初探初中數(shù)學(xué)綜合題審題教學(xué)的“三思”策略

葉金芳

(江蘇省蘇州市吳中區(qū)藏書(shū)中學(xué) 江蘇蘇州 215100)

筆者在任教初中數(shù)學(xué)的近二十年中，發(fā)現(xiàn)很多學(xué)生即使是數(shù)學(xué)基礎(chǔ)比較扎實(shí)的學(xué)生，一遇到中檔以上或較高難度的綜合題，或是審題掉以輕心，或是不知從何處入手進(jìn)行審題，導(dǎo)致解題失誤，不能得分。究其原因，一方面是學(xué)生審題解題的心理素質(zhì)不高，另一方面是由綜合題本身的特點(diǎn)決定的，其信息量增大、數(shù)式與圖形結(jié)合、條件更多更復(fù)雜，涵蓋的知識(shí)考點(diǎn)豐富，對(duì)學(xué)生的讀題力、理解力、分析力、思維力都是綜合性的挑戰(zhàn)。

波利亞曾經(jīng)說(shuō)過(guò)，“掌握數(shù)學(xué)意味著善于解題”，而“善于解題”的關(guān)鍵之一是“善于審題”?！镀胀ǜ咧袛?shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》指出：通過(guò)數(shù)學(xué)課程學(xué)習(xí)，幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)習(xí)慣；幫助學(xué)生樹(shù)立敢于質(zhì)疑、善于思考、嚴(yán)謹(jǐn)求實(shí)的科學(xué)精神……因此，數(shù)學(xué)教師在綜合題審題教學(xué)中，要培養(yǎng)學(xué)生良好的審題讀題習(xí)慣，要指導(dǎo)學(xué)生制定和運(yùn)用合理的審題思維路線，讓學(xué)生學(xué)會(huì)觀察、學(xué)會(huì)思考、學(xué)會(huì)質(zhì)疑，由表及里，由條件到結(jié)論，由數(shù)式到圖形，洞察到綜合題的問(wèn)題本質(zhì)，選擇正確的解題方向。筆者認(rèn)為季文子先生提出“三思而后行”的做事思維，對(duì)我們初中數(shù)學(xué)綜合題的審題教學(xué)有一定的啟示和借鑒作用。下面筆者談?wù)劤踔袛?shù)學(xué)綜合題審題教學(xué)的“三思”策略[1]。

一、初中數(shù)學(xué)綜合題審題中“三思”策略的重要意義

審題是學(xué)生學(xué)習(xí)過(guò)程中的重要組成部分，學(xué)生能夠清晰進(jìn)行審題，才能夠?qū)?zhǔn)確把握題目的核心。在審題過(guò)程中，學(xué)生不能一目十行，而是需要多讀幾遍，多思考思考，挖掘題目的內(nèi)涵。因此，教師可以嘗試通過(guò)三思的形式促進(jìn)學(xué)生綜合審題能力的發(fā)展。

一思：發(fā)展學(xué)生語(yǔ)言互譯能力

數(shù)學(xué)語(yǔ)言是豐富多彩的，在數(shù)學(xué)的世界中，語(yǔ)言有著不同的呈現(xiàn)方式，這種呈現(xiàn)可能是文字，可能是某種符號(hào)或者圖像。因此，在數(shù)學(xué)中，語(yǔ)言的表示往往是十分準(zhǔn)確，卻有著特殊意義的。在數(shù)學(xué)課堂中，學(xué)生需要在學(xué)習(xí)過(guò)程中對(duì)這些特殊的數(shù)學(xué)語(yǔ)言進(jìn)行思考分析，在用自己的話轉(zhuǎn)述出來(lái)。通過(guò)這樣的思考模式，學(xué)生就能夠更好地理解數(shù)學(xué)內(nèi)容，將題意與已學(xué)內(nèi)容進(jìn)行互譯，從而使學(xué)生更好地理解題意。在答題的過(guò)程中，學(xué)生才能夠充分展示出自己的思維邏輯，按照正確的想法，梳理出正確的思路。

