解剖試題內(nèi)涵 加強數(shù)學概念深度學習
——從2020 年與2021 年福建中考函數(shù)壓軸試題說起

李 霞

（1.福州教育研究院，福建 福州 350001；2.福建教育學院數(shù)學教育研究所，福建 福州 350025）

數(shù)學概念有許多功能，可以作為對事物的描述或事物本質屬性的說明；可以作為數(shù)學對象的劃分；可以作為事實判斷的依據(jù).［1］一些特定的數(shù)學概念常常用數(shù)學語言（符號，圖表）或物理客體來表示.在問題解決的策略與方法上，數(shù)學概念也成了問題解決的思維點，如果學習者能從概念的屬性出發(fā)尋找問題解決所需要的方法，那么方法的應用范圍就擴大了，這能使得概念性的知識促進了方法的靈活性.［2］因此有必要重視數(shù)學概念的深度學習.下文從終結性測評試題的問題解決思維點與困惑點入手談數(shù)學概念深度學習的策略.

一、中考試題呈現(xiàn)

［案例1］（2021 年福建省中考試題第25 題）

已知直線l1：y=-2x+10 交y軸于點A，交x軸于點B，二次函數(shù)的圖象過A,B兩點，交x軸于另一點C，BC=4，且對于該二次函數(shù)圖象上的任意兩點P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，當x1≥x2≥5 時，總有y1＞y2.

（1）求二次函數(shù)的表達式；

（2）若直線l2：y=mx+n(n≠10)，求證：當m=-2時，l2‖l1；

（3）E為線段BC上不與端點重合的點，直線l3：y=-2x+q過點C且交直線AE于點F，求△ABE與△CEF面積之和的最小值.

（一）問題解決的思維點：

第一問，直線l1與y軸，x軸的交點坐標分別為A(0,10)，B(5,0)；BC=4，C在x軸上可以推出C(1,0)或(9,0)；當x1≥x2≥5 時，總有y1＞y2，得到拋物線的對稱軸落在x≤5 處，推得C(1,0).所以拋物線的解析式為y=2x2-12x+10.該問題解決的思維點：會定義數(shù)軸上兩點間距離；會從形式化的描述上讀出函數(shù)的增減性.

對于第二問：

從方程與直線的視角，判定方程組的解，推得線的位置關系.

從平移視角，在直線l1上任取一點記為P(x0,-2x0+10)，將點P平移(n-10) 個單位到點Q(x0,-2x0+n)，則點Q一定在直線l2：y=-2x+n上，又因為n≠10，所以直線l2可由直線l1向上平移(n-10)個單位得到，從而得到l2‖l1.該方法基于初高中銜接的視角，嘗試從集合的定義說明線是由滿足條件的點組成.

從刻畫幾何位置關系視角：明白角是刻畫兩直線平行的工具，在圖1、圖2、圖3 中，通過構造不同位置下的同位角或內(nèi)錯角相等來判定兩直線位置關系.在構造的過程中，要明白圖1 中證明所用的原理與圖2及圖3 不同.圖1 是通過斜率求得l1與l2的傾斜角的正切值相等，再推得角等；圖2 與圖3 則是通過兩個直角三角形的相似推得角等.

圖1

圖2

圖3

圖5

還可以在這兩條線上找到4 個點（圖4），說明圍成的四邊 形是平行四邊形.如：A(0,10)，Q(1,8)，N(0,n)，P(1,n-2)且n≠10，推出AN‖QP，AN=QP，得到四邊形ANPQ為平行四邊形從而推得l2‖l1.

圖4

對于第三問，思考如何將△ABE與△CEF的面積之和表示出來？兩條平行線被第三、四條直線所截的圖形之間尋找關聯(lián).如何關聯(lián)，因為相似，可以用比值來刻畫.

（二）問題解決的困惑點

表1 是某市近7 萬考生解答該小題的成績分布情況，滿分14 分，近8 萬考生平均分2.44 分，表2 為考生存在的問題情況分析.

表1 2020 年福建中考某市學生25 題成績分布情況

表2 2020 年福建中考25 題學生主要失分及存在問題抽樣情況

以上這些錯誤年年出現(xiàn)，本題雖然是整份卷子的壓軸題，但第一問到第三問都在考查學生對概念或性質的理解與判斷.如第一問對線段長定義及函數(shù)增減性質的判斷，第二問則是對平移概念的判斷，銳角三角函數(shù)的定義使用等，第三問考生要會把問題需要解決的方法聯(lián)系到它所根據(jù)的相似三角形與函數(shù)等一些概念上：不會把面積（二維）的問題轉化為邊的比值（一維）問題解決.而比值之間表現(xiàn)出一定的關系，研究關系就是函數(shù)，函數(shù)離不開變量的選擇.因此問題的落腳點還是變量與函數(shù)概念的理解.

［案例2］（2021 年福建省中考試題第25 題）

已知拋物線y=ax2=bx+c與x軸只有一個公共點.

（1）若拋物線過點P(0,1)，求a+b的最小值；

（2）已知點P1(-2,1)，P2(2,-1)，P3(2,1)中恰有兩點在拋物線上，求拋物線的解析式.

