擴(kuò)展有限元法在斷裂力學(xué)的應(yīng)用

摘要：現(xiàn)如今各個(gè)物體都有一定缺陷，而斷裂力學(xué)作為研究物體裂紋缺陷的一門學(xué)科，在很多方面的應(yīng)用都十分廣。由于物體的斷裂有著很復(fù)雜的應(yīng)力狀態(tài)，普通的有限元方法很難實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展的模擬，或者所得到的結(jié)果不符合現(xiàn)實(shí)情況。而擴(kuò)展有限元法的出現(xiàn)使得這一難題基本得到解決。本文主要講述斷裂力學(xué)的發(fā)展史，以及擴(kuò)展有限元法應(yīng)用于斷裂力學(xué)所做的研究貢獻(xiàn)。

關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué);擴(kuò)展有限元;應(yīng)用;擴(kuò)展有限元

1. 緒論

斷裂力學(xué)是專門研究物體或構(gòu)件，自身帶有缺陷或裂紋等瑕疵強(qiáng)度的一門學(xué)科[1-2]，起初作為固體力學(xué)的一個(gè)分支。斷裂力學(xué)的主要目的是研究裂紋怎樣發(fā)展的，其對(duì)構(gòu)件強(qiáng)度有著怎樣的影響，也就是說，他的核心研究對(duì)象是工程結(jié)構(gòu)中裂紋擴(kuò)展的運(yùn)動(dòng)規(guī)律。裂紋的起裂條件、其在特定條件下的擴(kuò)展過程、到怎么的狀態(tài)下使得物體構(gòu)件斷裂都是斷裂力學(xué)所研究的。與傳統(tǒng)的常規(guī)設(shè)計(jì)方法相比較，傳統(tǒng)方法不可處理裂紋，而斷裂力學(xué)處理的較好，這是斷裂力學(xué)的一大優(yōu)勢[3]。

隨著社會(huì)的快速發(fā)展，科技進(jìn)步也盡在眼前，在為解決實(shí)際復(fù)雜工程的同時(shí)，也帶來了一些挑戰(zhàn)，前進(jìn)的道路總是崎嶇不堪的，斷裂引發(fā)的工程事故也比比皆是，而斷裂力學(xué)的發(fā)現(xiàn)，為后人研究斷裂物體栽培下一顆孕育待苞的萌芽。

2. 斷裂力學(xué)的發(fā)展

1920年，Griffith學(xué)者[4]用材料內(nèi)部存在裂紋的觀點(diǎn)，對(duì)材料實(shí)際強(qiáng)度為什么比理論強(qiáng)度小這一疑惑，給出了相關(guān)解釋，斷裂力學(xué)由此呈現(xiàn)出歷史舞臺(tái)。Irwen學(xué)者[5]后經(jīng)十多年的艱苦探索，對(duì)Griffith的理論提出了修改，此后斷裂力學(xué)也可適用于鋼材材料。1960年，Irwen學(xué)者用石墨做了關(guān)于斷裂力學(xué)的相關(guān)實(shí)驗(yàn)，成功測得了裂紋開始擴(kuò)展時(shí)的K值，建立了臨界應(yīng)力強(qiáng)度因子準(zhǔn)則（即K準(zhǔn)則），為線彈性斷裂力學(xué)的理論體系的發(fā)展，添加一加促劑。1963年，Wells學(xué)者提出了用裂紋張開位移，來判定裂紋失穩(wěn)擴(kuò)展。這一判定標(biāo)準(zhǔn)也得到認(rèn)可。1968年，Rice學(xué)者針對(duì)描述裂紋尖端附近的應(yīng)力應(yīng)變場，提出了二維含裂紋體的J積分。在這一年，Hutchinson等學(xué)者為彈塑性斷裂力學(xué)后續(xù)發(fā)展埋下了堅(jiān)定伏筆，即提出了HRR奇性場。1974年，Sih學(xué)者為斷裂力學(xué)的發(fā)展起了不可忽略的作用，通過反復(fù)研究提出了能量密度因子理論。1994年，O‘Dowd等學(xué)者提出了J-Q雙參數(shù)斷裂準(zhǔn)則，均對(duì)之前理論進(jìn)行了改善與調(diào)整，使得斷裂力學(xué)得到了很大程度的發(fā)展。到了1995年，魏悅廣等學(xué)者基于裂紋尖端高階場的分析研究，提出了J-k斷裂準(zhǔn)則，這更是斷裂力學(xué)的里程碑。使得以后斷裂力學(xué)的發(fā)展更為融洽和諧。

