第5講 “圖形的變化”復習精講

5.1圖形的對稱、平移和旋轉

吳偉霞

考點、易混易錯點解讀

考點主要有軸對稱、軸對稱圖形和中心對稱、中心對稱圖形的概念和性質，平移、旋轉的概念，在網(wǎng)格內(nèi)或坐標系內(nèi)進行圖形變換，常與三角形、四邊形相結合.折疊和旋轉也可以與圓結合，綜合性較強.

易錯點有：找不準對稱點、對稱軸導致對稱圖形判斷錯誤：找不準旋轉角和旋轉中心而產(chǎn)生錯誤，特別是圖形經(jīng)過多次旋轉后確定旋轉中心和旋轉角時，易出錯.

高頻考點例題點撥

一、軸對稱圖形與軸對稱、中心對稱圖形和中心對稱

例1 （2019.青島）下列四個圖形中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（?）.

解析：選項A、C是軸對稱圖形，不是中心對稱圖形，故選項A、C錯誤，選項B不是軸對稱圖形，是中心對稱圖形，故選項B錯誤，選項D既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形，故此選項正確.選D.

點撥：判斷一個圖形是不是軸對稱圖形，主要看能否找到對稱軸.軸對稱圖形的對稱軸兩側的部分折疊后可重合，判斷一個圖形是不是中心對稱圖形，主要看能否找到對稱中心，

二、圖形的平移

例2（2019.棗莊）如圖1，將△ABC沿BC邊上的中線AD平移到△A 'B'C'的位置.A'B，A 'C'與BC分別交于點E.F已知△ABC的面積為16，陰影部分三角形A'EF的面積為9.若AA=1，則A'D等于（?）.

A.2

B.3

C.4

D. 3/2

2

點撥：本題主要考查平移變換的性質、相似三角形的判定與性質等知識點.需要特別注意的是：相似三角形的面積比等于相似比的平方，而不是相似比，

三、對稱與坐標變化

例3 （2019.杭州）在平面直角坐標系中，點A（m，2）與點B（3，n）關于y軸對稱，則（?）.

A.m=3.n=2

B.m=-3.n=2

C.m=2.n=3

D.m=-2.n=-3

解析：∵點A（m，2）與點B（3，n）關于y軸對稱，

∴m=一3.n=2.

∴選B.

點撥：軸對稱問題中點的橫、縱坐標變化的規(guī)律是“關于誰對稱誰不變，關于原點對稱都變”，這里的“變”是指變符號.四、軸對稱和最小值問題例4 如圖2，在菱形ABCD中，AC=6√2，BD =6，E是BC邊的中點，P，M分別是AC，AB上的動點，連接PE，PM，則PE+PM的最小值是（?）.

A.6

B.3√3

C.2 √16

D.4.5

解析：如圖3，作點E關于AC的對稱點E'.過點E'作E'M ⊥AB于點M，交AC于點P.此時PE+PM取得最小值.

點撥：本題是有關軸對稱的最短路線問題，考查菱形的性質和軸對稱的性質.解決最短路徑問題，要以動點所在直線為對稱軸，作其中一個端點的對稱點，連接對稱點與另一個端點構成特殊線段，再把該線段轉化到直角三角形或者特殊四邊形的邊上，

五、圖形的旋轉

例5 （2019.荊州）如圖4.等腰直角三角形OEF的直角頂點D為正方形ABCD的中心，點C，D分別在OE和OF上，現(xiàn)將△OEF繞點O逆時針旋轉

點撥：本題考查了旋轉的性質（對應點到旋轉中心的距離相等，對應點與旋轉中心所連線段的夾角等于旋轉角，旋轉前后的圖形全等）、等腰直角三角形的性質和正方形的性質.易錯點是易把∠AOF當作旋轉角α，從而得到錯誤答案.

解決圖形旋轉中判斷線段的數(shù)量關系或求角的大小的問題，要根據(jù)圖形旋轉前后對應的角相等求出未知角的度數(shù)，根據(jù)旋轉前后對應的線段長度相等求出未知線段的長度.一般把所求線段轉化到特殊四邊形或者直角三角形中.

中考命題預測

1.下列汽車標志中，既是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形的是（）.

2.如圖6，在Rt△ABC中，∠A CB=90°，∠A =40°.以直角頂點C為旋轉中心，將△ABC旋轉到△A 'B'C的位置，其中A、B'分別是A、B的對應點，且點B在斜邊A'B上，直角邊CA'交AB于D，則旋轉角等于（?）.

A.70°

B.80°

C.60°

D.50°

3.如圖7，矩形ABCD中，AB=4，BC=2，E是AB的中點，直線Z平行于直線EC，且直線Z與直線EC之間的距離為2，點F在矩形ABCD邊上，將矩形ABCD沿直線EF折疊，使點A恰好落在直線Z上，則DF的長為_____.

