基于已實現(xiàn)極差的上證綜指波動長記憶性識別與風(fēng)險度量研究

周文浩，王 沁，張紅梅，汪 玲

西南交通大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院統(tǒng)計系，成都 611756

在全球經(jīng)濟一體化的推進下，中國金融市場的波動日益加劇，金融風(fēng)險也隨之不斷增加，因此，對金融市場風(fēng)險進行度量與控制是非常有必要的．VaR作為金融風(fēng)險度量的關(guān)鍵指標(biāo)，將不同資產(chǎn)的組合風(fēng)險綜合成一個數(shù)值進行度量，在國際金融市場得到了廣泛認(rèn)可與應(yīng)用．

資產(chǎn)收益波動的估計是度量VaR的關(guān)鍵，為此國內(nèi)外學(xué)者通常選用GARCH簇模型來對資產(chǎn)波動進行度量，進而實現(xiàn)對VaR更有效地控制與預(yù)測．文獻[1]結(jié)合EVT與GARCH模型對市場的VaR進行預(yù)測，實現(xiàn)了極端風(fēng)險的精確度量； 文獻[2]基于GARCH模型，針對基金收益率序列，計算各種基金收益率序列的VaR，發(fā)現(xiàn)各基金具有相似的風(fēng)險偏好； 文獻[3]利用對沖基金日交易數(shù)據(jù)，建立了GARCH模型，預(yù)測對沖基金的波動率并計算其VaR，減少對沖基金激進的投資策略對市場的沖擊； 文獻[4]用ARFIMA-ARCH模型來對中國股票市場長記憶性進行分析并對VaR進行測算與檢驗； 文獻[5]基于ARFIMA-GARCH-F模型對重慶市空氣質(zhì)量指數(shù)(AQI)的VaR進行了度量與檢驗； 文獻[6]基于不同分布下的FIGARCH計算了期貨的VaR，結(jié)果表明FIGARCH相較于GARCH模型更精確； 文獻[7]結(jié)合有偏t分布與FIGARCH對股票市場的VaR進行測算與檢驗，證明了FIGARCH在實踐中風(fēng)險控制的優(yōu)越性； 文獻[8]應(yīng)用ARFIMA-FIGARCH模型對同業(yè)拆借利率進行度量并結(jié)合VaR對模型優(yōu)劣進行檢驗，結(jié)果表明ARFIMA-FIGARCH能更好地刻畫同業(yè)拆借利率的波動特征．盡管雙長記憶的ARFIMA-FIGARCH模型能有效地刻畫資產(chǎn)收益的雙長記憶性和異方差性，但考慮杠桿效應(yīng)的存在以及高階矩對收益的影響，需要對ARFIMA-FIGARCH模型進行修正與拓展，從而有效地度量股票市場的VaR以及預(yù)測和檢驗．

考慮到高頻數(shù)據(jù)日內(nèi)“U”型特點，文獻[9]結(jié)合高頻信息首次提出“已實現(xiàn)”波動率(realized volatility，RV)，作為波動率的全新非參數(shù)度量方法； 文獻[10]建立ARFIMA-RV模型并實證表明RV的引入能很好地刻畫資產(chǎn)的波動特征并大幅度提升模型的擬合與預(yù)測能力； 文獻[11]基于已實現(xiàn)波動率建立了ARFIMAX-FIGARCH模型，對農(nóng)產(chǎn)品期貨市場波動率進行預(yù)測，結(jié)果表明引入RV能使ARFIMA-FIGARCH模型預(yù)測精度更高．但真實市場往往可能存在跳躍點，這導(dǎo)致RV的穩(wěn)健性與有效性可能難以成立．因此文獻[12]結(jié)合高頻極差信息提出了已實現(xiàn)極差(realized range variance，RRV)，并證明RRV的有效性約為RV的5倍，實現(xiàn)了對RV與市場真實波動率擬合的優(yōu)化．文獻[13]在理論上證明了已實現(xiàn)極差波動率是比已實現(xiàn)波動率更有效的波動估計量； 文獻[14]基于已實現(xiàn)極差建立了LHAR-RRV-CJ模型，分析了中國股市的異質(zhì)性、 跳躍性以及杠桿效應(yīng)； 文獻[15]基于已實現(xiàn)極差建立了CARR-EVT模型，實現(xiàn)對日VaR和CVaR的動態(tài)估計．

