基于共軛正態(tài)分布的抽樣檢驗(yàn)方案*

魏鵬輝, 秦桂香, 梁小林

(長沙理工大學(xué) 數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院, 湖南 長沙 410114)

0 引言

抽樣檢驗(yàn)是可靠性理論中的一種假設(shè)檢驗(yàn)方法,它是基于產(chǎn)品的生產(chǎn)與使用雙方通過協(xié)商后的要求,用統(tǒng)計(jì)方法制定對(duì)一批該產(chǎn)品進(jìn)行抽樣與檢驗(yàn)的方案,然后根據(jù)結(jié)果對(duì)這批產(chǎn)品進(jìn)行接收或拒收.現(xiàn)在,大多數(shù)用戶對(duì)產(chǎn)品的性能和可靠性要求越高越好,而要獲得產(chǎn)品的性能指標(biāo)和可靠性指標(biāo)就需要對(duì)產(chǎn)品進(jìn)行有效的樣本檢驗(yàn)[1].樣本檢驗(yàn)最直接方法是對(duì)所有產(chǎn)品進(jìn)行檢驗(yàn),即全樣本檢驗(yàn),但是對(duì)于很多產(chǎn)品來說，進(jìn)行全樣本檢驗(yàn)是不現(xiàn)實(shí)的,因此通過部分抽樣產(chǎn)品的樣本性能指標(biāo)去評(píng)價(jià)全部產(chǎn)品性能指標(biāo),就成了統(tǒng)計(jì)學(xué)中抽樣檢驗(yàn)理論的基本支撐.在許多種產(chǎn)品抽樣檢驗(yàn)中總是希望抽樣量盡可能地少,例如破壞性檢驗(yàn).而經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法制定的抽樣檢驗(yàn)方案的抽樣量一般較大,因此我們需要運(yùn)用新統(tǒng)計(jì)理論來制定更科學(xué)合理的抽樣檢驗(yàn)方案.由于Bayes方法能充分利用產(chǎn)品的各類驗(yàn)前信息、樣本信息和總體信息,完成對(duì)產(chǎn)品的性能指標(biāo)和可靠性指標(biāo)的評(píng)估分析,所以應(yīng)用Bayes方法來制定產(chǎn)品性能或可靠性的抽樣檢驗(yàn)方案不僅能優(yōu)化計(jì)算步驟,而且能減少檢驗(yàn)的抽樣量.

關(guān)于產(chǎn)品性能指標(biāo)服從正態(tài)分布的抽樣檢驗(yàn)方案的相關(guān)研究成果較少.張碩云等[2]對(duì)參數(shù)服從正態(tài)分布的裝備在簡單假設(shè)下,利用Bayes方法基于兩類風(fēng)險(xiǎn)確定樣本量.De Koker等[3]在巖土設(shè)計(jì)的材料參數(shù)確定中,利用預(yù)測可靠性指標(biāo),建立了明確考慮樣本量的決策分析框架.該理論描述了最優(yōu)樣本容量、條件可靠性指標(biāo)(通常作為目標(biāo)值)與失效時(shí)的預(yù)期損傷之間的關(guān)系.馮文哲等[4]在復(fù)雜假設(shè)的情況下,基于0-1損失函數(shù)和兩類風(fēng)險(xiǎn)為約束條件建立非線性約束規(guī)劃模型.在考慮產(chǎn)品的指標(biāo)有雙側(cè)規(guī)范限時(shí),在上側(cè)限和下側(cè)限之間時(shí)產(chǎn)品是合格的,否則是不合格的.Wu等[5]開發(fā)了一種情境樣本大小調(diào)整程序,稱為緊-正-緊(TNT)抽樣策略,產(chǎn)品性能的測量來自于具有雙邊規(guī)格限制的關(guān)鍵質(zhì)量特征，遵循正態(tài)分布.參數(shù)由兩個(gè)非線性不等式的聯(lián)合解確定,這兩個(gè)不等式滿足可容忍的供應(yīng)商風(fēng)險(xiǎn)、買方風(fēng)險(xiǎn)、期望的可接受質(zhì)量水平(AQL)和極限質(zhì)量水平(LQL).吳啟光等[6]在綜合雙側(cè)規(guī)格限下方差未知時(shí),將服從正態(tài)分布的產(chǎn)品利用經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法,通過生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量和使用方風(fēng)險(xiǎn)質(zhì)量確定可靠性抽樣檢驗(yàn)方案.王燕飛[7]討論了在正態(tài)分布指標(biāo)的雙側(cè)規(guī)格限情形下,當(dāng)總體方差已知,總體指標(biāo)的均值為正時(shí),依據(jù)Bayes方法,利用最大熵先驗(yàn)分布,求出后驗(yàn)分布.利用生產(chǎn)方和使用方的兩類風(fēng)險(xiǎn)約束條件,確定最小抽檢樣本量,從而制定更加合理有效的抽樣檢驗(yàn)方案.

