滑塌式危巖破壞斷裂力學(xué)分析

陳斯祺

摘 要：危巖是一種全球性高頻率的地質(zhì)災(zāi)害，其中滑塌式危巖破壞是危巖主要的破壞類型之一。該文針對(duì)滑塌式巖石破壞類型，通過(guò)考慮自重、裂隙水壓力和地震力3種組合荷載構(gòu)建滑塌式危巖力學(xué)模型，采用斷裂力學(xué)的方法推導(dǎo)其Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)最大周向應(yīng)力理論，使用三角形萬(wàn)能公式計(jì)算變形得出其理論斷裂角。

關(guān)鍵詞：斷裂力學(xué) Ⅰ-Ⅱ型復(fù)合應(yīng)力強(qiáng)度因子 斷裂角 滑塌式危巖

中圖分類號(hào)：TU45 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1674-098X（2017）01（c）-0009-0

巖石是由一種或多種礦物在地質(zhì)作用下天然產(chǎn)生的復(fù)雜結(jié)構(gòu)體。大多巖體工程中的巖石屬于壓剪狀態(tài)，其巖石裂縫的應(yīng)力場(chǎng)應(yīng)為壓剪應(yīng)力場(chǎng)?；轿r破壞的本質(zhì)是壓剪破壞，因此對(duì)于滑塌式危巖破壞的研究具有必要性和迫切性。眾多國(guó)內(nèi)外學(xué)者都致力于對(duì)巖石破壞的機(jī)理進(jìn)行了相應(yīng)的研究。Nara Y等[1]以處于亞臨界裂紋擴(kuò)展?fàn)顟B(tài)的花崗巖為研究對(duì)象，他發(fā)現(xiàn)裂隙水將加速花崗巖裂紋擴(kuò)展的速度并影響花崗巖的結(jié)構(gòu)強(qiáng)度。Zygouri V等[2]對(duì)Skolis山和Acrocorinthos的巖石進(jìn)行了研究，研究表明淺層地震會(huì)引起大范圍的巖石崩塌。Chen H K等[3]提出了處于激勵(lì)效應(yīng)下的不穩(wěn)定巖石的破壞準(zhǔn)則并建立了對(duì)其安全性的評(píng)估方法。Johari A等[4]采用聯(lián)合分布隨機(jī)變量的方法對(duì)處于臨界狀態(tài)的巖石的穩(wěn)定性進(jìn)行了可靠的評(píng)估。Li Y等[5]使用FLAC3D軟件模擬了節(jié)理裂隙水壓力作用下巖體的裂隙發(fā)育，結(jié)果表明裂隙水對(duì)節(jié)理巖體的強(qiáng)度和穩(wěn)定性有明顯的降低作用。Liang L等[6]在龍馬溪地區(qū)對(duì)頁(yè)巖進(jìn)行取樣，研究表明水性液體對(duì)頁(yè)巖形成的裂紋擴(kuò)展具有顯著的正向影響。迄今為止，學(xué)者多以試驗(yàn)和數(shù)值分析的方法對(duì)巖石裂縫進(jìn)行研究，對(duì)于巖石裂縫的理論分析略有欠缺。該文采用斷裂力學(xué)的方法對(duì)滑塌式危巖進(jìn)行理論推導(dǎo)，其結(jié)果對(duì)于防災(zāi)減災(zāi)和工程安全評(píng)估等方面具有一定的理論意義和經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

1 應(yīng)力分量的坐標(biāo)變換

如圖1所示，建立滑塌式危巖模型。其中為危巖體重心，為主控結(jié)構(gòu)面的孔隙水壓力，為單位長(zhǎng)度水平地震力，為單位長(zhǎng)度豎向地震力，為單位長(zhǎng)度的巖體重力。

在圖1中的裂紋尖端選取單元體，在巖石自身重力作用下形成壓剪應(yīng)力（如圖2）。

在單元體平行于軸的直線上，設(shè)其外法線與坐標(biāo)軸的夾角分別為、，則有：

，，，

將已知參數(shù)帶入邊界條件方程：

（1）

（2）

可得：

，

在單元體平行于軸直線上，同理可得：，。綜上可得：

（3）

建立新、舊坐標(biāo)系如圖3所示，舊坐標(biāo)系的應(yīng)力張量為，新坐標(biāo)系的應(yīng)力張量為。新坐標(biāo)系軸在舊坐標(biāo)系2個(gè)坐標(biāo)軸上的投影（即與2個(gè)坐標(biāo)軸的夾角余弦）分別為、；新坐標(biāo)系軸在舊坐標(biāo)系2個(gè)坐標(biāo)軸上的投影（即與2個(gè)坐標(biāo)軸的夾角余弦）分別為、。

