壽命服從PH分布的冷貯備可修系統(tǒng)

趙 丹，周 巖，孟憲云，李海霞

（燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004）

壽命服從PH分布的冷貯備可修系統(tǒng)

趙 丹，周 巖，孟憲云，李海霞

（燕山大學(xué)理學(xué)院，河北秦皇島 066004）

研究了由兩個不同部件組成的冷貯備系統(tǒng)。假定部件的工作時間服從的是PH分布，且假定部件能夠修復(fù)如新，部件失效后的修理時間服從指數(shù)分布。利用引進(jìn)變量法、廣義的馬爾可夫過程和PH分布的性質(zhì)，得到了系統(tǒng)的瞬時概率分布、系統(tǒng)首次故障前的平均時間、系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)概率分布等可靠性指標(biāo)的Laplace變換表達(dá)式。

PH分布；冷貯備；引進(jìn)變量法；廣義的馬爾可夫過程；可修系統(tǒng)；可靠性

0 引言

在可靠性分析中，常用的貯備系統(tǒng)有溫貯備系統(tǒng)和冷貯備系統(tǒng)，冷貯備系統(tǒng)應(yīng)用比較廣泛，因此受到學(xué)者們的關(guān)注。所謂冷貯備就是指部件在貯備過程中既不失效也不劣化，貯備期的長短與部件日后使用時的工作壽命無關(guān)，貯備部件替換失效部件是通過轉(zhuǎn)換開關(guān)來完成的。文獻(xiàn)［1］研究了壽命和修理時間服從一般分布的可修系統(tǒng)，文獻(xiàn)［2－3］分別研究了含有兩個同型和不同型部件的冷貯備可修系統(tǒng)，文獻(xiàn)［4］在此基礎(chǔ)上針對帶有優(yōu)先權(quán)的兩不同型部件冷貯備系統(tǒng)進(jìn)行了可靠性分析，文獻(xiàn)［5］研究了有優(yōu)先權(quán)且有兩不同修理設(shè)備的兩部件冷貯備可修系統(tǒng)，文獻(xiàn)［6］研究了修理時間服從PH分布、壽命服從指數(shù)分布的兩個不同型部件、一個修理工組成的并聯(lián)可修系統(tǒng)，更多關(guān)于帶有PH分布的可修系統(tǒng)的可靠性分析可參考文獻(xiàn)［7－9］。本文在以往文獻(xiàn)的研究基礎(chǔ)上，對于修理時間服從指數(shù)分布、壽命服從PH分布的兩個不同型部件、一個修理工組成的冷貯備系統(tǒng)進(jìn)行了討論。

1 模型假設(shè)

（Ⅰ）部件1的工作壽命服從的是m階PH分布，其分布函數(shù)為G1（t）＝1－αeTte，t≥0，過程的初始概率向量為α＝（α1，α2，…，αm），狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為T＝（Tij）m×m，且滿足T0＝－Te1＝（，…）′，其中e1為分量全為1的m階列向量。

部件2的工作壽命服從的是n階PH分布，其分布函數(shù)為G2（t）＝1－βeRte，t≥0，過程的初始概率向量為β＝（β1，β2，…，βn），狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為R＝（Rij）n×n，且滿足R0＝－Re2＝（，…，）′，其中e2為分量全為1的n階列向量。

（Ⅱ）部件i故障后的修理時間服從參數(shù)為μi的指數(shù)分布，其分布函數(shù)為Fi（t）＝1－e－μit，t≥0，（μi＞0），i＝1，2。

（Ⅲ）上述所有隨機(jī)變量是相互獨立的。

（Ⅳ）在t＝0時刻，部件1先開始工作，部件2貯備，且兩個部件都是完好無損的。轉(zhuǎn)換開關(guān)完全可靠且轉(zhuǎn)換是瞬時的。當(dāng)正在工作的部件癱瘓時，貯備部件立即去替換而進(jìn)入工作狀態(tài)，修理工立即修理失效部件；如果兩個部件都壞了，則遵循先壞先修的原則，假定修復(fù)如新。

