卷積等價分布族的封閉性

高 宇，楊月麗，彭 千

（1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，安徽 合肥 230601；2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院，安徽 合肥 230036）

1 引言

卷積等價分布族是應(yīng)用概率論中一類重要的分布族，同時該分布族由于其良好的性質(zhì)現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于排隊論[1]和風(fēng)險理論[2]等領(lǐng)域。對于卷積等價分布族的研究可見文獻[3-13],近期應(yīng)用可見文獻[14-15]。然而，在卷積等價分布族的諸多研究中，最基本問題還是其在卷積運算下是否具有封閉性。Kluppelberg 和Villasenor 較早得到該分布族不滿足封閉性，并且給出了相應(yīng)的反例[16]。因此，尋找在何時條件下卷積等價分布族關(guān)于卷積運算具有封閉性一直是應(yīng)用概率統(tǒng)計學(xué)者關(guān)心的問題，但由于數(shù)學(xué)方法上的局限性，關(guān)于該問題的研究進展緩慢。直到2020 年，Leipus 才首次給出了卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件[17]。這顯然是一個非常重要的理論研究成果，在卷積等價分布族的理論研究中占有非常重要的地位。

然而，Leipus 等人給出的充要條件并不全面[17]，有些條件驗證起來也不方便。因此本文繼續(xù)擬尋找卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的其他充要條件。眾所周知，次指數(shù)分布族是卷積等價分布族的特例，而次指數(shù)分布族關(guān)于卷積運算的封閉性已有較成熟的結(jié)果。如文獻[18]給出次指數(shù)分布族也不滿足卷積封閉性，F(xiàn)OSS S 等人[18]給出關(guān)于卷積封閉的若干充要條件，GELUK J 等人給出在最值運算下的封閉性[19]。因此，受次指數(shù)分布族關(guān)于卷積運算封閉性的啟發(fā)，本文首先給出卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件。在此基礎(chǔ)上，設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分別給出了max(X,Y)關(guān)于卷積等價分布族封閉的充要條件以及min(X,Y)關(guān)于卷積等價分布族封閉的充分條件，拓展了卷積等價分布族研究的理論成果。

本文以下若無特殊申明，均假設(shè)X,Y為兩個實值隨機變量，分布函數(shù)分別為F(x)=P(X≤x),G(y)=P(Y)≤y。記其尾分布為。且下文所有的極限過程均指x→∞。對于任意兩個正函數(shù)f(·)與g(·)滿足

若b=0，記作f(·)=o(g(·))；若a=b=1，記作f(·)～g(·)；若b<∞，記 作f(·)=O(g(·))。下文中I(A)={1or0,A 發(fā)生或不發(fā)生}，記X∨Y=max(X,Y)，X∧Y=max(X,Y)。

定義1稱分布F屬于卷積等價分布族，L(γ)(γ≥0)記作F∈L(γ)，若對任意固定y≥0，

定義2稱分布F屬于卷積等價分布族S(γ)(γ≥0)，記作F∈S(γ)，如果

其中F2*表示分布函數(shù)F關(guān)于自身的二重卷積。

注對兩個定義做以下說明：

首先，S(γ)?L(γ)。其次，當(dāng)時γ=0，定義1中的分布是長尾分布族，即L(0)，且（1）式對y的緊區(qū)間一致成立。而此時定義2 中的分布就是次指數(shù)分布族，即S(0)。最后，當(dāng)γ>0 時，由定義2易知L(γ)和S(γ)均是輕尾分布族，但是當(dāng)γ=0 時對應(yīng)的長尾分布族和次指數(shù)分布族均是重尾分布族，由此可見γ決定了兩個定義中的分布族的不同尾性質(zhì)。

2 引理

引理1若F∈L(γ)(γ≥0)，則存在函數(shù)h(·)：[0,∞）?[0,∞)，滿足

且(ii)對|y|≤h(x)一致成立，此即

進而，如果h1(x)∈H(F)，h2(x)≤h1(x),x∈[0,∞),h2(x)→∞,則h2(x)∈H(F)。

證明由注知，當(dāng)F∈L(γ)時，（1）式對y的緊區(qū)間一致成立。故對任意的對|y|≤h(x)一致成立。此即

故當(dāng)a=1，ξ=1 時，存在x1，對任意x>x1滿足

依次類推，當(dāng)a=n，ξ=時，存在xn，且xn>xn-1，對任意x>xn滿足

如此下去，找到了一列遞增的序列{xn}，易見n→∞時，xn→∞。故定義

由（3）式容易驗證函數(shù)h(·)，滿足條件(i)。而對任意的x，必存在n，使得x∈(xn,xn+1]，又因函數(shù)h(x)非降，易有h(x)≤h(xn+1)。故