經(jīng)過多年的研究，斷裂力學(xué)的發(fā)展愈加成熟，許多學(xué)者的深入研究，可謂是對(duì)斷裂力學(xué)的貢獻(xiàn)很大，可從表面談到深層次，從腳下論到首端。起始有限、離散分別研究，深究為有限、離散結(jié)合去探索;從傳統(tǒng)方法到近現(xiàn)代的概率論性高等數(shù)學(xué)方法的轉(zhuǎn)變;從線彈性斷裂力學(xué)發(fā)展到彈塑性斷裂力學(xué);由靜態(tài)的斷裂力學(xué)過渡到動(dòng)態(tài)的斷裂力學(xué);所有的這些成果無一不是說明斷裂力學(xué)發(fā)展將趨向更加成熟，同時(shí)各個(gè)學(xué)者的投入也是不可忽略的。

3. 擴(kuò)展有限元法在斷裂力學(xué)的應(yīng)用

巖石的裂紋擴(kuò)展是一個(gè)不連續(xù)問題，在嚴(yán)格意義上來講。常規(guī)的有限元方法難以實(shí)現(xiàn)裂紋擴(kuò)展過程的數(shù)值模擬。為此眾多學(xué)者提出了擴(kuò)展有限元方法（即XFEM法），該法實(shí)現(xiàn)了數(shù)值分析中計(jì)算網(wǎng)格與不連續(xù)面相互獨(dú)立，無需對(duì)網(wǎng)格進(jìn)行重新劃分，模擬移動(dòng)的不連續(xù)面時(shí)候。因此后來更多的學(xué)者用擴(kuò)展有限元法來研究斷裂擴(kuò)展演變。

對(duì)于幾何非線性斷裂力學(xué)問題。由河海大學(xué)蘇靜波等人[4]在研究擴(kuò)展有限元法于幾何非線性物體時(shí)，研制開發(fā)了擴(kuò)展有限元的Fortran語言程序。而擴(kuò)展有限元法在模擬巖石斷裂時(shí)候不需要對(duì)不連續(xù)面的網(wǎng)格再次劃分，蘇靜波等人在研究生幾何非線性時(shí)候，再次推導(dǎo)了XFEM公式。在普通的有限元位移模式中，用兩個(gè)水平集函數(shù)表示裂紋，加進(jìn)了一個(gè)階躍函數(shù)以及二位漸近裂紋尖端位移場在單位分解的思想中，以此來反應(yīng)裂紋位移的不連續(xù)性;建立了有限元變形幾何非線性擴(kuò)展有限元方程用拉格朗日方程，使得之前的擴(kuò)展有限元方程得到了一定程度上的改善，為后續(xù)研究也提出了一些方法。最終結(jié)果都是比傳統(tǒng)有限元法更加合理準(zhǔn)確。

基于幾何非線性擴(kuò)展有限元法的研究，后有一些學(xué)者提出，是否對(duì)于幾何線性物體時(shí)，擴(kuò)展有限元法有一定的欠缺或瑕疵，為此由楊萬托學(xué)者[5]作了相關(guān)研究，他采取改進(jìn)了的XFEM對(duì)有限板單邊裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子和I型裂紋的擴(kuò)展進(jìn)行分析，結(jié)果表明該法的有效性。

