弟6講 “統(tǒng)計與概率”復(fù)習(xí)精講

敖勇 程菊紅

6.1 統(tǒng)計

考點、易混易錯點解讀

考點主要有總體與樣本、“三數(shù)”（眾數(shù)、中位數(shù)、平均數(shù)）的概念，平均數(shù)（或加權(quán)平均數(shù)）、極差、方差的計算，統(tǒng)計圖（表）的分析.

樣本容量指的是樣本中個體數(shù)目，不要帶上單位.

求中位數(shù)時應(yīng)注意三點：（1）這組數(shù)據(jù)一定是按從小到大（或從大到小）排列好的數(shù)據(jù).（2）搞清數(shù)據(jù)的個數(shù).（3）弄清所解決問題中的數(shù)據(jù)是哪方面的數(shù)據(jù).

高頻考點例題點撥

一、抽樣調(diào)查

例1 （2019.賀州）調(diào)查我市一批藥品的質(zhì)量是否符合國家標準，采用____（填“全面調(diào)查”或“抽樣調(diào)查”）方式更合適.

解析;采用抽樣調(diào)查方式更合適，

點撥：一般當(dāng)調(diào)查個體數(shù)量不大時可用全面調(diào)查的方式，當(dāng)數(shù)量較大且具有破壞性時用抽樣調(diào)查的方式，

二、直方圖、頻率

例2第十一屆全國少數(shù)民族傳統(tǒng)體育運動會于2019年9月在鄭州市舉行.全國各地少數(shù)民族運動員進行為期14天的民族式摔跤、少數(shù)民族武術(shù)、馬術(shù)等17個項目的競技和表演切磋.某校面向全體中學(xué)生舉行了一次以“民族平等團結(jié)互助和諧”為主題的征文比賽（每位同學(xué)限1篇），每篇參賽作品成績記為m（60≤m≤100）分，學(xué)校從中隨機抽取了部分學(xué)生的參賽作品進行成績統(tǒng)計，并將統(tǒng)計結(jié)果繪制成尚不完整的頻數(shù)分布表和頻數(shù)分布直方圖（如表1、圖1）.

根據(jù)統(tǒng)計圖表，解答下列問題.

（1）本次共抽取了

名學(xué)生的參賽作品進行成績統(tǒng)計.

（2）頻數(shù)分布表中a=____，b= ____.

（3）請補全頻數(shù)分布直方圖.

（4）若本校參賽選手共有1 200名，請估計其中成績在80分以上（包含80分）的學(xué)生人數(shù).

解析：（1）∵抽取的A組有22人，占抽取學(xué)生總數(shù)的22%，

∴本次共抽取22÷0.22=100（名）學(xué)生的參賽作品.

（2）a=0.4x100=40，b= 30 /100=0.3.

（3）補全頻數(shù)分布直方圖略.

（4）1 200x（0.3+0.08）=456（人），所以估計其中成績在80分以上（包含80分）的學(xué)生人數(shù)為456.

點撥：由各組頻率之和等于1，即可求出6的值.解答本題還要用到兩個數(shù)量關(guān)系：數(shù)據(jù)總數(shù)×某組的頻率=相應(yīng)組的頻數(shù)，各組數(shù)據(jù)之和等于抽樣數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量）.

三、扇形統(tǒng)計圖、頻率

例3 （2019.東營）為慶祝建國70周年，東營市某中學(xué)決定舉辦校園藝術(shù)節(jié)，學(xué)生從“書法”“繪畫”“聲樂”“器樂”“舞蹈”五個類別中選擇一類報名參加，為了了解報名情況，組委會在全校隨機抽取了若干名學(xué)生進行問卷調(diào)查，現(xiàn)將報名情況繪制成如圖2所示的不完整的統(tǒng)計圖.請你根據(jù)統(tǒng)計圖中所提供的信息解答下列問題.

（1）在這次調(diào)查中，一共抽取了多少名學(xué)生？

（2）補全條形統(tǒng)計圖.

（3）在扇形統(tǒng)計圖中，求“聲樂”類對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù).

解析（ 1）∵被抽到的學(xué)生中，報名“書法”類的人數(shù)是20，占被抽取學(xué)生總數(shù)的10%，

∴在這次調(diào)查中，一共抽取的學(xué)生人數(shù)為20÷10%=200.

（2）被抽到的學(xué)生中，報名“繪畫”類的人數(shù)為200x17.5%=35，報名“舞蹈”類的人數(shù)為200x25%=50.