問題解決的思維點：

對2021 年的函數(shù)壓軸題，筆者只取前面兩問來說明試題的考查情況，第一問除了從數(shù)的角度來理解外，也可以從形的角度來思考，由于拋物線與x軸只有一個公共點，結合拋物線過點P，得到拋物線的開口向上，且對于任意的x，都有y≥0，即ax2+bx+1≥0，所以取x=1 時，a+b≥-1，當a+b=-1 時，a+b=b+，解得a=1，b=-2，所以當a=1，b=-1，時，a+b取最小值－1.

對于第二問，由于函數(shù)是單值對應，（2，-1）與(2,1)只能取1 個.又因為拋物線上的點只能落在x軸的同側，所以拋物線上的點只能是（2，-1）與(2,1).又因為P1(-2,1)，P3(2,1)的縱坐標相同，所以拋物線的對稱軸為x=0，即b=0，結合b2=4ac，得出ac=0.由于a≠0，所以c=0.設拋物線的解析式為y=ax2，把點P1(-2,1)代入，可得，所以拋物線的解析式為y=.

試題關注概念本質的考核，第一問關注到任意性的理解，對于x的每一個確定的值，y都滿足大于或等于0；第二問關注函數(shù)概念中的單值對應來判定點是否滿足條件.

試題僅僅是從函數(shù)概念的角度來考察，但我們發(fā)現(xiàn)學生得分率不高，第一問的難度系數(shù)0.32，第二問的難度系數(shù)0.20.

據(jù)筆者所做的統(tǒng)計分析，歷年來的中考壓軸試題的作答，均因為某些概念或性質理解的偏差，或考生不懂得將問題需要解決的方法聯(lián)系到它所既定的概念上，導致壓軸試題最后一問解決困難.究其原因，這可能與教師平時關注解題教學，淡化概念教學有關，一些概念沒有從本源上啟發(fā)學生理解.

同時筆者在教研過程中發(fā)現(xiàn)：教師對概念教學的理解經(jīng)常存在以下困惑：①讓數(shù)學“趣味化”，認為數(shù)學是抽象的枯燥的，想著概念課要從激發(fā)興趣入手，使學生覺得數(shù)學不再是抽象的.這種教學方法的指導依據(jù)是想通過激發(fā)興趣讓數(shù)學不再抽象，認為數(shù)學枯燥等同于數(shù)學抽象；②讓學生“主體化”，認為概念的生成一般是采取探究與合作的方式.這種教學設計的出發(fā)點是關注教學模式，為了體現(xiàn)學生的主體，將數(shù)學參與等同于數(shù)學理解.③讓數(shù)學“生活化”，只是從直觀、表象的層面講授數(shù)學概念，淡化對概念本質的生成、抽象與理解，淡化概念體系的構建，認為數(shù)學直觀等同于數(shù)學本質.

因此從教師對概念教學的處理方式，可以看到無論從意識和實踐的層面，數(shù)學概念的深度學習都有深入研究的必要.

二、數(shù)學概念深度學習的意義

《辭海》載：概念為心理學名詞，指的是同類多數(shù)事物之諸項知覺所構成之普通觀念，概念之構成，含有比較、抽析、判斷、綜合諸作用［3］.這里的“比較、抽析、判斷、綜合”的過程就是深度學習的過程.數(shù)學學科在某種程度上比其他任何學科涉及的概念都多，由于數(shù)學知識的體系性和聯(lián)系性，概念的掌握也是后續(xù)問題解決的基礎.因此數(shù)學概念應該成為數(shù)學教學的核心.章士藻認為數(shù)學概念是人腦對現(xiàn)實關系及其本質屬性在思維中的一種反映，這種反映（形成數(shù)學概念）是一種理性思維的過程［4］.而深度學習的最終目標就是形成理性思維.按照布盧姆教育目標理論，深度學習即深層學習，為深層理解與創(chuàng)新運用，涉及的是高階思維活動.因此做好數(shù)學概念的深度學習能夠發(fā)展學生的高階思維.

三、數(shù)學概念深度學習的策略

（一）關注概念理解的層次水平

深度學習要基于教師對教學的理解與設計，對一個概念的理解，英國的皮里和加拿大的基倫從認知的觀點將理解分成內(nèi)外層八個水平：初步了解—產(chǎn)生表象—形成表象—關注性質—形式化—觀察評述—組織結構—發(fā)明創(chuàng)造，其中初步了解為最內(nèi)層的圓，發(fā)明創(chuàng)造為包含前面的最外層的圓，這一過程不是單項的活動，是一個動態(tài)、建構的過程.這八個水平只是內(nèi)外層的位置，不體現(xiàn)水平的高低.［5］如高中對函數(shù)的概念是從“對應說”的角度進一步理解函數(shù)的定義，要求要掌握對應，體會用符號對函數(shù)進行形式化的描述，能形成函數(shù)對象.其中對應法則f的了解對高一學生來說可以是最內(nèi)層的“初步了解”的水平.但對初中學生來說這已經(jīng)是前四五層水平形成下的水平（“形式化”）.因為在初中階段函數(shù)的定義是從“變量說”的角度加以界定的.［6］并且刻畫這種變化關系的三種形式（列表法、圖象法與解析式）都是一種直觀層現(xiàn).特別是對應法則的理解只是函數(shù)概念學習的第一次簡單抽象；而高中f(x)的抽象與概括過程即為在初中基礎上的第二次抽象，為了認識抽象符號f(x)，采用大量的初中學過的例子為依托，在抽象的過程中還要關注初中的函數(shù)的一些關鍵詞，如“每一個變量”“唯一的變量”“對應”，讓學生體會函數(shù)概念中所包含的重要信息，從而抽象出對應法則f.這就是函數(shù)不同時期學習顯示出來的“理解水平”.

