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    卷積等價分布族的封閉性

    2021-11-10 08:12:54楊月麗
    關(guān)鍵詞:實值封閉性指數(shù)分布

    高 宇,楊月麗,彭 千

    (1.安徽大學(xué) 數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601;2.安徽農(nóng)業(yè)大學(xué) 理學(xué)院,安徽 合肥 230036)

    1 引言

    卷積等價分布族是應(yīng)用概率論中一類重要的分布族,同時該分布族由于其良好的性質(zhì)現(xiàn)已廣泛應(yīng)用于排隊論[1]和風(fēng)險理論[2]等領(lǐng)域。對于卷積等價分布族的研究可見文獻[3-13],近期應(yīng)用可見文獻[14-15]。然而,在卷積等價分布族的諸多研究中,最基本問題還是其在卷積運算下是否具有封閉性。Kluppelberg 和Villasenor 較早得到該分布族不滿足封閉性,并且給出了相應(yīng)的反例[16]。因此,尋找在何時條件下卷積等價分布族關(guān)于卷積運算具有封閉性一直是應(yīng)用概率統(tǒng)計學(xué)者關(guān)心的問題,但由于數(shù)學(xué)方法上的局限性,關(guān)于該問題的研究進展緩慢。直到2020 年,Leipus 才首次給出了卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件[17]。這顯然是一個非常重要的理論研究成果,在卷積等價分布族的理論研究中占有非常重要的地位。

    然而,Leipus 等人給出的充要條件并不全面[17],有些條件驗證起來也不方便。因此本文繼續(xù)擬尋找卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的其他充要條件。眾所周知,次指數(shù)分布族是卷積等價分布族的特例,而次指數(shù)分布族關(guān)于卷積運算的封閉性已有較成熟的結(jié)果。如文獻[18]給出次指數(shù)分布族也不滿足卷積封閉性,F(xiàn)OSS S 等人[18]給出關(guān)于卷積封閉的若干充要條件,GELUK J 等人給出在最值運算下的封閉性[19]。因此,受次指數(shù)分布族關(guān)于卷積運算封閉性的啟發(fā),本文首先給出卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件。在此基礎(chǔ)上,設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量,分別給出了max(X,Y)關(guān)于卷積等價分布族封閉的充要條件以及min(X,Y)關(guān)于卷積等價分布族封閉的充分條件,拓展了卷積等價分布族研究的理論成果。

    本文以下若無特殊申明,均假設(shè)X,Y為兩個實值隨機變量,分布函數(shù)分別為F(x)=P(X≤x),G(y)=P(Y)≤y。記其尾分布為。且下文所有的極限過程均指x→∞。對于任意兩個正函數(shù)f(·)與g(·)滿足

    若b=0,記作f(·)=o(g(·));若a=b=1,記作f(·)~g(·);若b<∞,記 作f(·)=O(g(·))。下文中I(A)={1or0,A 發(fā)生或不發(fā)生},記X∨Y=max(X,Y),X∧Y=max(X,Y)。

    定義1稱分布F屬于卷積等價分布族,L(γ)(γ≥0)記作F∈L(γ),若對任意固定y≥0,

    定義2稱分布F屬于卷積等價分布族S(γ)(γ≥0),記作F∈S(γ),如果

    其中F2*表示分布函數(shù)F關(guān)于自身的二重卷積。

    注對兩個定義做以下說明:

    首先,S(γ)?L(γ)。其次,當(dāng)時γ=0,定義1中的分布是長尾分布族,即L(0),且(1)式對y的緊區(qū)間一致成立。而此時定義2 中的分布就是次指數(shù)分布族,即S(0)。最后,當(dāng)γ>0 時,由定義2易知L(γ)和S(γ)均是輕尾分布族,但是當(dāng)γ=0 時對應(yīng)的長尾分布族和次指數(shù)分布族均是重尾分布族,由此可見γ決定了兩個定義中的分布族的不同尾性質(zhì)。

    2 引理

    引理1若F∈L(γ)(γ≥0),則存在函數(shù)h(·):[0,∞)?[0,∞),滿足

    且(ii)對|y|≤h(x)一致成立,此即

    進而,如果h1(x)∈H(F),h2(x)≤h1(x),x∈[0,∞),h2(x)→∞,則h2(x)∈H(F)。

    證明由注知,當(dāng)F∈L(γ)時,(1)式對y的緊區(qū)間一致成立。故對任意的對|y|≤h(x)一致成立。此即

    故當(dāng)a=1,ξ=1 時,存在x1,對任意x>x1滿足

    依次類推,當(dāng)a=n,ξ=時,存在xn,且xn>xn-1,對任意x>xn滿足

    如此下去,找到了一列遞增的序列{xn},易見n→∞時,xn→∞。故定義

    由(3)式容易驗證函數(shù)h(·),滿足條件(i)。而對任意的x,必存在n,使得x∈(xn,xn+1],又因函數(shù)h(x)非降,易有h(x)≤h(xn+1)。故