結(jié)合（2）和（4）式證明了條件(ii)成立。證畢。

引理2若G∈L(γ)(γ≥0)，則對任意滿足<∞的分布F以及任意的函數(shù)h(x)∈H(G)，有

證明因 為G∈L(γ)，則對任意的函數(shù)h(x)∈H(G)，簡單計算可得

先處理I1，由于關(guān)于y遞增，故有下式成立

最后處理I2，又由引理1 知對|y|≤h(x)一致成立，故整體可用控制收斂定理得到下式

證畢。

引理 3[20]F∈S(γ)(γ≥0)的充要條件為F+∈S(γ)，其中F+為X∨0的分布函數(shù)。

引理 4[17]對于任意分布F，若<∞(γ≥0)，則F∈S(γ)當(dāng)且僅當(dāng)F∈L(γ)，

引理5[17]若F,G∈L(γ)(γ≥0)，那么下列敘述定義是等價的：

(i)F*G∈S(γ),

(ii)FG∈S(γ),

(iii)對任意p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

(iv)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ)。

且上面的任意一種敘述都可推出

以下記F*G為分布F,G的卷積分布。

引理6[17]若F,G∈S(γ)(γ≥0)，則引理5的(i)到(iv)和（7）式等價。

3 主要結(jié)果及其證明

定理1若F,G∈S(γ)(γ≥0)，那么下列說法是等價的：

(i)F*G∈S(γ),

(ii)FG∈S(γ)，

(iv)對任意p∈(0,1),pF+(1+p)G∈S(γ),

(v)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

(iv)對任意函數(shù)h(x)，滿足當(dāng)x→∞時，h(x)→∞，則

(vii)存在函數(shù)h(x)，滿足當(dāng)x→∞時，h(x)→∞，則

其中ξ,η是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。

證明(i)到(v)的等價證明可見引理5 和引理6，故下面先證(iii)?(vi)，進而得到前六個說法等價，最后證明后兩個說法的等價，從而完整證明該定理。

如果對任意函數(shù)h(x)，當(dāng)x→∞時，h(x)→∞，則

方便起見記

最后的等式成立事實上是因為

綜上，若(iii)成立必有(vi)成立，反之亦然，故(iii)?(vi)。

下證。顯然，另一方面，假設(shè)存在函數(shù)，由（9）式可有

那么對任意h(x)→∞，總會有～h(x)

結(jié)合（11）和（12）式可得（8）式成立。證畢。

定理2設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。若X,Y∈S(γ)(γ≥0)，則X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。

證明顯然X+Y～F*G，而簡單計算可得X∨Y∈FG，故由定理1 知X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。證畢。

定理3設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量，分布分別為F,G。若X∈S(γ1),Y∈S(γ2),(γi≥0,i=1,2)且則X∧Y∈S(γ1+γ2)。

證明首先由引理3可知X∈S(γ)?X+∈S(γ)，所以不失一般性,以下證明均對非負隨機變量討論。

由引理4知要證H∈S(γ1+γ2)，則只需證H∈L(γ1+γ2)以及

注意到

故對任意固定的y≥0，由（14）式簡單計算可得

即證H∈L(γ1+γ2)。

而又有

必存在常數(shù)c>0，使得對任意x>0 有

事實上，設(shè)Y1,Y2是兩個相互獨立同分布的實值隨機變量，且 服從分布G∈S(γ1)，則對任意y∈(0,x)有

故可找到常數(shù)c>0，（16）式對y∈(0,x)一致成立，進而

又因F∈S(γ1)，可根據(jù)引理4 有

同理討論I2(x,v)，再結(jié)合（17）和（18）式可得

綜上由（19）和（13），即證H∈S(γ1+γ2)。證畢。

小結(jié)

本文首先得到卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件。最后總結(jié)了最值關(guān)于卷積等價分布族封閉的條件。