一方面，由于對數(shù)化已實現(xiàn)極差具有雙長記憶性和異方差性； 另一方面，考慮到杠桿效應(yīng)的存在以及高階矩對收益的影響．借鑒前述研究，本文基于對數(shù)化已實現(xiàn)極差，建立偏t分布下的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型，分析資產(chǎn)收益的雙長記憶性以及異方差性，分析杠桿效應(yīng)下的極端風(fēng)險，以實現(xiàn)對上證綜指VaR的度量與控制．

1 基于已實現(xiàn)極差的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型

1.1 已實現(xiàn)極差

(1)

則RRVt定義為極差下的日內(nèi)高頻收益率的平方和：

(2)

1.2 雙長記憶模型

文獻[16]考慮到長記憶性，提出了FIGARCH(BBM)模型，并在FIGARCH(BBM)模型上對結(jié)構(gòu)進行修正，結(jié)合ARFIMA提出了ARFIMA-FIGARCH(CHUNG)模型，其結(jié)構(gòu)如下：

(3)

(4)

考慮到杠桿效應(yīng)，文獻[16]引入杠桿項θ1，θ2來對杠桿效應(yīng)進行刻畫，進而構(gòu)建了FIEGARCH模型，其條件方差方程可以表示為：

(5)

事實上收益序列的高階矩未必存在，這使得FIEGARCH的基本假設(shè)難以成立．文獻[17]引入lnα創(chuàng)建了HYGARCH模型，考慮了高階矩對波動和長記憶性的影響，其對應(yīng)的條件方差可以表示為：

(6)

基于對數(shù)化已實現(xiàn)極差，考慮到雙長記憶性、 異方差性、 杠桿效應(yīng)以及高階矩對收益的影響，本文構(gòu)建了ARFIMA-M-HYGARCH模型：

(7)

2 VaR的計算與檢驗

VaR定義為在一定置信水平下，資產(chǎn)組合在一段時間內(nèi)可能受到的最大損失．由此可以得出VaR的定義式：

P(ΔP≤VaR)=α

(8)

針對對數(shù)化已實現(xiàn)極差的尖峰后尾特征，選取偏t分布下ARFIMA-M-HYGARCH模型來建模，可以得到ARFIMA-M-FIGARCH簇的VaR為：

(9)

其中：ut為lnRRV率的均值；skstα是標(biāo)準(zhǔn)偏t分布為skst(0，1，ξ，v)，且下置信水平為α的單側(cè)分位數(shù)，ξ為偏度參數(shù)，v為自由度．

基于已實現(xiàn)極差的ARFIMA-M-HYGARCH模型計算與檢驗VaR的具體思路如下：

步驟一： 計算RRV，結(jié)合R/S，單位根檢驗以及自相關(guān)圖識別其長記憶性，利用QQ圖判斷其分布是否符合偏t分布．

步驟二： 基于分?jǐn)?shù)階差分后序列計算殘差序列，對殘差序列進行異方差檢驗以及長記憶檢驗．

步驟三： 對基于已實現(xiàn)極差下的ARFIMA-M-FIGARCH簇模型進行參數(shù)估計以及擬合優(yōu)度檢驗．

步驟五： 利用失敗率檢驗法和動態(tài)分位數(shù)檢驗法對VaR進行檢驗．失敗率檢驗法并未對分位數(shù)起到評估的作用且受樣本量的影響較大，而動態(tài)分位數(shù)檢驗法彌補了這一缺陷．

3 實證分析

3.1 數(shù)據(jù)收集

中國股票市場主要分為滬市和深市，因此上證綜指與深成指數(shù)自然最能反映中國股市的整體波動情況，但由于滬市與深市存在較高的相關(guān)性，而滬市開市較早，對外部沖擊較為敏感，同時對深市而言具有“溢出效應(yīng)”，所以本文選擇上證綜指作為研究對象．借鑒文獻[18]的結(jié)論，在避免市場微觀結(jié)構(gòu)帶來嚴(yán)重噪聲的基礎(chǔ)上，選擇盡可能高頻率的數(shù)據(jù)，因此本文選擇上證綜指5分鐘高頻數(shù)據(jù)，取樣區(qū)間為2016年1月4日-2018年12月28日，共有35 088個數(shù)據(jù)，數(shù)據(jù)來源于Wind資訊金融數(shù)據(jù)庫．