補全條形統(tǒng)計圖略.

（3）被抽到的學(xué)生中，報名“聲樂”類的人數(shù)為70.

∴扇形統(tǒng)計圖中，“聲樂”類對應(yīng)扇形圓心角的度數(shù)為70/200×360°=126°.

點撥：解答本題用到的數(shù)量關(guān)系為：各組數(shù)據(jù)之和等于抽樣數(shù)據(jù)總數(shù)（樣本容量）;在扇形統(tǒng)計圖中各部分百分比之和等于1，某組所在扇形圓心角的度數(shù)=該組所占百分比x360°.

中考命題預(yù)測

1.下列說法中正確的是（?）.

A.“打開電視，正在播放《新聞聯(lián)播》”是必然事件

B.“x2<0（X是實數(shù)）”是隨機事件

C.擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，可能有5次正面向上

D.為了了解夏季冷飲市場上冰淇淋的質(zhì)量情況，宜采用普查方式調(diào)查

2.如表2記錄了甲、乙、丙、丁四名跳高運動員最近幾次選拔賽成績的平均數(shù)與方差：

根據(jù)表中數(shù)據(jù)，要從中選擇一名成績好且發(fā)揮穩(wěn)定的運動員參加比賽，應(yīng)該選擇（?）.

A.甲

B.乙

C.丙

D.丁

3.某校為了解本校學(xué)生對2019年國慶活動的了解情況（分為“十分了解”“基本了解”“了解較少”“不了解”四種情況），隨機抽取了九年級部分學(xué)生進行調(diào)查，繪制成如圖3、圖4所示的不完整的統(tǒng)計圖，請根據(jù)圖中信息，回答下列問題.

（1）本次接受調(diào)查的學(xué)生有____名，圖3中的a=__b=____.

（2）“了解較少”對應(yīng)的圓心角的度數(shù)為

（3）請補全條形統(tǒng)計圖.

（4）若該校九年級共有1500名學(xué)生，請估計對2019年國慶活動“基本了解”的學(xué)生有多少名.

4.為響應(yīng)傳統(tǒng)文化進校園的號召，某校七年級、八年級舉行了“誦讀經(jīng)典”讀書比賽活動，現(xiàn)從該校七、八年級中各隨機抽取15名學(xué)生的比賽成績（百分制）進行整理、描述和分析，x（單位：分）表示成績得分，共分成四組：A. 80≤x<85，B.85≤x<90，C.90≤x<95.D.95 ≤x≤ 100.下面給出了部分信息.

七年級15名學(xué)生的誦讀經(jīng)典的成績?nèi)绫?.

八年級15名學(xué)生的競賽成績在C組中的數(shù)據(jù)是：92，91，94，90，94.八年級抽取的學(xué)生競賽成績的統(tǒng)計圖如圖5.

七、八年級抽取的學(xué)生誦讀經(jīng)典的成績統(tǒng)計結(jié)果如表4.

根據(jù)以上信息，解答下列問題：

（1）直接寫出上述表中a=____，b=____________________.

（2）該校七、八年級各1 000人參加了誦讀經(jīng)典的讀書活動，參加此次競賽活動成績在94分以上的（含94分）為優(yōu)秀，成績優(yōu)秀的學(xué)生都會獲得一本經(jīng)典名著的獎勵，那么七、八年級共約有多少人會獲得該獎品？

6.2 概率

考點、易混易錯點解讀主要考點有不可能事件、必然事件與隨機事件的判斷、概率的計算（列表法、畫樹狀圖法）.常見的問題背景有“摸球”“抽卡片”“轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)盤”.概率與統(tǒng)計的綜合問題是近幾年中考的考查重點.

當(dāng)一次試驗涉及三個或更多的因素時，用列表法就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用畫樹狀圖法求概率.

易混易錯點是：涉及兩步試驗的概率問題中有“放回”與“不放回”兩種情形，容易混淆，應(yīng)注意區(qū)分.

高頻考點例題點撥

一、用列表或畫樹狀圖法求概率

例1在一個不透明的袋子中裝有3個除了顏色其他完全相同的小球，其中有1個白球、1個黃球、1個紅球，摸出一個球記下顏色后放回，再摸出一個球，請用列表法或畫樹狀圖法求兩次都摸到紅球的概率，

解析：畫樹狀圖如圖1.共有9種可能情況，兩次都摸到紅球的有1種可能情況，故概率為1/9.

