M-矩陣最小特征值下界的估計(jì)

李艷艷

（文山學(xué)院 人工智能學(xué)院，云南 文山 663099）

具有特殊結(jié)構(gòu)的M-矩陣在高階稀疏線性方程組迭代解法的收斂性、一般均衡的穩(wěn)定性等領(lǐng)域廣泛應(yīng)用。關(guān)于M-矩陣最小特征值的下界問題，陳付彬，鐘琴，趙建興，孫德淑等學(xué)者[1-4]進(jìn)行了不同角度的研究，并得到了各具特點(diǎn)的結(jié)果?，F(xiàn)繼續(xù)研究該問題，在利用兩個(gè)帶有參數(shù)的圓盤定理的基礎(chǔ)上，結(jié)合不等式的適當(dāng)放縮，給出M-矩陣最小特征值的下界。

1 預(yù)備知識(shí)

設(shè)Rn×n（Cn×n）為n×n階實(shí)（復(fù)）矩陣的集合，令N={1,2,…,n}。

矩陣A（aij）∈Cn×n的n個(gè)特征值λ1,λ2,…,λn組成的集合，稱為矩陣A的譜，記為σ（A）。

用ρ（A）表示矩陣A的特征模的最大值（A的譜半徑）。

用τ（A）=min{Re（λ）:λ∈σ（A）}表示A的最小特征值。

則稱矩陣A為非奇異M-矩陣。用Mn表示非奇異M-矩陣的集合。

設(shè)A是非負(fù)不可約矩陣，則存在正向量x使得Ax=ρ（A）x，稱x為矩陣A的右Perron特征向量。

矩陣A°B=（aijbij）稱為矩陣A和B的Hadamard積。

2 主要結(jié)果

證明：因?yàn)锽∈Mn，所以假設(shè)B是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣，則

令z=（zi），且zi=ui，i∈N，設(shè)C=A°B-1，則有

定理2設(shè)

證明：因?yàn)锽∈Mn，所以假設(shè)B是嚴(yán)格對(duì)角占優(yōu)矩陣。

證明：首先設(shè)A,B都是不可約矩陣。

3 數(shù)值算例

由文獻(xiàn)[1-4]得τ（B）≥0.8915，τ（B）≥0.8500，τ（B）≥0.8778，τ（B）≥0.8234，應(yīng)用本文定理2，4，6分別得τ（B）≥0.8920，τ（B）≥0.8957，τ（B）≥0.8993。

本研究給出的三個(gè)M矩陣最小特征值的估計(jì)式，是對(duì)該類問題研究的有效擴(kuò)展，數(shù)值算例表明，這些估計(jì)式一定程度上是優(yōu)于已有結(jié)果。