載荷變化時準雙曲面齒輪副嚙合參數(shù)演變分析

王笑樂，盧劍偉，楊士欽，谷先廣

(1.安徽農(nóng)業(yè)大學 工學院，合肥 230036；2.合肥工業(yè)大學 汽車與交通工程學院，合肥 230009；3.江淮汽車有限公司技術中心，合肥 230601)

掌握準雙曲面齒輪副承載工況下的時變嚙合參數(shù)是構建動力學模型時準確描述內(nèi)部激勵的重要前提[1-2]，也是評價其動態(tài)嚙合特性的主要依據(jù)[3-5]。準雙曲面齒輪相比圓柱齒輪具有更為復雜的齒面形貌和幾何特征，難以采用如石川公式[6]、Weber能量法[7]等解析方法[8]計算輪齒應力應變，利用光彈性法[9]等試驗測量目前也存在較大困難，有限元法是現(xiàn)階段測算其承載嚙合參數(shù)的主要技術手段。

國外有學者基于有限元法提出了螺旋錐齒輪嚙合剛度的計算方法[10]，得到了沿齒高和齒長方向的位移曲線，未獲得嚙合剛度曲線。有學者將曲面積分與有限元法相結(jié)合對準雙曲面齒輪進行加載接觸分析[11]，得到其時變嚙合參數(shù)，但是該方法中齒面接觸區(qū)系人工設定，計算精度受接觸區(qū)大小的影響。國內(nèi)有學者基于有限元法計算了螺旋錐齒輪副單齒嚙合剛度[12]，并線性疊加而得到多齒嚙合剛度。由于螺旋錐齒輪齒面法向力方向具有時變特征，根據(jù)單齒剛度疊加計算多齒嚙合剛度的準確度還需進一步驗證。有學者基于有限元法結(jié)合中心差分法計算了準雙曲面齒輪副等效嚙合點位置、切線嚙合剛度、等效嚙合力[13]，不同工況下的傳動誤差及嚙合剛度完整曲線未能給出。有學者計算準雙曲面齒輪副無載、承載工況下的角傳動誤差來計算嚙合剛度[14]，由于輪齒變形方向與齒輪旋轉(zhuǎn)方向存在一定夾角，根據(jù)角傳動誤差計算嚙合點變形量時存在一定近似。

現(xiàn)有研究中對輪齒嚙合變形的計算通常采取線性疊加、部分提取或近似等效的方法，可能引起一定的誤差。為此，本文基于準雙曲面齒輪副LTCA分析結(jié)果，提取接觸節(jié)點三維坐標、旋轉(zhuǎn)半徑及輪齒轉(zhuǎn)角等參數(shù)，計算無載工況下接觸節(jié)點由齒輪旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移和承載工況下由輪齒旋轉(zhuǎn)、接觸、剪切、彎曲綜合產(chǎn)生的實際位移，獲得輪齒真實變形，并結(jié)合等效嚙合力求得齒輪副時變嚙合剛度。進一步考察載荷大小對嚙合參數(shù)的影響，得到齒面嚙合印痕、承載傳動誤差、實際重合度、等效嚙合力、綜合彈性變形、時變嚙合剛度等參數(shù)隨載荷變化的演變規(guī)律。

1 時變嚙合參數(shù)的數(shù)學描述

1.1 等效嚙合力

圖1 等效嚙合力及嚙合力作用點Fig.1 Equivalent meshing force and its action points

(1)

(2)

(3)

1.2 等效嚙合點

(4)

1.3 傳動誤差函數(shù)

準雙曲面齒輪副嚙合時為局部共軛點接觸，傳動比隨齒輪轉(zhuǎn)角不斷變化，齒輪副存在傳動誤差，通常定義為小輪勻速回轉(zhuǎn)時，大輪的實際轉(zhuǎn)角與理論轉(zhuǎn)角的差值，表達式為

(5)

1.4 輪齒綜合彈性變形

本文的研究對象為準雙曲面齒輪副，在計算時將軸、軸承等結(jié)構視為剛體，忽略其變形對接觸點位置的影響。輪齒的綜合彈性變形可表示為

(6)

式中，uh，ub，us分別為齒面接觸變形、輪齒彎曲和齒廓剪切變形，目前尚無解析公式計算上述三種變形。將式(6)變形為

(7)