    結(jié)合(2)和(4)式證明了條件(ii)成立。證畢。

    引理2若G∈L(γ)(γ≥0),則對任意滿足<∞的分布F以及任意的函數(shù)h(x)∈H(G),有

    證明因 為G∈L(γ),則對任意的函數(shù)h(x)∈H(G),簡單計算可得

    先處理I1,由于關(guān)于y遞增,故有下式成立

    最后處理I2,又由引理1 知對|y|≤h(x)一致成立,故整體可用控制收斂定理得到下式

    證畢。

    引理 3[20]F∈S(γ)(γ≥0)的充要條件為F+∈S(γ),其中F+為X∨0的分布函數(shù)。

    引理 4[17]對于任意分布F,若<∞(γ≥0),則F∈S(γ)當(dāng)且僅當(dāng)F∈L(γ),

    引理5[17]若F,G∈L(γ)(γ≥0),那么下列敘述定義是等價的:

    (i)F*G∈S(γ),

    (ii)FG∈S(γ),

    (iii)對任意p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

    (iv)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ)。

    且上面的任意一種敘述都可推出

    以下記F*G為分布F,G的卷積分布。

    引理6[17]若F,G∈S(γ)(γ≥0),則引理5的(i)到(iv)和(7)式等價。

    3 主要結(jié)果及其證明

    定理1若F,G∈S(γ)(γ≥0),那么下列說法是等價的:

    (i)F*G∈S(γ),

    (ii)FG∈S(γ),

    (iv)對任意p∈(0,1),pF+(1+p)G∈S(γ),

    (v)存在p∈(0,1),pF+(1-p)G∈S(γ),

    (iv)對任意函數(shù)h(x),滿足當(dāng)x→∞時,h(x)→∞,則

    (vii)存在函數(shù)h(x),滿足當(dāng)x→∞時,h(x)→∞,則

    其中ξ,η是兩個相互獨立的實值隨機變量,分布分別為F,G。

    證明(i)到(v)的等價證明可見引理5 和引理6,故下面先證(iii)?(vi),進而得到前六個說法等價,最后證明后兩個說法的等價,從而完整證明該定理。

    如果對任意函數(shù)h(x),當(dāng)x→∞時,h(x)→∞,則

    方便起見記

    最后的等式成立事實上是因為

    綜上,若(iii)成立必有(vi)成立,反之亦然,故(iii)?(vi)。

    下證。顯然,另一方面,假設(shè)存在函數(shù),由(9)式可有

    那么對任意h(x)→∞,總會有~h(x)

    結(jié)合(11)和(12)式可得(8)式成立。證畢。

    定理2設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量,分布分別為F,G。若X,Y∈S(γ)(γ≥0),則X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。

    證明顯然X+Y~F*G,而簡單計算可得X∨Y∈FG,故由定理1 知X+Y∈S(γ)充要條件為X∨Y∈S(γ)。證畢。

    定理3設(shè)X,Y是兩個相互獨立的實值隨機變量,分布分別為F,G。若X∈S(γ1),Y∈S(γ2),(γi≥0,i=1,2)且則X∧Y∈S(γ1+γ2)。

    證明首先由引理3可知X∈S(γ)?X+∈S(γ),所以不失一般性,以下證明均對非負隨機變量討論。

    由引理4知要證H∈S(γ1+γ2),則只需證H∈L(γ1+γ2)以及

    注意到

    故對任意固定的y≥0,由(14)式簡單計算可得

    即證H∈L(γ1+γ2)。

    而又有

    必存在常數(shù)c>0,使得對任意x>0 有

    事實上,設(shè)Y1,Y2是兩個相互獨立同分布的實值隨機變量,且 服從分布G∈S(γ1),則對任意y∈(0,x)有

    故可找到常數(shù)c>0,(16)式對y∈(0,x)一致成立,進而

    又因F∈S(γ1),可根據(jù)引理4 有

    同理討論I2(x,v),再結(jié)合(17)和(18)式可得

    綜上由(19)和(13),即證H∈S(γ1+γ2)。證畢。

    小結(jié)

    本文首先得到卷積等價分布族關(guān)于卷積封閉的若干充要條件。最后總結(jié)了最值關(guān)于卷積等價分布族封閉的條件。

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