關(guān)注平面區(qū)域的其他解題功能

浙江省杭州市富陽(yáng)區(qū)江南中學(xué) (311421) 余 濤

在一些題目中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)關(guān)于兩個(gè)變量的不等式(組)，或者在推理化簡(jiǎn)過(guò)程中出現(xiàn)此類情形，那么此類問(wèn)題解決的一個(gè)重要思路就是找出不等式(組)所對(duì)應(yīng)的幾何意義，即用平面區(qū)域分辨出變量在平面中的變化范圍，從而抓住解題的契機(jī)，本文通過(guò)對(duì)幾個(gè)典型問(wèn)題的分析與探究，揭示平面區(qū)域的其他解題功能，供讀者朋友參考．

1、求幾何概率

在一些求概率問(wèn)題中，常涉及兩個(gè)變量在一定的約束條件下變化，必須用平面區(qū)域?qū)?wèn)題幾何化，利用平面幾何知識(shí)幫助解題．

例1 已知關(guān)于x的一元二次方程x2+2ax+b2=0，若a是區(qū)間[0，3]內(nèi)任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，b是區(qū)間[0，2]內(nèi)任取的一個(gè)實(shí)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率．

圖1

評(píng)注：通過(guò)分析題目可知，本題是關(guān)于兩個(gè)實(shí)數(shù)對(duì)的問(wèn)題，而且這兩個(gè)實(shí)數(shù)還有其他的約束條件，這就需要我們通過(guò)畫出對(duì)應(yīng)的構(gòu)成區(qū)域，研究滿足題意的各自的面積，然后由面積比解決問(wèn)題．

2、求三角形中的范圍

在一些關(guān)于三角形的問(wèn)題中，因?yàn)槿切蔚娜呏g存在約束條件，而有的題目本身也給出一些構(gòu)成條件，這樣通過(guò)轉(zhuǎn)化就形成一些約束范圍，利用這個(gè)范圍就是解題中的重要步驟．

評(píng)注：本題雖然是一個(gè)解三角形的問(wèn)題，但在解決后面的取值范圍問(wèn)題時(shí)必須由線性區(qū)域來(lái)幫助完成，體現(xiàn)了此知識(shí)點(diǎn)應(yīng)用廣泛性，同樣，在很多范圍問(wèn)題中都隱藏著這一情況．

3、解決函數(shù)中的參數(shù)范圍

在求函數(shù)的最大值或最小值問(wèn)題中，如果已經(jīng)給出了一些不等條件，在使用這些條件組時(shí)，應(yīng)該考慮到用平面區(qū)域協(xié)助求出公共的范圍，這樣才能準(zhǔn)確的確定相關(guān)參數(shù)的取值范圍．

例3f(x)是定義在R上的增函數(shù)，且對(duì)任意的x都有f(1-x)+f(1+x)=0恒成立，如果實(shí)數(shù)m、n滿足不等式f(m2-6m+23)+f(n2-8n)<0(m>3)，求m2+n2的取值范圍．

圖2

評(píng)注：本題主要考查內(nèi)容是函數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，當(dāng)問(wèn)題經(jīng)過(guò)化簡(jiǎn)和推演后變成了一個(gè)含有兩個(gè)變量的不等式，如何繼續(xù)？就得需要畫平面區(qū)域幫助解決．

4、確定大小關(guān)系

對(duì)于含有兩個(gè)變量的不等式組中，不只是線性區(qū)域的內(nèi)容，也有許多是非線性區(qū)域的，如關(guān)于圓錐曲線的，同樣的方法，我們也是通過(guò)畫出相關(guān)的平面區(qū)域協(xié)助解題．

圖3

評(píng)注：用平面區(qū)域?qū)⒔o出的不等關(guān)系的幾何意義表示出來(lái)后，所需比較兩個(gè)實(shí)數(shù)的大小問(wèn)題就是一個(gè)特殊情況下的結(jié)果，所以對(duì)獲得的平面區(qū)域分析研判就是解題核心所在．

5、解決多元最值

一個(gè)表達(dá)式如果能取到最大值或最小值，都是在特定情形或特殊位置上取得的，如果給出條件是不等關(guān)系，那么這個(gè)特殊情況就是某個(gè)極限位置，用畫平面區(qū)域的方法可以比較直觀地找到極限位置．

圖4

評(píng)注：首先將待求的絕對(duì)值變形轉(zhuǎn)化為求動(dòng)點(diǎn)到定直線的距離的最小值問(wèn)題；而將給出的二元三次不等式分解成熟悉的二次不等式與一次不等式組，利用平面區(qū)域表示出它的幾何意義，通過(guò)分析研判得到解題方案是成功解題的關(guān)鍵．