輪齒綜合彈性變形可通過分別計算大、小輪齒面接觸點處三種形變共同產(chǎn)生的綜合變形而得到。輪齒動態(tài)嚙合時的真實位移由綜合彈性變形和旋轉(zhuǎn)位移疊加形成，如圖2所示。圖中大、小輪齒廓為嚙合過程中t時刻，分別過大、小輪齒面上瞬時接觸節(jié)點(圖中大輪為點g，小輪為點p)的垂直于大、小輪各自旋轉(zhuǎn)軸線的軸截面圖，實際的大、小輪軸截面應相互交叉并垂直，此處采用軸截面圖形式表示。

圖2 齒面接觸點處實際位移與理論位移Fig.2 Actual and theoretical displacements of the contacting points on tooth surfaces

圖中點g0,p0表示在起始時刻對應于點g,p的點；點g′,p′表示假設大、小輪未嚙合，由點g0,p0自由旋轉(zhuǎn)至t時刻的點。|g0g′|,|p0p′|為點g0,p0自起始時刻至t時刻經(jīng)自由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移。|g0g|,|p0p|為點g0,p0自起始時刻至t時刻經(jīng)旋轉(zhuǎn)和大、小輪接觸變形而產(chǎn)生的實際位移。|g0g|-|g0g′|,|p0p|-|p0p′|為大、小輪實際位移與各自自由旋轉(zhuǎn)產(chǎn)生的理論位移之差，即t時刻點g,p處的變形。|g0g|,|p0p|由點g0,p0處的自由旋轉(zhuǎn)半徑和從起始時刻至t時刻的旋轉(zhuǎn)角度基于弦長公式計算；|g0g|,|p0p|由點g0,p0,g,p的三維坐標基于空間距離公式計算。

(8)

(9)

(10)

t時刻大輪綜合彈性變形量可以表示為

(11)

小輪t時刻輪齒綜合彈性變形的計算方法與大輪類似，則t時刻齒輪副的綜合彈性變形為

un(t)=

(12)

h=1,2,…,l，l為t時刻小輪齒面接觸節(jié)點總數(shù)，h為小輪齒面第h個節(jié)點，p為小輪。

1.5 時變嚙合剛度

根據(jù)定義，t時刻齒輪副嚙合剛度為

(13)

2 LTCA分析

2.1 齒輪副設計及加工參數(shù)

以一對刀傾半展成法加工的車用后橋主減速器準雙曲面齒輪副為例，幾何參數(shù)如表1所示，加工參數(shù)如表2，表3所示。大、小輪軸線分別與嚙合坐標系z軸、x軸方向平行。

表1 準雙曲面齒輪副幾何參數(shù)Tab.1 Geometric parameters of the hypoid gear pair

表2 大輪機床加工參數(shù)Tab.2 Machining parameters of the gear

表3 小輪機床加工參數(shù)Tab.3 Machining parameters of the pinion

2.2 有限元模型構建

基于準雙曲面齒輪副嚙合及加工原理計算得到大、小輪齒面點云坐標，建立齒輪副三維模型。完成模型裝配及單元設置，生成有限元模型節(jié)點和單元數(shù)據(jù)，綜合考慮計算精度及效率的要求，選取小輪全齒、大輪18齒(總齒數(shù)41)模型進行分析。齒面接觸力在接觸區(qū)附近高度集中，強度隨離接觸區(qū)的距離增大而急劇減小，采用子結(jié)構法將齒面及齒根網(wǎng)格加密，其余部分稀疏化，如圖3所示。

圖3 準雙曲面齒輪副有限元模型Fig.3 Finite element model of the hypoid gear drive

2.3 前、后處理設置

LTCA計算前處理包括分析類型設置、材料參數(shù)設置、單元屬性定義、邊界條件、載荷施加及輸出變量等，部分參數(shù)設置見表4。

表4 部分前處理參數(shù)設置Tab.4 Preferences of the pretreatment

在大、小輪中心建立參考點，并與齒輪內(nèi)孔節(jié)點剛性耦合，載荷及邊界條件均施加在中心參考點處。為保證LTCA分析收斂，將整個嚙合過程分3個載荷步進行設置：

(1)初始位置調(diào)整：旋轉(zhuǎn)調(diào)整大、小輪的相對位置，使待接觸齒面存在適量齒側(cè)間隙；

(2)載荷步1：約束大輪中心參考點六向自由度，在小輪中心參考點以斜坡線性加載方式施加微小軸向轉(zhuǎn)角，使齒面接觸，消除齒側(cè)間隙；

(3)載荷步2：約束小輪中心參考點六向自由度，釋放大輪中心參考點的軸向轉(zhuǎn)動自由度并以斜坡線性加載方式施加微小轉(zhuǎn)矩，使齒輪達到理想的初始嚙合狀態(tài)。載荷步1、2使計算過程不存在剛體位移，保證初始接觸迭代計算收斂；

