離散型隨機(jī)變量及其分布列高考二輪復(fù)習(xí)之決策問題教學(xué)案例設(shè)計(jì)

羅佼佼

(南寧市第三中學(xué) 廣西南寧 530000)

一、教學(xué)目標(biāo)

1.學(xué)生能夠讀懂題意，能夠提取有用信息和對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行處理。

2.理解簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量期望的概念，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的期望。

3.面對(duì)多種可能發(fā)生的情況時(shí)，能有分類討論意識(shí)并能找到分類依據(jù)進(jìn)行準(zhǔn)確分類。

二、教學(xué)重點(diǎn)

1.學(xué)生能在大量文字當(dāng)中提取有用信息，讀懂題意。

2.理解簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量期望的概念，會(huì)計(jì)算簡(jiǎn)單離散型隨機(jī)變量的期望。

三、教學(xué)難點(diǎn)

對(duì)信息量大的題目能做到準(zhǔn)確理解題意，有分類討論意識(shí)，并有明確的分類討論標(biāo)準(zhǔn)

四、解讀學(xué)生

學(xué)生數(shù)學(xué)基礎(chǔ)薄弱，對(duì)于概率、分布列知識(shí)還僅停留在套用公式計(jì)算概率上，對(duì)信息量大的題目無法做到準(zhǔn)確理解題意，提取有用的信息，缺乏分類討論意識(shí)。

五、近5年的高考分析

試題 考查內(nèi)容2021，甲卷 獨(dú)立性檢驗(yàn)2021，乙卷 特征數(shù)字2021，新高考1 離散型隨機(jī)變量及其分布列，期望（決策）2021，新高考2 導(dǎo)數(shù)，期望2020，課標(biāo)1 停止型事件的概率2020，課標(biāo)2 回歸分析2020，課標(biāo)3 獨(dú)立性檢驗(yàn)2019，課標(biāo)1 分布列，證明等比數(shù)列，累加法求數(shù)列通項(xiàng)公式2019，課標(biāo)2 古典概型中求事件發(fā)生的概率2019，課標(biāo)3 頻率分布直方圖2018，課標(biāo)1 獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的概率問題，二項(xiàng)分布的期望（決策）2018，課標(biāo)2 回歸分析2018，課標(biāo)3 莖葉圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)2017，課標(biāo)1 正態(tài)分布中的求指定區(qū)間的概率2017，課標(biāo)2 頻率分布直方圖，獨(dú)立性檢驗(yàn)2017，課標(biāo)3 離散型隨機(jī)變量及其分布列，期望（決策）

從上表可知，近5年高考卷，總共16套卷子，有8套大題考到了概率，其中6套涉及了離散型隨機(jī)變量及其分布列知識(shí)，自2017年開始，概率大題常考利用離散型隨機(jī)變量及其分布列和期望選擇決策，且分布列不再是可以直接套入公式即得結(jié)果的二項(xiàng)分布和超幾何分布，整個(gè)大題更具靈活性和實(shí)踐性。

六、教學(xué)過程

例1：（2017，新課標(biāo)3改編）某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶，每天進(jìn)貨量相同，進(jìn)貨成本每瓶4元，售價(jià)每瓶6元，未售出的酸奶降價(jià)處理，以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn)，每天需求量與當(dāng)天最高氣溫（單位：℃）有關(guān)。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間[20，25)，需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶。為了確定六月份的訂購計(jì)劃，統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：

最高氣溫 [10，15）[15，20）[20，25）[25，30）[30，35）[35，40）天數(shù) 2 16 36 25 7 4

以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。

（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；

（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），超市一天的進(jìn)貨有兩種方案：方案一，進(jìn)貨300瓶；方案二，進(jìn)貨400瓶，從利潤(rùn)的角度出發(fā)，問哪種方案更好？

因此X的分布列為

X 200 300 500 P 0.2 0.4 0.4

（2）方案一：若最高氣溫不低于20，則Y1=(6-4)×300=600；

若最高氣溫低于20，則Y1=6×200+2(300-200)-4×300=200；

Y1 200 600 P 0.2 0.8

EY1=200×0.2+600×0.8=520

方案二：若最高氣溫不低于25，則Y2=(6-4)×400=800；

若最高氣溫位于區(qū)間，則Y2=6×300+2(400-300)-4×400=400；

若最高氣溫低于20，則Y2=6×200+2(400-200)-4×400=0；

Y2 0 400 800 P 0.2 0.4 0.4

因此EY2=800×0.4+400×0.4=480.可知EY1＞EY2，所以選擇方案一。

設(shè)計(jì)意圖：本例題是由高考題改編而成，高考原題難點(diǎn)在于第（2）問中對(duì)進(jìn)貨量n的銷售情況進(jìn)行分類討論，從而得到不同的進(jìn)貨量n對(duì)應(yīng)的利潤(rùn)Y的分布列，從而得到Y(jié)的期望，進(jìn)而求出期望的最大值。學(xué)生往往對(duì)于抽象的n分類討論的標(biāo)準(zhǔn)不清楚，而分類討論又是高考重點(diǎn)考查的知識(shí)與技能，因此，本例題通過具體的進(jìn)貨情況，讓學(xué)生體驗(yàn)從具體到一般，由淺入深。