2 主要結(jié)果及證明

X（t）＝i表示時刻t系統(tǒng)處于狀態(tài)i，i＝0，1，2，3，4，5。由于系統(tǒng)中所假設(shè)的部件壽命不服從指數(shù)分布，那么可以驗證｛X（t），t≥0｝不是馬氏過程?，F(xiàn)在引入補充變量：令Z（t）＝j(luò)表示正在工作中的部件在時刻t所處的位相，則｛X（t），Z（t），t≥0｝構(gòu)成了一個廣義的馬爾可夫過程。此時系統(tǒng)的狀態(tài)可有

證明由系統(tǒng)的模型假設(shè)可得系統(tǒng)的狀態(tài)為

狀態(tài)0：部件1開始工作，部件2進(jìn)入貯備狀態(tài)。

狀態(tài)1：部件2開始工作，部件1進(jìn)入貯備狀態(tài)。

狀態(tài)2：部件1修理，部件2開始工作。

狀態(tài)3：部件2修理，部件1開始工作。

狀態(tài)4：部件1正在修理，部件2處于待修。

狀態(tài)5：部件2正在修理，部件1處于待修。

證明由可用度的定義和定理1的結(jié)果即可得出結(jié)論。

定理2設(shè)Z為系統(tǒng)首次失效時間，則Z服從2（m＋n）階PH分布F（t），且可得系統(tǒng)的可靠度函數(shù)為R（t）＝P｛Z≥t｝＝γePte，e為分量全為1的2（m＋n）維列向量，且該函數(shù)的Lap lace變換為R*（s）＝

證明將上述馬氏過程中的故障狀態(tài)（4，5）歸并為一個吸收態(tài)N，則狀態(tài)空間為j＝｛（0，1），…，（0，m），（1，1），…，（1，n），（2，1），…，（2，n），（3，1），…，（3，m），N｝，對應(yīng)的轉(zhuǎn)移概率矩陣為：

劃去最后一行和最后一列的矩陣為P，其中，P0＝－Pe＝（0，0，R0，T0）T；γ＝（α，0，0，…，0）∈R2（m＋n）；e為分量全為1的2（m＋n）維列向量。則由PH分布的定義可知：系統(tǒng)的首次失效時間Z服從2（m＋n）階PH分布，再由可靠度的定義及Lap lace變換即可得到定理后半部的結(jié)論。

定理3設(shè)π＝（π0，π1，π2，π3，π4，π5）為系統(tǒng)的平穩(wěn)概率分布，其中πi是系統(tǒng)處于狀態(tài)i的穩(wěn)態(tài)概率，其中，π4，π5∈R＋；π1，π2是n維行向量；π0，π3是m維行向量，則有

證明該隨機(jī)過程是一個不可約有限狀態(tài)馬氏過程，所以其平穩(wěn)概率π＝（π0，π1，π2，π3，π4，π5）存在，且滿足方程組

將式（8）按方塊矩陣展開為：

由式（13）和式（14）可得

將式（15）代入式（11）和式（12）化簡得

將上式代入式（15）則有

由式（9）、式（10）和式（11）可得

推論2假設(shè)系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)可用度為A，則有

證明由可用度的定義和定理3的結(jié)果即可得出結(jié)論。

3 結(jié)論

本文討論了部件壽命服從PH分布、修理時間服從指數(shù)分布的兩不同型部件的冷貯備系統(tǒng)。PH分布是指數(shù)分布和幾何分布的矩陣類比，它的參數(shù)矩陣具有明顯的概率意義，將之應(yīng)用于可靠性分析中，可以較易地得到系統(tǒng)的一些主要可靠性指標(biāo)，所得結(jié)果更具有一般性，因此更加具有實際意義。

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O213.2

A

1672－6871（2014）01－0092－05

全國統(tǒng)計科研計劃基金項目（2010LC33）；河北省教育廳計劃基金項目（2007323）

趙 丹（1986－），女，黑龍江鶴崗人，碩士生；周 巖（1964－），男，黑龍江齊齊哈爾人，副教授，碩士生導(dǎo)師，研究方向為系統(tǒng)的可靠性分析及優(yōu)化.

2012－04－20