史寧中教授將抽象劃分為有兩個階段：第一階段是基于客體的抽象，從感性具體到理性具體，從辨別到概括，表現(xiàn)為用自然語言表達的直觀描述；第二階段是基于邏輯的抽象，從理性具體到理性一般，從概括到形式化完成符號表達.函數(shù)的概念就經(jīng)歷了第一次抽象（初中階段）到第二次的抽象（高中階段）.應該說第一次抽象更本質，它第一次“創(chuàng)造”了新的概念，第二次抽象只是從形式上解析了這些“創(chuàng)造”.這兩個階段很形象地說明了初高中對“函數(shù)”概念的理解水平層，也讓我們明白八個水平的每一個水平都很重要，最內(nèi)層的水平并不是最低的水平，只是人內(nèi)部思維的心理行為過程.

（二）關注概念認知的理性思維

對概念要達到理性認識：首先能夠說出概念是什么，能夠知道它的起源，知道它與其他概念之間的關聯(lián)；接著知道它有什么用途；接著是為什么可以這么做（元認知）.如初中階段課標對《分式》章節(jié)技能學習的要求，就是會計算下面的三類題型：

為達成課標要求，教師在教學中會讓學生熟練掌握以下操作方式：見分式乘除，母子（母為分母，子為分子）都化積，再約分；見分式加減，母化積，再通分；見結果是分式，母子再化積，再約分.學生只要具備對操作方式的熟練與分式運算程序的理解就能實現(xiàn)技能的掌握.這也是課標的最低要求.若從數(shù)學學科核心素養(yǎng)的視角看運算求解的能力要求：如案例2（2017年福建省中考）:先化簡，再求值，這里就要求學生不僅要掌握陳述性知識（分式概念，分式的加減乘除，二次根式概念）及程序性知識（因式分解，通分，約分，二次根式運算的步驟）；接著要有認知的策略（如何進行因式分解，通分，約分等），最后是會監(jiān)控每步運算、驗算（元認知）.要求學習者從淺層理解與操作技能到深層理解與思辨明理，這一過程就要喚醒學習者主動思考、深度思考的能力.而形成這種能力要基于分式等相關概念知識與方法的深度理解.接著是對這些相關概念與方法的理性思辨.

（三）關注概念建構的本質屬性

從“形成表象”到“關注性質”再到“發(fā)明創(chuàng)造”，其中要達到“發(fā)明創(chuàng)造”的水平必須基于概念結構性的本質理解.數(shù)學概念的理解有著多層次、多側面、無止境的過程：要從宏觀與微觀層面上理解它：宏觀上要把握數(shù)學概念的本質與教學價值.微觀上要理解它的結構：清楚概念產(chǎn)生的背景與固著點；清楚概念的生長過程與階段；清楚概念體系建構過程所用的方法等.

如從宏觀的層面理解函數(shù)學習的價值：代數(shù)是研究數(shù)量關系和變化規(guī)律的.概念就是刻畫兩個量之間的變化關系.代數(shù)式的出現(xiàn)，滲透著字母表示數(shù)的思想，含有字母的代數(shù)運算是用符號進行刻畫的；代數(shù)式的變換關注的是結構性的形式變換，思考的是抽象層面的內(nèi)容；函數(shù)的學習價值在于發(fā)現(xiàn)式的結構特征（模型）.用代數(shù)方法解決問題，可以根據(jù)實際情景找到或者構造相應的代數(shù)模型，而函數(shù)就是這種單值對應關系的模型，這就是函數(shù)學習的價值.

具體的學習中，要從微觀的層面全面的結構性的理解概念，如正比例與反比例函數(shù)概念的學習，可以聯(lián)系六年級所學的正比例關系下的定義：因為路程與時間的比值一定，即速度（也就是路程與時間的商）不變，所以路程和時間成正比例.初一在正比例函數(shù)時候，將兩個相關聯(lián)的量，若一種量隨著另一種量的變而變，但它們對應的兩個數(shù)的比值（也就是商）一定，我們把這兩種量的關系叫做正比例關系.通過兩種學段對概念理解的對比與重構，表達雖然不同，但本質是一樣的.不僅讓學生清楚正比例函數(shù)的概念產(chǎn)生的現(xiàn)實背景；還清楚正比例函數(shù)概念與正比例關系概念的本質屬性.