二思：優(yōu)化學(xué)生數(shù)學(xué)觀察能力

觀察能力是人類(lèi)在實(shí)踐過(guò)程中不可或缺的重要能力，在數(shù)學(xué)審題過(guò)程中，觀察能力也起到了不可忽視的作用。學(xué)生有著周密的觀察，就能夠發(fā)現(xiàn)題目中的細(xì)節(jié)，從而挖掘出題目中的隱含條件。數(shù)學(xué)是一門(mén)十分嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，在審題過(guò)程中，每一個(gè)字符都有深刻的含義，因此，學(xué)生在審題的過(guò)程中也要深入思考，如思考題目當(dāng)中是否包含了一些隱性條件。通過(guò)第二重的思考，學(xué)生就能夠細(xì)致地觀察題目的細(xì)節(jié)，發(fā)現(xiàn)題目中的關(guān)鍵性內(nèi)容，推出題目當(dāng)中的隱藏條件，這樣就能夠大大降低學(xué)生的解題難度。學(xué)生在解題過(guò)程中也能更好地展示自己的數(shù)學(xué)知識(shí)，使自己發(fā)揮出最佳水平[2]。

三思：提升學(xué)生思維辨析能力

在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中對(duì)不同類(lèi)型的問(wèn)題，學(xué)生要從不同的角度來(lái)辨析，這就對(duì)學(xué)生的思維辨析能力提出了更高的要求?；诖?，教師在教學(xué)過(guò)程中就需要引導(dǎo)學(xué)生更深一步地盡心思考，不能急功近利，要從多個(gè)角度對(duì)原題的內(nèi)容進(jìn)行辨析，從而促進(jìn)學(xué)生一題多解能力的提高。并且，通過(guò)思考，還能使學(xué)生將腦海中的數(shù)學(xué)知識(shí)串聯(lián)起來(lái)，構(gòu)建出一個(gè)完整的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)系統(tǒng)，從而發(fā)揮自身的優(yōu)勢(shì)進(jìn)行解題。

由此可見(jiàn)，在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中，學(xué)生的多重思維對(duì)學(xué)生的多元發(fā)展有著不可忽視的作用，因此，教師在數(shù)學(xué)教學(xué)過(guò)程中要借助三思策略來(lái)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行綜合審題。

二、初探初中數(shù)學(xué)綜合題審題教學(xué)的“三思”策略

一思：審題之初，宏觀掌控，提升思維高度

審題是解題的開(kāi)端，深入細(xì)致的審題是正確解題的必要前提。初審時(shí)教師要引導(dǎo)學(xué)生正確解讀題意，初步分清主干條件和各小題之間的關(guān)系，宏觀掌控層次脈絡(luò)，這樣才能使學(xué)生在解題時(shí)做到心中有數(shù)，避免因思路不清盲目混淆。

例1：如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC⊥X軸，垂足為A，反比例函數(shù)y=(x＞0)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)B，交AC于點(diǎn)E。已知菱形的周長(zhǎng)為10，AC=4。

（1）若OA=4，求k的值：

（2）連接OD,若AE=AB,求OD的長(zhǎng)。

分析：本題在綜合題中難度不高，條件簡(jiǎn)明，圖形清晰，大部分學(xué)生有能力正確求解。但是由于有的學(xué)生在審題時(shí)不注意區(qū)分第（1）、第（2）兩小題的層次關(guān)系及各小題專(zhuān)屬條件的獨(dú)立性，導(dǎo)致有些學(xué)生誤用第（1）小題的條件結(jié)論做第（2）小題，甚至將第（2）小題的條件用于第（1）小題的解答。

因此，在審題之初，教師要引導(dǎo)學(xué)生從題目的全局出發(fā)，理清脈絡(luò)，宏觀掌控，在解題時(shí)做到心中有數(shù)，避免因?qū)忣}不清導(dǎo)致失誤，從而提升學(xué)生審題解題的思維高度。