變式：把例1中的問題（2）改為“設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為Y（單位：元），當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量n（單位：瓶）為多少時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值？”

解析：由題意知，這種酸奶一天的需求量至多為500，至少為200，因此只需考慮200≤n≤500

當(dāng)300≤n≤500時(shí)，

若最高氣溫不低于25，則Y=6n-4n=2n；

若最高氣溫位于區(qū)間[20,25)，則Y=6×300+2(n-300)-4n=1200-2n；

若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n；

因此EY=2n×0.4+(1200-2n)×0.4+(800-2n)×0.2=640-0.4n。

當(dāng)200≤n＜300時(shí)，

若最高氣溫不低于20，則Y=6n-4n=2n；

若最高氣溫低于20，則Y=6×200+2(n-200)-4n=800-2n；

因此EY=2n×(0.4+0.4)+(800-2n)×0.2=160+1.2n。

所以n=300時(shí)，Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值，最大值為520元。

設(shè)計(jì)意圖：該變式即為2017年新課標(biāo)3卷的真題，由例題讓學(xué)生體會(huì)到分類討論的標(biāo)準(zhǔn)之后，再把確定的進(jìn)貨量變?yōu)樽兞縩，把例題考查的知識(shí)和能力進(jìn)行提升。

練習(xí)1：（2016，新課標(biāo)1）某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器，該種機(jī)器使用三年后即被淘汰。機(jī)器有一易損零件，在購進(jìn)機(jī)器時(shí)，可以額外購買這種零件作為備件，每個(gè)200元。在機(jī)器使用期間，如果備件不足再購買，則每個(gè)500元。現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件，為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù)，得下面柱狀圖：

以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率，記表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù)，表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)。

（1）求X的分布列；

（2）若要求P(X≤n)≥0.5，確定n的最小值；

（3）以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù)，在n=19與n=20之中選其一，應(yīng)選用哪個(gè)？

解析：（1）由柱狀圖并以頻率代替概率可得，一臺(tái)機(jī)器在三年內(nèi)需更換的易損零件數(shù)為8,9,10,11的概率分別為0.2，0.4，0.2，0.2。

P(X=16)=0.2×0.2=0.04；

P(X=17)=2×0.2×0.4=0.16；

P(X=18)=2×0.2×0.2+0.4×0.4=0.24；

P(X=19)=2×0.2×0.2+2×0.4×0.2=0.24；

P(X=20)=2×0.2×0.4+0.2×0.2=0.2；

P(X=21)=2×0.2×0.2=0.08;

P(X=22)=0.2×0.2=0.04

所以X的分布列為

X 16 17 18 19 20 21 22 P 0.04 0.16 0.24 0.24 0.2 0.08 0.04

（2）由（1）知P(X≤18)=0.44，P(X≤19)=0.68，故n的最小值為19。

（3）記Y表示2臺(tái)機(jī)器在購買易損零件上所需的費(fèi)用（單位：元）。

當(dāng)n=19時(shí)，E(Y)=19×200×0.68+(19×200+500)×0.2+(19×200+2×500)×0.08+(19×200+3×500)×0.04=4040.

當(dāng)n=20時(shí)，E(Y)=20×200×0.88+(20×200+500)×0.08+(20×200+2×500)×0.04=4080.

可知當(dāng)n=19時(shí)所需費(fèi)用的期望值小于n=20時(shí)所需費(fèi)用的期望值，故應(yīng)選n=19。

練習(xí)2：（2018長(zhǎng)郡中學(xué)高三選拔考試）某地4個(gè)蔬菜大棚頂部，陽光照在一棵棵茁壯生長(zhǎng)的蔬菜上，這些采用水培、無土栽培方式種植的各類蔬菜，成為該地區(qū)居民爭(zhēng)相購買的對(duì)象，過去50周的資料顯示，該地周光照量X（小時(shí)）都在30以上，其中不足50的周數(shù)大約5周，不低于50且不超過70的周數(shù)大約有35周，超過70的大約有10周，因蔬菜大棚對(duì)光照要求較大，某光照控制儀商家為應(yīng)對(duì)惡劣天氣對(duì)光照的影響，為該基地提供了部分光照控制儀，該商家希望安裝的光照控制儀盡可能運(yùn)行，但每周光照控制儀最多可運(yùn)行臺(tái)數(shù)受周光照量X限制，并有如下關(guān)系：

?