推導(dǎo)已知：

（4）

（5）

（6）

將（3）（4）（5）代入（6），則有：

（7）

由上式應(yīng)力張量可知：

（8）

2 推導(dǎo)Ⅰ型應(yīng)力強(qiáng)度因子

設(shè)，，根據(jù)Westergaard提出的應(yīng)力函數(shù)[7]為：

（9）

因?yàn)椋?，所以?/p>

（10）

同理可得：

（11）

（12）

將Westergaard應(yīng)力函數(shù)偏微分，可得：

（13）

同理可得：

（14）

（15）

將（13）（14）（15）整理，可知：

（16）

如圖4所示，在無(wú)限體內(nèi)有一個(gè)長(zhǎng)為的中心貫穿裂紋，在其無(wú)窮遠(yuǎn)處受雙向均勻應(yīng)力作用。其邊界條件為：當(dāng)，a時(shí)，>；當(dāng)，。

由（16）式可知，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，。可將其應(yīng)力函數(shù)假設(shè)為：

由于其裂紋關(guān)于軸對(duì)稱，因此假設(shè)其應(yīng)力函數(shù)為：

由于上述應(yīng)力函數(shù)是在，的特殊情況下推導(dǎo)的。對(duì)于大多數(shù)情況下，因此可將上式中用代替，則有：

（17）

將原坐標(biāo)點(diǎn)移新坐標(biāo)點(diǎn)，設(shè)新坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)的復(fù)數(shù)坐標(biāo)為，則兩坐標(biāo)系的換算關(guān)系如下：

（18）

即：

（19）

將（19）式帶入（17）式：

（20）

當(dāng)時(shí)，令

（21）

由于當(dāng)→0時(shí)，為一常數(shù)。因此，可令常數(shù)為：

（22）

聯(lián)解（20）（21）（22），可得：

（23）

3 推導(dǎo)Ⅱ型應(yīng)力強(qiáng)度因子

設(shè)，，根據(jù)Westergaard提出的應(yīng)力函數(shù)[7]為

（24）

因?yàn)椋?，所以?/p>

（25）

同理可得：

（26）

（27）

將Westergaard應(yīng)力函數(shù)偏微分，可得：

（28）

同理可得：

（29）

（30）

將（28）（29）（30）整理，可知：

（31）

如圖5所示，在無(wú)限體內(nèi)有一個(gè)長(zhǎng)為的中心貫穿裂紋，在其無(wú)窮遠(yuǎn)處受雙向均勻剪應(yīng)力作用。其邊界條件為：當(dāng)，a時(shí)，>；當(dāng)，。

由（16）式可知，當(dāng)，時(shí)，；當(dāng)，時(shí)，可將其應(yīng)力函數(shù)假設(shè)為：

由于其裂紋關(guān)于軸對(duì)稱，因此假設(shè)其應(yīng)力函數(shù)假設(shè)為：

由于上述應(yīng)力函數(shù)是在，的特殊情況下推導(dǎo)的。對(duì)于大多數(shù)情況下，因此可將上式中的用代替，則有：

（32）

將原坐標(biāo)點(diǎn)移新坐標(biāo)點(diǎn)，設(shè)新坐標(biāo)系中任意一點(diǎn)的復(fù)數(shù)坐標(biāo)為，則兩坐標(biāo)系的換算關(guān)系如下：

（33）

即：

（34）

將（34）式帶入（32）式：

（35）

當(dāng)→0時(shí)，令

（36）

由于當(dāng)→0時(shí)，為一常數(shù)。因此，可令常數(shù)為：

（37）

聯(lián)解（35）（36）（37），可得：

（38）

4 推導(dǎo)不穩(wěn)定巖石的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合應(yīng)力強(qiáng)度因子和斷裂角

令Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋的裂尖應(yīng)力強(qiáng)度因子為：

（39）

聯(lián)解（23）（38）（39）可得如下關(guān)系：

（40）

由于水平地震力和豎向地震力不能同時(shí)考慮，因此可分別在其前面添加一個(gè)系數(shù)和，構(gòu)建如下函數(shù)：

（41）

設(shè)危巖其重心點(diǎn)的坐標(biāo)為，為主控結(jié)構(gòu)面的孔隙水壓力的最大值，為軸方向的分量總和，為軸方向的分量總和，則有：

（42）

（43）

設(shè)為常數(shù)，根據(jù)Ⅰ型裂紋的Westergaard應(yīng)力函數(shù)，可得：

（44）

設(shè)為常數(shù)，根據(jù)Ⅱ型裂紋的Westergaard應(yīng)力函數(shù)，可得：

（45）

聯(lián)解（8）（28）（32）（33）可得：

（46）

根據(jù)最大周向應(yīng)力理論（準(zhǔn)則）[8]，可以求其解斷裂角。

（47）

令，帶入（47），則有：

（48）

根據(jù)一元二次方程可解得：

當(dāng)時(shí)，其斷裂角大于180°，裂紋將向反方向擴(kuò)展，顯然與實(shí)際情況不符，應(yīng)當(dāng)舍去。

因此，可得理論斷裂角θ0為：

（49）

5 算例分析

重慶市萬(wàn)州危巖w15屬滑塌式危巖，其高度為9.5 m，長(zhǎng)度為4 m，厚度為20.5 m，裂縫長(zhǎng)度為18.5 m，將其荷載擬定為重慶市地方規(guī)范手冊(cè)中的工況三（自重+裂隙水壓力+地震力）。通過(guò)該文推導(dǎo)的Ⅰ-Ⅱ復(fù)合型裂紋的應(yīng)力強(qiáng)度因子公式可得其KⅠ應(yīng)力強(qiáng)度因子為976.254，應(yīng)力強(qiáng)度因子為814.264。與《應(yīng)力強(qiáng)度因子手冊(cè)》的計(jì)算結(jié)果進(jìn)行對(duì)比，發(fā)現(xiàn)其相對(duì)誤差為2.68%。

6 結(jié)語(yǔ)

該文通過(guò)考慮重力、裂隙水壓力和地震力的影響，建立了巖石工程中常見的滑塌式危巖力學(xué)模型。此外，通過(guò)斷裂力學(xué)得到了Ⅰ-Ⅱ復(fù)合應(yīng)力強(qiáng)度因子。根據(jù)最大周向應(yīng)力理論，通過(guò)三角形萬(wàn)能公式計(jì)算得出了理論斷裂角。對(duì)防災(zāi)減災(zāi)和工程安全評(píng)價(jià)具有一定的理論指導(dǎo)意義和經(jīng)濟(jì)價(jià)值。

參考文獻(xiàn)

[1] Nara Y，Oe Y，Murata S，et al.Estimation of Long-Term Strength of Rock Based on Subcritical Crack Growth[M].Springer International Publishing，2015：2157-2160.

[2] Zygouri V，Koukouvelas I K.Evolution of rock falls in the Northern part of the Peloponnese， Greece[C]//IOP Conference Series：Earth and Environmental Science.2015.

[3] Chen H K，Zhou Y T，Wang Z.Study on Damage Characteristics of Unstable Rocks under Excitation Effect[J].Applied Mechanics and Materials，2013（459）：575-581.

[4] Johari A，Momeni M，Javadi A A.An Analytical Solution For Reliability Assessment Of Pseudostatic Stability Of Rock Slopes Using Jointly Distributed Random Variables Method[J].Iranian Journal of Science and Technology Transactions of Civil Engineering， 2015（39）：351-363.

[5] Li Y，Zhou H，Zhu W，et al.Numerical Study on Crack Propagation in Brittle Jointed Rock Mass Influenced by Fracture Water Pressure[J]. Materials，2015，8（6）：3364-3376.

[6] Liang L，Xiong J，Liu X.Experimental study on crack propagation in shale formations considering hydration and wettability[J]. Journal of Natural Gas Science and Engineering，2015（23）：492-499.

[7] Westergaard H M W.Bearing Pressures and Cracks[J].J of Applied Mechunies，1939（6）：A49-A53.

[8] Erdogan F，Sih G C.On the crack extension in plates under plane loading and transverse shear[J].Journal of basic engineering，1963， 85（4）：519-525.