二思：再審之中，條分縷析，提高思維密度

任何一個(gè)數(shù)學(xué)綜合題都是由條件和結(jié)論兩部分構(gòu)成，題目中給出的條件是學(xué)生解題的關(guān)鍵要素，要成功解題必須充分利用好條件間的內(nèi)在聯(lián)系，要引導(dǎo)學(xué)生既能看到明示的條件，更能看到隱含的條件，要看明白圖形的縱橫交錯(cuò)[3]。

例2：如圖，△ABC內(nèi)接于圓O，BC是圓O的直徑，弦AF交BC于點(diǎn)E，延長(zhǎng)BC到點(diǎn)D，連接OA，AD，使得∠FAC=∠AOD,∠D=∠BAF。

（1）求證：AD是圓O的切線；

（2）若圓O的半徑為5，CE=2，求EF的長(zhǎng)。

分析：本題是典型的圓系列綜合題，條件不太復(fù)雜，研究第（1）問(wèn)時(shí)可根據(jù)題目所給已知條件BC是直徑的條件，順勢(shì)思考得出所對(duì)圓周角∠BAC=90°，再結(jié)合需證結(jié)論AD是切線思考常規(guī)方法，證明AD與半徑OA垂直，利用題中所給的兩對(duì)角相等的條件，將條件和結(jié)論有機(jī)聯(lián)系起來(lái)。第（2）問(wèn)又給出一些線段的長(zhǎng)度，再結(jié)合題圖中的角度關(guān)系進(jìn)行思考，引導(dǎo)學(xué)生發(fā)現(xiàn)一對(duì)母子型相似三角形（△CAE與△COA），進(jìn)而可求得AC與AE的長(zhǎng)度，然后根據(jù)已知邊及所求邊再思考相關(guān)三角形的相似問(wèn)題，利用圓周角的知識(shí)可以發(fā)現(xiàn)圓中的另一對(duì)三角形相似（△CAE與△FBE），即可求出線段EF的長(zhǎng)。

由此題可知，條件與結(jié)論之間不容易直接到達(dá)，要綜合運(yùn)用多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，教師在教學(xué)過(guò)程中要注意引導(dǎo)學(xué)生再次審題，對(duì)已有信息進(jìn)行加工整合，由“已知”想“可知”，由“未知”想“需知”，運(yùn)用“由因?qū)Ч奔啊皥?zhí)果索因”的分析法、綜合法等多種思維方法，培養(yǎng)學(xué)生條分縷析的能力，從而提高學(xué)生的思維密度。

三思：存疑之處，反復(fù)推敲，拓展思維深度

并不是每一個(gè)綜合題都能在條件和結(jié)論之間比較順利地找到聯(lián)系的橋梁，有時(shí)做到中途就會(huì)出現(xiàn)bug，思路受阻或產(chǎn)生疑惑，此時(shí)教師要在疑惑處不斷設(shè)問(wèn)，引發(fā)學(xué)生不斷思考，不斷探究，不斷推翻，反復(fù)證明。面對(duì)綜合難題，當(dāng)學(xué)生到了“山重水復(fù)疑無(wú)路”的時(shí)候，教師更要鼓勵(lì)學(xué)生要有挑戰(zhàn)難題的研究勇氣，并怕出錯(cuò)，多問(wèn)幾個(gè)“這究竟是為什么呢”。

例3：如圖1，E為矩形ABCD邊AD上一點(diǎn)，點(diǎn)P從點(diǎn)C沿折線CD—DE—EB運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)停止；點(diǎn)Q從點(diǎn)B沿BC運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C時(shí)停止，它們運(yùn)動(dòng)的速度都是1cm/s，若P、Q同時(shí)開(kāi)始運(yùn)動(dòng)，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t（S），△BPQ的面積為y（cm2）。已知Y與t的函數(shù)圖像如圖2。