最大熵先驗(yàn)常常有部分先驗(yàn)信息可以利用,除此以外，部分要求盡可能采用無信息先驗(yàn)[8].這是在只有少量先驗(yàn)信息可以利用的情況下常被采用的方法.而現(xiàn)在我們卻可以利用其他手段得到足夠的先驗(yàn)信息,所以本文的主要工作是利用共軛先驗(yàn)法[9]得到產(chǎn)品指標(biāo)值的后驗(yàn)分布,再利用生產(chǎn)方和使用方的兩類風(fēng)險(xiǎn)約束條件,確定最大抽檢樣本量.通過算例說明經(jīng)過了解的先驗(yàn)分布信息,只需要最多抽取少量的樣本就可以得到能代表整體產(chǎn)品的指標(biāo)信息,相較于最大熵先驗(yàn)的方法本方法確定的樣本量較小，進(jìn)而說明本方法是可行的,比經(jīng)典統(tǒng)計(jì)方法更加有效和節(jié)約.

1 采用共軛分布法確定的抽樣檢驗(yàn)方案

設(shè)產(chǎn)品性能指標(biāo)X～N(μ,σ2),其中σ2已知,指標(biāo)均值μ>0未知.所抽取的樣本為X1,X2,X3,…,Xn,觀察值為x1,x2,x3,…,xn.根據(jù)生產(chǎn)方和使用方經(jīng)過協(xié)商后設(shè)置指標(biāo)綜合雙側(cè)規(guī)格限，即規(guī)格下限L和規(guī)格上限U,如果產(chǎn)品的指標(biāo)均值能夠滿足L≤μ≤U時(shí)我們認(rèn)為是合格的,否則是不合格的.建立如下建設(shè)：

H0:L≤μ≤U

H1:μ>U或μ

定義1[10]設(shè)θ是總體分布p(x|θ)中的參數(shù),π(θ)是θ的先驗(yàn)分布,如果對(duì)于任意來自p(x|θ)的樣本觀察值x1,x2,x3,…,xn得到的后驗(yàn)分布π(θ|x)與π(θ)屬于同一分布族,則稱其是θ的共軛先驗(yàn)分布.

證明事實(shí)上,假設(shè)x1,x2,x3,…,xn是來自正態(tài)分布N(μ,σ2)的樣本觀察值,則樣本的似然函數(shù)為

根據(jù)貝葉斯定理,則μ的后驗(yàn)分布函數(shù)為

(1)

因此μ的后驗(yàn)分布為π(μ|t)=N(a,d2).

在確定抽檢方案時(shí),經(jīng)常會(huì)遇到兩種情況，即兩種風(fēng)險(xiǎn)：生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)和使用方風(fēng)險(xiǎn).對(duì)于生產(chǎn)方而言：在抽檢中把合格的產(chǎn)品判別為不合格產(chǎn)品從而被拒絕(棄真)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)稱為生產(chǎn)方風(fēng)險(xiǎn)，用α表示.對(duì)于使用方而言：在抽檢中把不合格的產(chǎn)品判別為合格的產(chǎn)品從而被接收(取偽)時(shí)的風(fēng)險(xiǎn)稱為使用方風(fēng)險(xiǎn)，用β表示.

(2)

方程組(2)是一個(gè)抽樣檢驗(yàn)設(shè)計(jì)的模型,我們對(duì)其求解從而可以確定最大抽檢樣本量.

2 模型求解

求解方程組首先要確定拒絕域W,根據(jù)Bayes假設(shè)檢驗(yàn)理論,當(dāng)后驗(yàn)概率

P(μ∈Θ1|T=t)≥P(μ∈Θ0|T=t)

(3)

時(shí)拒絕原假設(shè)H0,其中Θ0是μ取雙側(cè)規(guī)格限之間，即μ∈[L,U],Θ1是μ取雙側(cè)規(guī)格限之外，即μ∈(-∞,L)∪(U,+∞).當(dāng)t滿足

(4)

時(shí)拒絕原假設(shè)H0,此時(shí)確定的t的范圍就是拒絕域W.

利用Matlab編程來求得拒絕域W,具體的編程步驟為：

1) 首先建立函數(shù)

2) 建立兩個(gè)程序

程序1：

程序2：

3) 運(yùn)行兩個(gè)程序可以分別得到臨界點(diǎn)C1,C2.

我們可以得到T的拒絕域W=(0,C1)∪(C2,+∞),然后代入到方程組(2),得到最大檢驗(yàn)樣本量n.

3 算例求解

在這里為了便于做出比較取相同的例子.

得出最大檢驗(yàn)樣本量為18.

表1 不同方法的比較結(jié)果

4 結(jié)論

本文在王燕飛的成果基礎(chǔ)上通過把只有少量信息的先驗(yàn)分布的最大熵先驗(yàn)改為當(dāng)掌握比較多信息的先驗(yàn)分布的共軛先驗(yàn)分布，即正態(tài)分布,在其他已知條件不變的情況下,根據(jù)Bayes理論確定可靠性抽樣檢驗(yàn)方案.并通過Matlab軟件編程搜索拒絕域的臨界值,并由生產(chǎn)方和使用方的最大承擔(dān)風(fēng)險(xiǎn)確定最大抽樣樣本量,所得到的結(jié)果與之相比較少,但是這是在多出一個(gè)參數(shù)的情況下所得出的優(yōu)勢(shì),也就意味著在計(jì)算的時(shí)候過程會(huì)比較復(fù)雜.通過上面的算例可以得到經(jīng)過了解的先驗(yàn)分布信息即服從正態(tài)分布,只需要最多抽取18個(gè)樣本就可以得到比較能代表整體產(chǎn)品的信息.這種確定可靠性鑒定試驗(yàn)方案的方法是可行的，其最終得到的最小抽樣檢驗(yàn)量也小,更加節(jié)約經(jīng)濟(jì),效果很好.