3.2 統(tǒng)計特征與分布檢驗

對上證綜指的RRV進行基本統(tǒng)計特征分析與檢驗，相關(guān)結(jié)果如下表所示：

表1 上證綜指RRV的描述性統(tǒng)計與檢驗

從表中可以得知，上證綜指RRV與lnRRV序列偏度大于0，呈現(xiàn)出右偏的趨勢； 同時峰度大于0，表現(xiàn)為尖峰特征．總體而言，呈現(xiàn)出有偏、 尖峰厚尾的特征，結(jié)合Jarque-Bera結(jié)果可知，整體并不服從正態(tài)分布．嘗試?yán)肣Q圖對lnRRV整體是否服從有偏t分布進行判斷，結(jié)果見圖1．

圖1 上證綜指ln RRV基于有偏t分布的QQ圖

從有偏t分布下的QQ圖可以得知，lnRRV的對應(yīng)點基本構(gòu)成一條直線，因此本文選取有偏t分布作為假設(shè)分布．

3.3 雙長記憶性與異方差性檢驗

對上證綜指lnRRV序列進行單位根檢驗，結(jié)果如下表所示：

表2 上證綜指ln RRV單位根檢驗

從表2可以看出，ADF檢驗結(jié)果表明序列平穩(wěn)，而KPSS檢驗顯示序列并不平穩(wěn)，根據(jù)文獻[19]對ADF結(jié)合KPSS檢驗的研究，可以得知上證綜指lnRRV序列平穩(wěn)，同時具有一定的長記憶性．

對lnRRV序列自相關(guān)性進行分析，結(jié)果如圖2所示．從圖2中可以看出序列的自相關(guān)函數(shù)以非常緩慢的速度衰減，根據(jù)文獻[19]對長記憶性與自相關(guān)系數(shù)的研究，可以認(rèn)為序列具有較強的長記憶性．

圖2 上證綜指ln RRV序列自相關(guān)圖

對上證綜指lnRRV進行R/S檢驗得到Hurst指數(shù)，進而判斷序列長記憶性的強弱，檢驗結(jié)果如圖3，4所示．

圖3 上證綜指ln RRV的R/S檢驗圖

圖4 擬合殘差的R/S檢驗圖

R/S檢驗結(jié)果表明Hurst指數(shù)H=0.928 2，R-Squared=0.976 5，同時結(jié)合圖3，可知擬合效果良好，并且Hurst指數(shù)遠大于0.5且接近于1，因此可以判斷上證綜指的lnRRV序列具有很強的長記憶性，這與前面的分析結(jié)果完全一致．

由于Hurst指數(shù)與d近似存在d=H-0.5的關(guān)系，則d≈0.428 2．對ARFIMA-M-RRV模型進行擬合，并對擬合殘差進行異方差性檢驗與長記憶性檢驗，來判斷是否適用于FIGARCH族模型，檢驗結(jié)果見表3．

表3 異方差性檢驗(ARCH檢驗)

結(jié)合表3可以得知，在滯后階數(shù)分別為1，3，4階，顯著性水平為10%時均拒絕原假設(shè)，即認(rèn)為lnRRV的波動率并非常數(shù)，存在較強異方差性．

針對擬合殘差的R/S檢驗結(jié)果表明Hurst指數(shù)H=0.732，R-Squared=0.650，同時結(jié)合圖4可以得知擬合效果較好，并且Hurst指數(shù)大于0.5，因此可以判斷波動率同樣具有長記憶性．

結(jié)合上述分析可知上證綜指的lnRRV具有異方差性和雙長記憶性的特征，因此結(jié)合FIGARCH族對ARFIMA-M-RRV建立雙長記憶模型．

3.4 模型的建立與參數(shù)估計

對lnRRV序列進行0.428 2階差分，并對分?jǐn)?shù)階差分后的lnRRV序列測算其自相關(guān)以及偏相關(guān)系數(shù)，對自回歸與移動平均項進行定階，測算結(jié)果如下表所示：

表4 分?jǐn)?shù)階差分后ln RRV序列的ACF與PACF

對于自相關(guān)系數(shù)，存在

(9)

對于偏相關(guān)系數(shù)，存在

(10)

根據(jù)Box-Jeins定階理論，可以確定模型的自回歸階數(shù)為1，移動平均階數(shù)為0，即模型為ARFIMA-M-RRV(1，0)模型．同時，確定ARCH與GARCH階數(shù)均為1階．