圖1

圖2

試探索下列問(wèn)題：

（1）求sin∠EBC的值。

（2）求當(dāng)10≤t≤12時(shí)，y與t的函數(shù)關(guān)系式。

（3）直接寫(xiě)出：當(dāng)t=_____________時(shí)，△BPQ是等腰三角形。

分析：本題為圖文信息問(wèn)題，將動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題和函數(shù)圖像有機(jī)結(jié)合，這給審題又增加了難度。由于兩個(gè)圖是對(duì)同一問(wèn)題的不同表達(dá)形式：圖1是實(shí)際運(yùn)動(dòng)路徑示意圖，圖2是根據(jù)圖1的不同運(yùn)動(dòng)階段具體數(shù)量關(guān)系所刻畫(huà)的函數(shù)圖像，它們之間不僅是相互聯(lián)系的，而且是密不可分的。因此只要能夠建立起兩張圖形之間的聯(lián)系紐帶與相互轉(zhuǎn)譯，就能使問(wèn)題得到有效解決。

首先要引導(dǎo)學(xué)生從兩個(gè)圖形中的特殊點(diǎn)入手分析，通過(guò)對(duì)比圖1中動(dòng)點(diǎn)P、Q的運(yùn)動(dòng)路徑及拐點(diǎn)與圖2中的函數(shù)圖像的分段點(diǎn)，起初進(jìn)展還算順利：

（1）當(dāng)0≤t≤6時(shí)，y=0.5t2，符合點(diǎn)P從C運(yùn)動(dòng)至D的情況，可以推算出CD=6cm；

（2）當(dāng)6≤t≤10時(shí)，y=3t，點(diǎn)P從D運(yùn)動(dòng)至E，進(jìn)一步推算出DE=4cm，也完全吻合。

但是在分析過(guò)程中有學(xué)生很快就發(fā)現(xiàn)一個(gè)問(wèn)題：為什么點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路線分三段，而函數(shù)圖像卻有四段？這個(gè)發(fā)現(xiàn)很值得學(xué)生作進(jìn)一步的仔細(xì)研究。此時(shí)教師需要鼓勵(lì)學(xué)生放慢進(jìn)程，按下暫停鍵，定一定神，醒一醒腦，多留一點(diǎn)時(shí)間，進(jìn)一步引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行深入思考，分析產(chǎn)生這一矛盾的原因究竟在哪里？那么會(huì)有學(xué)生發(fā)現(xiàn)：有可能是點(diǎn)Q率先到達(dá)終點(diǎn)C，這種情況的存在比較合理，且能作出解釋。與此同時(shí)，教師還需要趁熱打鐵繼續(xù)追問(wèn)：有沒(méi)有可能是點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)B呢？再讓學(xué)生帶著此問(wèn)題再作深入探究……經(jīng)過(guò)反復(fù)推敲，學(xué)生會(huì)發(fā)現(xiàn)點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)B是不可能的，理由如下：如果點(diǎn)P先到達(dá)終點(diǎn)B，那么最后一段函數(shù)圖像應(yīng)該是y=0上的一部分線段，顯然與圖2中的函數(shù)圖像不符，所以學(xué)生一致認(rèn)同是應(yīng)該是點(diǎn)Q率先到達(dá)終點(diǎn)C。審題分析再三深入至此，重重疑團(tuán)終被解開(kāi)，打破了僵局，整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程露出了廬山真面目，真可謂是“山重水復(fù)疑無(wú)路，柳暗花明又一村”。

由此題可知，學(xué)生碰到綜合難題時(shí)，存在一個(gè)又一個(gè)疑團(tuán)時(shí)，教師要不斷質(zhì)疑，不斷追問(wèn)，不斷引導(dǎo)學(xué)生向縱深處思考，反復(fù)推敲，從而大大拓展學(xué)生的思維深度。

綜上所述，只有審好題，才能解好題，因此，研究初中數(shù)學(xué)綜合題的審題教學(xué)策略非常必要和重要，教師要對(duì)學(xué)生進(jìn)行針對(duì)性的有效審題訓(xùn)練和技巧指導(dǎo)，這樣才能幫助學(xué)生養(yǎng)成良好的審題習(xí)慣，幫助學(xué)生形成科學(xué)的審題方法和解題思路，培養(yǎng)學(xué)生的質(zhì)疑能力和思維品質(zhì)，提高學(xué)生的綜合分析能力和實(shí)踐運(yùn)用能力，促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的形成和發(fā)展[4]。