）＝∞.

文獻(xiàn)［20］稱環(huán)R是強(qiáng)n-完全環(huán)，是指Pn＝Fn.文獻(xiàn)［4］定義了R的弱 finitistic維數(shù)：FFD（R）＝sup｛fdRM｜M是任意R-模滿足fdRM＜∞｝.現(xiàn)在用強(qiáng)n-完全環(huán)和FFD（R）來刻畫環(huán)的FPD維數(shù).

引理2.10設(shè)R是環(huán)，則：

1）R是強(qiáng)n-完全環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)Cn.D（R）≤n；

2）對(duì)任何正整數(shù)n＜m，強(qiáng)n-完全環(huán)是強(qiáng)m-完全環(huán)；

3）FFD（R）≤n成立當(dāng)且僅當(dāng)Fn＝Fn＋1.

證明1）由文獻(xiàn)［14］定理3可得，3）即文獻(xiàn)［14］引理1.

2）只須證強(qiáng)n-完全環(huán)是強(qiáng)（n＋1）-完全環(huán)即可.設(shè)R是強(qiáng)n-完全環(huán).對(duì)任何R-模M∈Fn＋1.考慮正合列0→K→P→M→0，這里P是投射模，K∈Fn.由條件，K∈Pn，自然可得M∈Pn＋1，故R是強(qiáng)（n＋1）-完全環(huán).

定理2.11設(shè)n是給定的非負(fù)整數(shù)，環(huán)R滿足FPD（R）≤n當(dāng)且僅當(dāng)R是滿足FFD（R）≤n的強(qiáng)n-完全環(huán).

證明假設(shè)FPD（R）≤n成立.對(duì)任何R-模M∈Fn，自然也有M∈Fn＋1.由定理2.1可得Cn＋1.D（R）≤n.再由文獻(xiàn)［14］定理3可得M∈Pn，即Pn＝Fn成立，所以R是強(qiáng)n-完全環(huán).由推論2.2可得FFD（R）≤n.反之，設(shè)R是滿足FFD（R）≤n的強(qiáng)n-完全環(huán).由引理2.10，Cn.D（R）≤n和Cn＋1.D（R）≤n＋1同時(shí)成立.由文獻(xiàn)［14］定理3，Pn＝Fn?Fn＋1＝Pn＋1成立.由引理2.10可得Pn＝Fn＋1.再由推論2.2可得FPD（R）≤n.

對(duì)任何正整數(shù)n＜m，強(qiáng)n-完全環(huán)R是強(qiáng)m-完全環(huán).但反之則未必成立.

例2.12設(shè)Q是有理數(shù)域，X是Q的未定元.設(shè)m＝（X）.構(gòu)造環(huán)R1＝Z＋XQ［X］m與R2＝Z4，這里Z是整數(shù)集合.再構(gòu)造環(huán)R＝R1×R2.由文獻(xiàn)［21］的例4.5，F(xiàn)PD（R）＝2和FFD（R）＝1成立.則由定理2.11可知，R是強(qiáng)2-完全環(huán)，且不是強(qiáng)1-完全環(huán).

由文獻(xiàn)［15-17］可得，幾乎完全環(huán)都有FPD（R）≤1，自然都是強(qiáng)1-完全環(huán).但強(qiáng)1-完全環(huán)卻未必是幾乎完全環(huán).

例2.13設(shè)R是實(shí)數(shù)域.構(gòu)造環(huán)T＝Q＋xR［x］，由文獻(xiàn)［16］可知T是APD整環(huán).由于FPD（T）＝1，則T不是域，從而由推論2.7，T不是完全環(huán).構(gòu)造環(huán)R＝T×T，則R是強(qiáng)1-完全環(huán)，I＝（T，0）≠0是R的理想.則T?R／I是R的真滿同態(tài)像，但不是完全環(huán).故R不是幾乎完全環(huán).

定理2.14設(shè)（RDTF，M）是Milnor方圖，其中D是Prüfer整環(huán)，F(xiàn)是D的商域.如果有FFD（T）≤1，則FFD（R）≤1成立.

設(shè)T＝L＋xF［［x］］及R＝D＋xF［［x］］.由右Milnor方圖，運(yùn)用文獻(xiàn)［24］的定理4.7和定理4.11可得T不是凝聚環(huán)，T是APD整環(huán).由文獻(xiàn)［25］引理3.1，F(xiàn)PD（T）＝1.則由定理2.11，有FFD（T）≤1成立.由左Milnor方圖，運(yùn)用定理2.14，F(xiàn)FD（R）≤1成立，且再次由文獻(xiàn)［24］的定理4.7和定理4.11可得R不是凝聚整環(huán).再次由文獻(xiàn)［25］，R不是APD整環(huán).由定理2.6，R不是強(qiáng)1-完全整環(huán).

正如凝聚環(huán)未必有g(shù)l.dim（R）≤1一樣，凝聚環(huán)也未必有FPD（R）≤1.

例2.16設(shè)X是Q上的未定元.構(gòu)造環(huán)R＝Z＋XQ［X］.則由文獻(xiàn)［24］的命題4.4和定理4.12可知，R是非Noether的凝聚整環(huán).故R不是APD整環(huán)，從而FPD（R）≤1不成立.

當(dāng)然，滿足FPD（R）≤1的環(huán)也未必是凝聚環(huán).

例2.17設(shè)C是復(fù)數(shù)域，X是C上的未定元.構(gòu)造環(huán)R＝Q＋XC［X］.由于C是Q的擴(kuò)域，故R是APD整環(huán)，自然滿足FPD（R）≤1.但由于［C：Q］＝∞，則由文獻(xiàn)［24］定理4.11可知，R不是凝聚環(huán).

致謝西華師范大學(xué)博士科研啟動(dòng)項(xiàng)目（17E087）對(duì)本文給予了資助，謹(jǐn)致謝意！