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    Banach空間中一類新的幾何常數(shù)

    2014-06-07 10:03:37張海霞崔歡歡
    關(guān)鍵詞:幾何平均凸性河南師范大學(xué)

    張海霞,崔歡歡,李 浩

    (1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng) 453007;2.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南洛陽 471022)

    Banach空間中一類新的幾何常數(shù)

    張海霞1,崔歡歡2,李 浩1

    (1.河南師范大學(xué)數(shù)學(xué)與信息科學(xué)學(xué)院,河南新鄉(xiāng) 453007;2.洛陽師范學(xué)院數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院,河南洛陽 471022)

    對Banach空間的一致非方性質(zhì)進行了刻畫,引入一類幾何常數(shù)H(X)和h(X)并得到常數(shù)H(X)和凸性模δX(ε)的關(guān)系等式,且證明了Banach空間一致非方的充分必要條件是H(X)不超過2。另外,計算了一些具體Banach空間上常數(shù)H(X)和h(X)的精確值。

    Banach空間;調(diào)和平均;一致非方

    0 引言

    1964年,James引入了Banach空間是一致非方的概念,若存在δ>0,使對任意x,y∈S(X),有不等式成立,則稱Banach空間是一致非方的[1]。1976年,Sch?ffer給出了一致非方的等價定義,即如果存在λ>0,使對任意立,則稱Banach空間是一致非方的[2]。

    為了精確刻畫這一幾何性質(zhì),高繼在1982年定義了下面的幾何常數(shù):

    并證明了Banach空間X是一致非方的,當(dāng)且僅當(dāng)J(X)<2(或S(X)>1),其中,J(X)和S(X)分別被稱為James和Sch?ffer常數(shù)[3]。1986年,Casini證明了在任何非平凡Banach空間中有J(X)S(X)=2[4]。

    空間上類似的常數(shù)以及這些常數(shù)之間的關(guān)系、精確值和空間上的幾何性質(zhì)如正規(guī)結(jié)構(gòu)(由此得到不動點理論)得到了廣泛的研究,同時,許多文章還證明了這些常數(shù)和非常著名的Clarkson凸性模聯(lián)系緊密[5-12]。

    2000年,Baronti等利用算術(shù)平均引入了如下常數(shù):

    2008年,A lsonso和Fuster利用幾何平均引入了如下常數(shù):

    除算術(shù)與幾何平均外,另外一類重要的平均就是調(diào)和平均:

    其中,a,b是兩個正實數(shù)。將根據(jù)調(diào)和平均在Banach空間中引入兩個新的幾何常數(shù),并給出了這兩個常數(shù)和上面常數(shù)的關(guān)系,由此可以更好地計算一些重要空間的常數(shù)精確值。

    1 基礎(chǔ)知識

    定義1[10]X上的Clarkson凸性模為函數(shù)δX:[0,2]→[0,1],

    由文獻[10]知:X是一致非方的當(dāng)且僅當(dāng)存在ε∈(0,2)使得δX(ε)>0。

    1937年,Clarkson引入了下面的幾何常數(shù)。

    定義2[11]X上的von Neumann-Jordan constant常數(shù)CNJ(X)定義為:

    2 參數(shù)H(X)與h(X)的性質(zhì)及與一致非方的關(guān)系

    其中,M(a,b)關(guān)于b>0單調(diào)遞增。

    推論1Banach空間X一致非方當(dāng)且僅當(dāng)H(X)<2。

    由定義易得如下結(jié)論:

    定理3對任何Banach空間X成立,

    下面的一些結(jié)論表明上述定理中一些嚴(yán)格不等式成立,從而表明本文的估計非常精確。

    3 具體空間上參數(shù)H(X)或h(X)的精確值

    [1] James R C.Uniform ly Non-square Banach Spaces[J].Ann of Math,1964,80:542-550.

    [2] Sch?ffer J J.Geometry of Spheres in Normed Spaces[M].New York:Dekker,1976.

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    [5] 楊長森,鄭亞男,王亞敏.廣義高繼常數(shù)的一些性質(zhì)[J].河南師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,39(1):6-9.

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    [7] 張海霞,關(guān)曉紅,楊長森.常數(shù)H(a,X)與一致正規(guī)結(jié)構(gòu)[J].華中師范大學(xué)學(xué)報:自然科學(xué)版,2011,45(3):363-365.

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    [10] Kato M,Maligranda L,Takahashi Y.On James and Jordan-von Neumann Constants and the Normal Structure Coefficient of Banach Spaces[J].Studia Math,2001,144:275-295.

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    [12] Kato M,Maligranda L.On James and Jordan-von Neumann Constants of Lorentz Sequence Spaces[J].JMath Anal App l,1998,258:457-465.

    O177.2

    A

    1672-6871(2014)01-0079-04

    國家自然科學(xué)基金項目(11126284);河南省基礎(chǔ)與前沿技術(shù)研究計劃項目(102300410012)

    張海霞(1978-),女,河南滑縣人,副教授,碩士,主要從事泛函分析方面的研究.

    2012-04-17

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