4.如圖8，Rt△AOB的斜邊OA在y軸上，且AB=3.∠AOB=300.將Rt△AOB繞原點O順時針旋轉一定的角度a（O

5.2 圖形的相似與解直角三角形

楊哲

考點、易混易錯點解讀

“圖形的相似”這部分的基本考點有：成比例線段間的關系，相似三角形的判定，相似三角形的性質及其應用，相似多邊形的相似比或周長比、面積比等.圖形的相似常在幾何探究題中與特殊三角形、四邊形、圓和三角函數(shù)等相關知識結合進行綜合考查.

運用相似三角形的判定和性質時，不少同學常因找錯對應邊、對應角導致出錯，考慮問題要全面，如判斷三角形相似沒有明確對應關系時，一定要分類討論，否則會漏解.

銳角三角函數(shù)的定義及特殊角的三角函數(shù)值的有關計算是基本考查點.解直角三角形的實際應用是歷年中考的熱點，其中大多會利用解直角三角形的知識解決和高度（或寬度）、航行、坡度及實物情景有關的問題，主要考查的模型有“背對背型”“母子型”.

高頻考點例題點撥

一、相似三角形的判定與性質的綜合應用

例1 如圖1，在△ABC中，D，E分別是邊AB，AC上的點，連接DE，且∠ADE=∠A CB.

（1）求證：△ADE∽△A CB.

（2）如果E是AC的中點，AD=8，AB=10，求AE的長.

點撥：判定兩個三角形相似的常用方法有五種.當圖形中有平行線時，可利用平行線判定三角形相似：當圖形中已知兩三角形的一組角相等時，可以嘗試證明另一組角相等，或證明相等的這組角的兩組夾邊對應成比例：當題中已知兩三角形中三邊的長度時，可以先看看三組對應邊的比是否相等;對于直角三角形，還可利用斜邊、直角邊對應成比例來證明兩三角形相似，

例2（2019.杭州）如圖2，在△ABC中，點D，E分別在AB和AC上，DE∥BC.M為BC邊上一點（不與點B，C重合），連接AM交DE于點N，則（?）.

點撥：在判定兩個三角形相似時，應注意利用圖形中已有的公共角、公共邊等隱含條件，充分發(fā)揮基本圖形的作用，通過作平行線構造相似三角形，靈活運用相似三角形的性質表示線段之間的關系.

點撥：本題是相似三角形與圓的綜合題，借助平行線、等腰三角形證明角度相等，運用“兩角法”證明兩三角形相似.

二、銳角三角函數(shù)的概念及特殊角的三角函數(shù)值

例4 （2019.宜昌）如圖4，在5x4的正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是1，△ABC的頂點都在這些小正方形的頂點上，則sin∠BAC的值為（?）.

A.4/3 B.3/4 C.3/5 D.4/5

點撥：求一個銳角的三角函數(shù)值時，依據(jù)三角函數(shù)的定義，構造直角三角形，把該角放在直角三角形中.借助網(wǎng)格合理地添加輔助線是解答本題的關鍵.

三、解直角三角形的實際應用

例5（2019.聊城）某數(shù)學興趣小組要測量實驗大樓部分樓體的高度（如圖6所示的CD部分），在起點A處測得大樓部分樓體CD的頂端C點的仰角為45°，底端D點的仰角為30°.在同一剖面沿水平地面向前走20 m到達B處，測得頂端C的仰角為63.4°.大樓部分樓體CD的長度約為多少米？（精確到1 m.參考數(shù)據(jù)：sin63.4°≈0.89，cos63.4°≈0.45.tan63.4°≈2.00.√2≈1.41，√3≈1.73）

解析：設樓高CE為xm

∵在Rt△AEC中，∠CA E=45°，

點撥：解這類銳角三角函數(shù)的實際應用問題時，要將涉及的線段轉化到直角三角形中（有時需要作輔助線構造直角三角形）.這類問題一般涉及兩個直角三角形，首先設要求的邊長為x，在一個直角三角形中利用銳角三角函數(shù)構建方程，用含x的代數(shù)式表示另一邊長;再在另一個直角三角形中利用銳角三角函數(shù)構建方程，即可求解，

易錯點是兩個直角三角形沒有找對.或者在第一個直角三角形中沒有用未知的邊長表示出第二個直角三角形的某一邊長.致使無法第二次使用銳角三角函數(shù)構建方程，另外，熟記特殊角的三角函數(shù)值也很有必要，

中考命題預測

1.如圖7，已知DE//BC，CD和BE相交于點O.S△DOE：S△COB=9：16，則DE：B（為（?）.

A.2：3

B.3：4

C.9：16

D.1：2

2.如圖8.AB是⊙0的直徑，C、D是OO上的點，∠CDB=30°.過點C作OO的切線交AB的延長線于E，則sin∠E的值為（?）.

4.如圖10，在△ABC中.AC=6，AB=4.點D與點A在直線BC的同側，且∠A CD=∠ABC，CD =2.點E是線段BC延長線上的動點，當△DCE和△ABC相似時，線段CE的長為（ ）.

