反雙紐線三角函數(shù)的兩個最佳不等式*

何曉紅, 李少云

(1.衢州廣播電視大學(xué) 教務(wù)處, 浙江 衢州 324000; 2.溫州廣播電視大學(xué) 教師教學(xué)發(fā)展中心, 浙江 溫州 325000)

一、研究基礎(chǔ)

反雙紐線正弦和反雙紐線雙曲正弦函數(shù)[1]496-505 [2]259的定義分別為：

和

為論述方便,對這兩個函數(shù)的極限值記為：[2]259

和

其中，

是經(jīng)典伽馬函數(shù)[3]1-17,并且

是第一類完全橢圓積分[4]1-10.對實數(shù)a,b,c∈且c≠0,-1,-2….將高斯超幾何函數(shù)F(a,b;c;x)定義為:

其中，當(dāng)a≠0時,(a,0)=1;當(dāng)n∈≡{k:k是正整數(shù)}時,

是移位階乘函數(shù).

另一對反雙紐線三角函數(shù)，即反雙紐線正切函數(shù)和反雙紐線雙曲正切函數(shù)分別定義為[5]77-94：

和

近幾年,反雙紐線三角函數(shù)的性質(zhì)和不等式引起了國內(nèi)外許多研究者的關(guān)注,并取得了豐碩成果.例如:陳超平建立了反雙紐線三角函數(shù)的Wilker和Huygens型不等式[6]673-684

對所有0<|x|<1成立.

還有學(xué)者給出了反雙紐線三角函數(shù)之間的不等式[7]1-14

arctl(x)

對所有x∈(0,1)成立.

本文的主要目的是發(fā)現(xiàn)并證明最佳參數(shù)α1,α2,β1,β2∈(0,1)，使得雙向不等式

α1arcsl(x)+(1-α1)arcslh(x)

α2arctlh(x)+(1-α2)arctl(x)

對所有x∈(0,1)成立.

二、三個引理

為證明本文的主要結(jié)果，需要一些反雙紐線三角函數(shù)的基本知識和三個引理.

我們記下面兩個反雙紐線函數(shù)值為：

根據(jù)反雙紐線三角函數(shù)的定義和求導(dǎo)法則，我們?nèi)菀椎玫剿鼈兊膶?dǎo)數(shù)公式:

引理1設(shè)x1,x2∈且x1

在區(qū)間(x1,x2)內(nèi)也是(嚴格)遞增(遞減)的[8]10.

引理2函數(shù)

φ(x)=(1+x4)3/2+(1-x4)3/2-2

證明:對函數(shù)φ(x)求導(dǎo),可得

(1)

對所有x∈(0,1)成立.注意到：

(2)

所以,引理2容易從式(1)和式(2)得到.

引理3函數(shù)

φ(x)=(1+x4)7/4+(1-x4)7/4-2

證明：對函數(shù)φ(x)求導(dǎo),可得

(3)

對所有x∈(0,1)成立.注意到：

(4)

所以,引理3容易從式(3)和式(4)得到.

三、主要結(jié)果

下面給出本文的主要結(jié)果并證明之.

定理1雙向不等式

α1arcsl(x)+(1-α1)arcslh(x)

(5)

對所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)α1≤(1-σ)/(ω-σ)=0.190 0L和β1≥1/2.

證明:不等式(5)可以寫成：

(6)

簡單計算可得：

(7)

(8)

其中,φ(x)定義在引理2.

(9)

定理2雙向不等式

α2arctlh(x)+(1-α2)arctl(x)

(10)

對所有x∈(0,1)成立，當(dāng)且僅當(dāng)α2≤(1-τ)/(κ-τ)=0.108 9L和β2≥1/2.

證明:不等式(10)可寫成：

(11)

簡單計算可得：

(12)

(13)

其中,φ(x)定義在引理3.

(14)

根據(jù)定理1和2,我們可得到如下最優(yōu)不等式：

定理3雙向不等式

對所有0<|x|<1成立.

四、結(jié) 語

自17世紀末以來，反雙紐線三角函數(shù)得到了深入的研究，許多國內(nèi)外數(shù)學(xué)工作者取得了豐碩的研究成果.本文通過對四個反雙紐線三角函數(shù)的比較，推得了反雙紐線正弦函數(shù)和反雙紐線雙曲正弦函數(shù),以及反雙紐線正切函數(shù)和反雙紐線雙曲正切函數(shù)凸組合的兩個精確不等式，這對進一步研究反雙紐線三角函數(shù)之間的關(guān)系具有重要的理論意義.