若某臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，則該臺(tái)光照儀周利潤(rùn)為4000元；若某臺(tái)光照儀未運(yùn)行，則該臺(tái)光照儀周虧損500元，欲使商家周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大，應(yīng)安裝光照控制儀多少臺(tái)？

解析：記商家總利潤(rùn)為Y元，由已知條件可知至少需安裝1臺(tái)，

（1）若安裝1臺(tái)光照控制儀可獲得周利潤(rùn)4000元；

（2）若安裝2臺(tái)光照控制儀：

當(dāng)X＞70時(shí)，一臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)Y=4000-500=3500元，

當(dāng)30＜X≤70時(shí)，兩臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)Y=4000+4000=8000元，

故Y的分布列為

Y 3500 8000 P 0.2 0.8

所以EY=3500×0.2+8000×0.8=7100元，

（3）若安裝3臺(tái)光照控制儀：

當(dāng)X＞70時(shí)，一臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)Y=4000-1000=3000元，

當(dāng)50≤X≤70時(shí)，兩臺(tái)光照控制儀運(yùn)行，此時(shí)Y=4000+4000-500=7500元，

當(dāng)30＜X＜50時(shí)，三臺(tái)光照控制儀都運(yùn)行，此時(shí)Y=4000+4000+4000=12000元，

故Y的分布列為

Y 3000 7500 12000 P 0.2 0.7 0.1

所以EY=3000×0.2+7500×0.7+12000×0.1=7050元，

綜上，為使商家周總利潤(rùn)的均值達(dá)到最大應(yīng)該安裝2臺(tái)光照控制儀。

設(shè)計(jì)意圖：進(jìn)一步加強(qiáng)學(xué)生的信息提取能力和數(shù)據(jù)處理能力，加深分類討論意識(shí)，鞏固基礎(chǔ)。

七、教學(xué)反思

高考二輪復(fù)習(xí)備考中，我們主要以專題形式對(duì)高考中的重點(diǎn)、熱點(diǎn)進(jìn)行復(fù)習(xí)，幫助學(xué)生查漏補(bǔ)缺，建立完整的高考應(yīng)試的知識(shí)方法體系，在離散型隨機(jī)變量及其分布列大題的第（2）問中，近幾年?？紝懗鲭x散型隨機(jī)變量及其分布列，以其期望為依據(jù)來進(jìn)行決策，學(xué)生往往對(duì)這一類文字多、信息量大的題目束手無策。

學(xué)生出錯(cuò)的根源有以下兩點(diǎn)：

第一，審題不清，無法正確理解題意，無法找到題目中多個(gè)變量之間的聯(lián)系；

第二，分類標(biāo)準(zhǔn)不清楚，無法進(jìn)行完整的分類討論。

現(xiàn)在高考都是以核心素養(yǎng)命題，縱觀近幾年的高考題，概率統(tǒng)計(jì)大題文字多、信息量大，需要學(xué)生在有限的時(shí)間內(nèi)提取出和問題相關(guān)的條件，旨在考查對(duì)信息的提取處理能力，因此讀懂題目、提取有用的條件在解答題中尤為重要。

那么，如何快速提取有用的條件呢？

首先，可以從問題出發(fā)，在題目中找尋與問題相同的關(guān)鍵詞，畫出或簡(jiǎn)略羅列條件；其次，抓住題目中變量的個(gè)數(shù)，找出題目中所有和變量有關(guān)的條件，對(duì)條件進(jìn)行梳理，理清變量之間的聯(lián)系；最后，確定隨機(jī)變量可能的取值，寫出分布列。

分類討論是高考必考的一類思想方法，學(xué)生往往對(duì)分類的標(biāo)準(zhǔn)模糊或者分類情況有重復(fù)或者遺漏。分類討論的產(chǎn)生源于我們對(duì)情況的不確定，因此分類的標(biāo)準(zhǔn)就是對(duì)于不確定的事情進(jìn)行討論。例如，對(duì)于例題而言，進(jìn)貨量為300或者400時(shí)，銷售情況是不確定的，銷售情況因與氣溫有關(guān)，有可能酸奶全部售完，也有可能酸奶滯銷，因此，我們就酸奶銷售情況為分類的標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行討論即可。

在今后碰到分布列與決策問題時(shí)，我們可以讓學(xué)生圍繞這4條來考慮問題：

1.題目敘述了一件什么事情？做這件事情的規(guī)則是怎樣的？

2.耐心審題，可適當(dāng)畫出條件或者簡(jiǎn)單羅列條件，弄清隨機(jī)變量是什么。

3.決策問題中，通常以期望（反映了隨機(jī)變量平均取值）為衡量標(biāo)準(zhǔn)，進(jìn)行方案選擇。

4.找出題目中變量的個(gè)數(shù)和變量之間的聯(lián)系。

5.遇到不確定的情況，則就可能出現(xiàn)的情況進(jìn)行分類討論。