A.3 B.4/3 C.3或4/3 D.4或3/4

5.如圖11.在△ABC中，AB=A C=12，AD上BC于點D，點E在AD上且DE=2AE，連接BE并延長交AC于點F，則線段AF的長為

6.風電已成為我國繼煤電、水電之后的第三大電源.風電機組主要由塔桿和葉片組成，如下頁圖12（1），圖12（2）是從圖12（1）引出的平面圖，假設你站在A處測得塔桿頂端C的仰角是55°.沿HA方向水平前進43 m到達山底G處，在山頂B處發(fā)現(xiàn)正好一葉片到達最高位置，此時測得葉片的頂端D（D、C、H在同一直線上）的仰角是45°.已知葉片的長度為35 m（塔桿與葉片連接處的長度忽略不計），山高B（;為10 m，BG IHG.CHIAH，求塔桿CH的高.（參考數(shù)據(jù)：tan55°≈1.4，tan35°≈0.7.，sin55°≈0.8. sin35°≈0.6）

5.3 視圖與投影

陳 冬

考點、易混易錯點解讀

考點主要有平行投影和中心投影的含義及簡單應用，畫常見幾何體（直棱柱、圓柱、圓錐、球）的三視圖（主視圖、左視圖、俯視圖），根據(jù)三視圖描述常見幾何體或實物的形狀，

如果對幾何體的主視圖、左視圖、俯視圖的概念理解不準確，在處理立體圖形與其三視圖的相互轉化問題時，則易出現(xiàn)錯誤，在解答幾何體的展開與折疊問題時，圖形判斷或計算容易出錯.

高頻考點例題點撥

一、幾何體的展開與折疊

例1 如圖1所示的是一個小正方體的展開圖，把展開圖折疊成小正方體，有“粵”字一面的相對面上的字是（?）.

A.澳

B.大

C.灣

D.區(qū)

解析：根據(jù)正方體展開圖可知“港”“澳”“灣”“區(qū)”四個字所在的面與“大”所在的面都有公共點，故它們不可能是對面，則有“粵”字一面的相對面上的字是“大”.選B.

點撥：本題是判斷正方體相對兩個面上的文字問題，明確正方體的展開圖中相對的面不存在公共點是解題的關鍵，

二、幾何體的三視圖

例2（2019.孝感）下列立體圖形中，左視圖是圓的是（?）.

解析：球的左視圖是圓形，選項D符合題意，其他三個選項的左視圖都不是圓.

點撥：本題考查了幾何體的三視圖，注意所有的看到的棱都應體現(xiàn)在三視圖中，

三、根據(jù)視圖判斷幾何體的個數(shù)

例3 （2019.齊齊哈爾）如圖2是由幾個相同大小的小正方體搭建而成的幾何體的主視圖和俯視圖，則搭建這個幾何體所需要的小正方體的個數(shù)至少為（?）.

A.5

B.6

C.7

D.8

解析：綜合主視圖和俯視圖，可知底層有4個小立方體，第二層最少有2個小立方體，因此搭成這個幾何體的小正方體的個數(shù)最少是6.選B.

點撥：可以想象出左視圖的樣子，然后根據(jù)“俯視圖打地基，主視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”很容易知道小正方體的最少個數(shù).

四、根據(jù)視圖求面積或體積

例4（2019.桂林）一個幾何體的三視圖如圖3所示，其中主視圖和左視圖是全等的等邊三角形，俯視圖是圓（含圓心）.根據(jù)圖中所示數(shù)據(jù)，這個幾俯視圖何體的表面積為（?）.

A.π

B.2.2π

C.3π

D.（√3+1）π

解析：由三視圖可知該幾何體是一個圓錐，其軸截面是一個高為、√3的正三角形.

∴正三角形的邊長=√3/sin60°=2.

∴圓錐的底面圓半徑是1，母線長是2.

∴底面圓的周長為2π.故側面積為1/2×2πx2=2π.

∵底面圓的面積為πx1²=π，

∴圓錐的表面積是3π，選C.

點評：本題考查了圓錐的三視圖及有關計算.準確判斷幾何體的形狀是解題的關鍵.

五、與投影有關的計算

例5如圖4，路燈距離地面8m，身高1.6 m的小明（AB）在距離路燈的正下方地面上點O處20 m的A處，則小明的影子AM的長為____m.

解析：設A M=xm，根據(jù)相似三角形知識，有x/x+20 =1.6/8，解得x=5.故AM的長為5m.

點撥：解決與投影有關的計算問題時，常常需要根據(jù)“太陽光下，同一時刻垂直于地面放置的物體的高度與影長成正比”，列出比例式，再代人相關數(shù)值求解，

中考命題預測

1.下列圖形的主視圖與左視圖不相同的是（?）.

A

B

C

D

2.展覽廳內(nèi)要用相同的正方體木塊搭成一個三視圖如圖5的展臺，則此展臺共需這樣的正方體木塊的個數(shù)是（）.

A.7

B.8

C.9

D.10

3.如圖6是一個立體圖形從左面和上面看到的形狀圖，這個立體圖形是由一些相同的小正方體構成的，這些相同的小正方體的個數(shù)最少是（?）.

A.4 B.5 C.6 D.7

4.如圖7是一個中間挖去一個圓柱的長方體，則它的主視圖是（?）.