分別針對FIGARCH(CHUNG)，F(xiàn)IEGARCH以及HYGARCH建立基于ARFIMA-M-RRV的雙長記憶模型，并利用基于BHHH算法的極大似然估計對參數(shù)進行估計，參數(shù)估計結(jié)果見表5．

表5 偏t分布下各模型估計結(jié)果

續(xù)表5

結(jié)合表5中的模型參數(shù)估計結(jié)果，可以發(fā)現(xiàn)：

1) FIEGARCH中的杠桿項參數(shù)均不顯著，這恰巧說明了均值方程引入的杠桿項比較完美地刻畫了lnRRV的杠桿效應(yīng)，進而導(dǎo)致方差方程杠桿項并不顯著．同時d1以及AR(1)的估計結(jié)果同樣不顯著，d1>0.5，表明FIEGARCH的參數(shù)估計效果較差．

2) HYGARCH與FIGARCH關(guān)于d1的估計值均接近于0.5，體現(xiàn)了lnRRV很強的長記憶性，同時d2>0且不太接近0.5，體現(xiàn)了波動率較強的長記憶性，這與前文研究結(jié)果完全一致．

3) FIEGARCH的AIC與HQ值均大于其他2種模型，而HYGARCH與FIGARCH的AIC與HQ值相對較小，另外FIGARCH的ARCH項并不顯著，因此FIGARCH與HYGARCH能更好地對波動率的異方差性進行描述，但HYGARCH略優(yōu)于FIGARCH．

3.4 VaR計算與檢驗

表6 失敗率檢驗結(jié)果

表7 動態(tài)分位數(shù)檢驗結(jié)果

圖5 HYGARCH模型VaR(0.950； 0.975)圖

結(jié)合VaR的計算與檢驗結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)：

1) 失敗率檢驗中，HYGARCH在0.950 0，0.975 0以及0.997 5分位數(shù)下的成功率相對于FIGARCH而言更接近對應(yīng)的分位數(shù)，p值同樣更優(yōu)于FIGARCH，尤其在0.997 5分位數(shù)下FIGARCH對應(yīng)的p值僅為0.053 0，檢驗結(jié)果非常不理想，反觀HYGARCH在0.997 5分位數(shù)下p值為0.431 2，能更好地對極端風(fēng)險進行控制．

2) 動態(tài)分位數(shù)檢驗中，F(xiàn)IGARCH在0.950 0，0.975 0以及0.997 5分位數(shù)下的p值均小于HYGARCH，尤其是在0.950 0分位數(shù)下的p值僅有0.047 4，效果非常不理想，遠低于HYGARCH對應(yīng)的0.439 8，這表明在動態(tài)分位數(shù)檢驗下HYGARCH同樣能更好地對極端風(fēng)險進行控制．

綜上所述，HYGARCH對于ARFIMA-RRV模型VaR的估計效果更好，能夠更好地適應(yīng)和控制股票市場的極端風(fēng)險．

4 結(jié) 論

本文在高頻信息的基礎(chǔ)上，引入RRV，結(jié)合杠桿效應(yīng)，對雙長記憶性進行識別并建立相應(yīng)的模型，對模型的VaR進行計算與檢驗，得到了以下結(jié)論：

1) 上證綜指lnRRV序列具有尖峰厚尾的特征，結(jié)合Jarque-Bera檢驗以及QQ圖，可以得知整體服從有偏t分布．

2) 結(jié)合單位根檢驗，自相關(guān)圖檢驗，異方差檢驗以及R/S檢驗可知上證綜指lnRRV序列具有雙長記憶性的特征．

3) 對FIGARCH，F(xiàn)IEGARCH以及HYGARCH下的ARFIMA-M-RRV模型進行擬合，結(jié)果表明FIGARCH與HYGARCH擬合結(jié)果較好，其中HYGARCH略優(yōu)于FIGARCH．

4) 對FIGARCH與HYGARCH下的ARFIMA-M-RRV模型進行VaR的失敗率檢驗與動態(tài)分位數(shù)檢驗，結(jié)果表明HYGARCH能更好地刻畫上證綜指lnRRV序列在極端風(fēng)險下的VaR．

由實證結(jié)果可知，針對上證綜指可以建立有偏t分布下的ARFIMA-M-RRV-HYGARCH模型來對極端風(fēng)險下的VaR進行度量與控制，從而實現(xiàn)更有效的金融風(fēng)險管理．