點撥：解答此題需要注意“放回”兩個字，“放回”和“不放回”的情形結(jié)果不一樣.

例2（2019.河南）現(xiàn)有兩個不透明的袋子，一個裝有2個紅球、1個白球，另一個裝有1個黃球、2個紅球，這些球除了顏色其他完全相同.從兩個袋子中各隨機摸出1個球，摸出的兩個球顏色相同的概率是.

解析：一個袋子中的兩個紅球記為紅1、紅2，另一個袋子中的兩個紅球記為紅3、紅4列表如表1.

由表知，共有9種可能結(jié)果，其中摸出的兩個球顏色相同的有4種結(jié)果，所以摸出的兩個球顏色相同的概率為4/9.

點撥：當(dāng)一次試驗涉及兩個因素且出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法，易錯點是不能正確判斷試驗涉及幾個因素或者幾步隨機事件.

二。統(tǒng)計與概率的綜合問題

例3（2019.包頭）某校為了解九年級學(xué)生的體育達標情況，隨機抽取50名九年級學(xué)生進行體育達標項目測試，測試成績?nèi)绫?，請根據(jù)表中的信息，解答下列問題.

（1）該校九年級有450名學(xué)生，請估計體育測試成績?yōu)?5分的學(xué)生人數(shù).

（2）該校體育老師要對本次抽測成績?yōu)?3分的甲、乙、丙、丁4名學(xué)生進行分組強化訓(xùn)練，要求兩人一組，求甲和乙恰好分在同一組的概率.

解析：（1）∵樣本中成績?yōu)?5分的學(xué)生人數(shù)所占比例為18/50×100%=36%，

∴估計總體中成績?yōu)?5分的學(xué)生人數(shù)所占比例也為36%.

∴450名學(xué)生中，成績?yōu)?5分的學(xué)生估計有450x36%=162（人）.

（2）列表如表3.

共有12種可能的結(jié)果，其中甲、乙恰好分在同一組的結(jié)果有（甲，乙）、（乙，甲）、（丙，?。┖停ǘ?，丙）四種結(jié)果.

∴P（甲、乙恰好分在同一組）=4/12=1/3，

點撥：本題綜合考查統(tǒng)計與概率的知識，根據(jù)概率的求法，關(guān)鍵要找準兩點：①全部情況的總數(shù)，②符合條件的情況數(shù)目.易錯點是不能不重不漏地列出所有可能的情況，

中考命題預(yù)測

1.一個不透明的袋中共有4個球，它們除了顏色不同，其余均相同，其中有1個白球、2個黃球、1個綠球.隨機摸出一個小球后放回，再隨機摸出一個小球，則兩次摸出的小球是一個白球、一個黃球的概率為（?）.

A.2/3.

B.1/3

C.1/4

D 1/2

2.小強同學(xué)從-1，0，1，2.3，4這六個數(shù)中任選一個數(shù)，滿足不等式x+1<2的概率是（?）.

A.1/5 B.2/4 C.1/3 D.1/2

3.有一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子，骰子各個面上的點數(shù)分別為1，2，3，4，5，6.若任意拋擲一次骰子，朝上的面的點數(shù)記為x，計算x-5，則其結(jié)果為非負數(shù)的概率是（?）.

A.1/6 B.1/4 C.1/3 D.1/2

4.小明和同學(xué)做“拋擲質(zhì)地均勻的硬幣試驗”獲得的數(shù)據(jù)如表4.

若拋擲硬幣的次數(shù)為1 000.則“正面朝上”的頻數(shù)最接近（?）.

A.20 B.300 C.500 D.800

5.在一個不透明的盒子里，裝有三個分別標有數(shù)字1，2，4的小球，它們的形狀、大小、質(zhì)地等完全相同.小明先從盒子里隨機取出一個小球，記下數(shù)字為x;放回盒子搖勻后，再由小華隨機取出一個小球，記下數(shù)字為y

（1）寫出（x，y）的所有可能出現(xiàn)的結(jié)果.

（2）小明、小華各取一次，由取出小球所確定的數(shù)字作為點的坐標，這樣的點（x，y）中落在反比例函數(shù)y=4/x的圖象上的點的概率是多少？

作者簡介

敖勇，河南省學(xué)術(shù)技術(shù)帶頭人，河南省級骨干教師，河南省教師培訓(xùn)師.在《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》《中學(xué)生數(shù)理化》等刊物上發(fā)表論文30多篇，《中考專家》《試題研究》等圖書的編委和作者之一，《中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)參考》特約編輯。