(4)載荷步3：釋放大、小輪各自軸向旋轉(zhuǎn)自由度，約束其他自由度。在小輪中心參考點施加恒定軸向轉(zhuǎn)速以驅(qū)動齒輪副，在大輪中心參考點施加恒定軸向負載扭矩，完成嚙合過程。

3 LTCA算例分析

完成大輪4 000 N·m負載扭矩，小輪200 r/min驅(qū)動轉(zhuǎn)速工況LTCA分析，計算各項嚙合參數(shù)。

3.1 嚙合印痕對比

通過與承載接觸試驗獲得的齒面印痕進行對比，對LTCA計算結(jié)果進行驗證。大輪齒面瞬時接觸區(qū)的仿真結(jié)果與承載試驗得到的印痕對比如圖4所示，左側(cè)子圖從上至下為嚙合過程中單齒面上瞬時接觸區(qū)的移動過程，組成了右側(cè)圖中單個齒面上的完整印痕，可以看出LTCA與承載試驗得到的齒面接觸區(qū)均由大端齒頂移向小端齒根，吻合度較高，驗證了LTCA分析的正確性。

圖4 LTCA與承載嚙合試驗得到的齒面印痕對比Fig.4 Comparison of the contact patterns obtained by LTCA and loaded rolling test

3.2 等效嚙合點

嚙合過程中等效嚙合點的位置如圖5所示。準雙曲面齒輪副嚙合存在周期性，理想的等效嚙合點軌跡為一閉環(huán)曲線。由于建模及仿真計算存在相對誤差，本文得到的等效嚙合點位于一個小的空間平面范圍內(nèi)。

圖5 4 000 N·m工況下等效嚙合點位置Fig.5 Position of equivalent meshing points under 4 000 N·m

3.3 時變嚙合參數(shù)

準雙曲面齒輪副瞬時等效嚙合力由接觸齒面的法向接觸力進行矢量相加而得到，求得該工況下等效嚙合力如圖6(a)所示。提取LTCA結(jié)果中大、小輪角位移，獲得算齒輪副承載傳動誤差，如圖6(b)所示。計算大、小輪接觸節(jié)點理論位移與實際位移，得到齒輪副綜合彈性變形，如圖6(c)所示。根據(jù)得到的等效嚙合力及綜合彈性變形求得齒輪副時變嚙合剛度，如圖6(d)所示。

圖6 4 000 N·m工況下的時變嚙合參數(shù)Fig.6 Time-varying meshing parameters under 4 000 N·m

可以看出，齒輪副承載工況下的等效嚙合力、承載傳動誤差、綜合彈性變形、時變嚙合剛度等參數(shù)均呈周期性變化，且無明顯突變。小輪齒間間隔為36°，各項嚙合參數(shù)波動頻率與齒輪副嚙合頻率一致。

4 嚙合參數(shù)演變分析

對齒輪副進行100～6 000 N·m不同載荷工況下的LTCA分析，計算各項時變嚙合參數(shù)，分析其隨載荷工況變化的演變規(guī)律。

4.1 齒面接觸區(qū)

不同載荷下的單齒齒面接觸區(qū)如圖7所示。

圖7 不同載荷下的齒面接觸區(qū)Fig.7 Contact patterns on tooth surface under different loads

可以看出，齒面接觸區(qū)隨載荷增加逐漸由齒面中部擴展至全齒面，起始嚙合位置逐漸移向大端，準雙曲面齒輪大端處齒廓較厚，時變嚙合剛度因此發(fā)生改變。

4.2 等效嚙合力

不同載荷工況下的等效嚙合力如圖8所示，可以看出，隨著載荷增大，等效嚙合力的變化比例與負載扭矩的變化基本保持一致。不同載荷下，準雙曲面齒輪副等效嚙合力均呈周期性波動，且波動頻率與齒輪副嚙合頻率一致。