XFEM位移模式中起初，裂尖加強(qiáng)節(jié)點(diǎn)的相關(guān)系數(shù)是彼此獨(dú)立的，裂尖漸進(jìn)位移場函的主要項(xiàng)是其加進(jìn)的，對(duì)于裂尖附近的漸進(jìn)位移場反應(yīng)，這樣的加強(qiáng)位移場不能將其描述地更為準(zhǔn)確，對(duì)于應(yīng)力強(qiáng)度因子也必須經(jīng)過后處理才可求出，局部的加強(qiáng)位移場精度并不能令人信服?；谶@一缺陷，文中進(jìn)行了一些改善。進(jìn)行了相應(yīng)的位移模式構(gòu)造，該過程過后，與傳統(tǒng)的有限元方法相似，為了使得裂尖第一層加強(qiáng)節(jié)點(diǎn)等同于加強(qiáng)自由度，本文通過虛功原理，將罰函數(shù)法用來求解控制方程，并推導(dǎo)出有限元計(jì)算的基本控制方程。用到了一個(gè)積分方案，采用了一種特殊處理的積分法，在未保證積分的精度下，計(jì)算結(jié)論得出了裂紋的擴(kuò)展開裂條件，推出了一開裂角和斷裂準(zhǔn)則。通過對(duì)一個(gè)尺寸板在單向拉伸下的裂紋走向，得出了其擴(kuò)展類型和裂紋，很好地反應(yīng)出了數(shù)值結(jié)果同實(shí)際試驗(yàn)的相似度。

擴(kuò)展有限元法（XFEM）在斷裂力學(xué)中應(yīng)用較廣，既解決了有限元法需要對(duì)局部網(wǎng)格的重新劃分的難題，也解決了一些理論中易出錯(cuò)的地方，為一些工程作了不可估量的貢獻(xiàn)，在分析動(dòng)態(tài)裂紋問上，擴(kuò)展有限元方法發(fā)揮出了巨大作用。盡管如此，該法也存在一些問題，如在處理位移模式中，是否會(huì)涉及到外載的作用，時(shí)間步的再次減少，而二次開發(fā)語言過于繁瑣，是否可以增加一些理論，使分析結(jié)果更加如人意。

4. 結(jié)語

從發(fā)展來看，擴(kuò)展有限元法更為符合裂紋的實(shí)際斷裂過程，其對(duì)斷裂力學(xué)參數(shù)和裂紋擴(kuò)展路徑所進(jìn)行的數(shù)值模擬計(jì)算，更能有效地描述巖石斷裂力學(xué)特性。同時(shí)擴(kuò)展有限元法計(jì)算模型也驗(yàn)證了數(shù)值計(jì)算結(jié)果的合理性，可有效地預(yù)測平面裂紋的擴(kuò)展路徑。而隨著科學(xué)技術(shù)的不斷進(jìn)步，在原本有限元法的基礎(chǔ)上，二次開發(fā)的介入，更是未來發(fā)展的一大主流方向。

參考文獻(xiàn)

[1]張曉敏，等.斷裂力學(xué)[M].北京：清華大學(xué)出版社，2012.

[2]王自強(qiáng)，等.高等斷裂力學(xué)[M].北京：科學(xué)出版社，2009.

[3]周博，等.巖石斷裂力學(xué)的擴(kuò)展有限元法[J].中國石油大學(xué)學(xué)報(bào)，2016，40（4）：122-126.

[4]蘇靜波，等.幾何非線性擴(kuò)展有限元法及其斷裂力學(xué)應(yīng)用[J].工程力學(xué)，2013，30（4）：42-46，58.

[5]楊萬托，等.擴(kuò)展有限元法在線彈性斷裂力學(xué)中的應(yīng)用研究[J].山西建筑，2006，32（12）：36-37.

作者簡介

姓名：張露露（出生年份：1995-）;性別：男;民族：漢族;籍貫：陜西延安;職務(wù)/職稱：學(xué)生/工學(xué)碩士;單位：成都理工大學(xué);研究方向：巖土工程。