圖8 不同載荷下的齒輪副等效嚙合力Fig.8 Equivalent meshing force under different loads

4.3 承載傳動誤差

圖9(a)為齒輪副不同載荷下的承載傳動誤差?？梢钥闯?，載荷較低時，隨著負載扭矩的增加，齒輪副重合度增大，齒面接觸區(qū)逐漸移至齒輪副設計時預設的理想接觸區(qū)(算例齒輪副接觸區(qū)由低載荷下的偏向大端逐漸移動至齒面中部，見圖7)，到達理想接觸區(qū)后傳動誤差的波動幅值最小。隨著載荷繼續(xù)增大，齒面接觸區(qū)逐漸由齒面中部向大端和小端擴展(見圖7)，根據(jù)準雙曲面齒輪副的設計及加工原理，越靠近齒廓邊緣，實際齒面相對于理論齒面的誤差越大，大、小輪嚙合時的誤差因此上升，故齒輪副傳動誤差的波動幅值轉(zhuǎn)而增大，總體呈現(xiàn)出“先減小后增大”的演變趨勢。

圖9 不同載荷下的嚙合參數(shù)Fig.9 Meshing parameters under different loads

4.4 齒面接觸力及實際重合度

圖9(b)為不同載荷下單齒對齒面接觸力，圖中曲線從左至右依次為第4、第5、第6對齒的齒面接觸力，從下至上依次為100，300，500，700和1 000～6 000 N·m工況下計算結(jié)果。準雙曲面齒輪副單齒接觸力隨載荷增加而所上升。圖9(c)為不同載荷下的準雙曲面齒輪副實際重合度大小，載荷較低時，實際重合度隨載荷增加的升高幅度較為明顯，隨載荷增大實際重合度的變化趨于平緩。

4.5 綜合彈性變形及時變嚙合剛度

不同載荷下的綜合彈性變形如圖10(a)所示，可以看出，準雙曲面齒輪副綜合彈性變形量及其波動幅值隨載荷增加均逐漸增大。

根據(jù)獲得的不同載荷下的時變等效嚙合力和綜合彈性變形計算算例齒輪副不同載荷下的承載嚙合剛度，如圖10(b)所示。

圖10 不同載荷下綜合彈性變形及時變嚙合剛度Fig.10 Comprehensive elastic deformation and time-varying meshing stiffness under different loads

可以看出，承載工況下時變嚙合剛度曲線呈周期性波動，波動頻率與齒輪副嚙合頻率一致。不同載荷下周期變化的剛度曲線的形狀差別顯著，低載荷時單周期內(nèi)的曲線峰值靠近末端，隨載荷增加峰值逐漸前移，以峰值為中點左右非對稱。原因是載荷增加使齒面接觸區(qū)逐漸移向大端，嚙合點處齒厚增大，齒廓不易發(fā)生彎曲、剪切變形。載荷越大越早出現(xiàn)大端接觸，即越早出現(xiàn)剛度峰值，本文計算結(jié)果與工程實際相符。

5 結(jié) 論

針對以往研究中近似、等效計算準雙曲面齒輪副嚙合變形量的不足，本文對準雙曲面齒輪副進行了不同載荷下的承載接觸分析，并提取、計算了輪齒真實變形量及承載傳動誤差、時變嚙合剛度、實際重合度等參數(shù)，得出以下結(jié)論：

(1)準雙曲面齒輪副不同載荷下的等效嚙合力、承載傳動誤差、綜合彈性變形及時變嚙合剛度等參數(shù)均呈周期性波動，無顯著突變，波動頻率與齒輪副嚙合頻率一致。齒面嚙合印痕隨載荷增加逐漸由齒面中部擴展至全齒面，起始嚙合位置隨載荷增加逐漸移向大端。

(2)準雙曲面齒輪副實際重合度隨載荷增加呈非線性趨勢上升。低載荷時，實際重合度隨載荷增大迅速增加，載荷達到一定大小后，重合度的變化趨于平緩。低載荷下，同時嚙合的齒對數(shù)受載荷變化影響顯著，齒間載荷分配及輪齒動載荷變化在動力學分析中應得到重視。

(3)準雙曲面齒輪副嚙合變形及其波動幅值隨載荷增加逐漸增大。隨載荷上升，嚙合剛度曲線單周期內(nèi)峰值逐漸前移，以峰值為中點左右非對稱。傳動誤差波動幅值隨載荷增加呈先增大后減小的演變趨勢，存在傳動誤差波動幅值較小的載荷區(qū)間。載荷變化時嚙合剛度及傳動誤差均具有較強非線性，在準雙曲面齒輪系統(tǒng)動力學分析時準確描述嚙合剛度和傳動誤差是很有必要的。