基于非仿射隨機波動模型對波動率互換的定價

劉 策, 賈兆麗, 張夢澤

(合肥工業(yè)大學(xué) 數(shù)學(xué)學(xué)院,安徽 合肥 230601)

金融衍生品在金融市場一直有很重要的地位,波動率衍生品是一種特殊的金融衍生品。近年來,人們對于波動率衍生品的關(guān)注度越來越高,當(dāng)前金融市場最普遍的波動率衍生品就是方差互換和波動率互換。

隨機波動率模型在金融計算中起到至關(guān)重要的作用,因為它可以描述金融資產(chǎn)收益率的波動的時變性、波動率聚集以及杠桿效應(yīng)。金融計量文獻(xiàn)中關(guān)于隨機波動率模型的描述很多,最著名的是Heston模型。然而,Heston模型的波動率方程包含的平方根設(shè)定,雖然可以方便得到定價解析式,但忽略了金融時間序列的非線性特征,對于標(biāo)的資產(chǎn)價格波動的描述比較片面。

文獻(xiàn)[1]提出Heston隨機波動模型;文獻(xiàn)[2]基于變換方法,分析了3/2隨機波動模型下的資產(chǎn)定價問題;文獻(xiàn)[3]研究了Heston模型對于波動率產(chǎn)品的定價問題;文獻(xiàn)[4]關(guān)注非仿射隨機波動模型;文獻(xiàn)[5]運用擾動法推導(dǎo)出風(fēng)險中性測度下的標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格lnST的特征函數(shù);文獻(xiàn)[6]對仿射和非仿射隨機波動模型在資產(chǎn)配置影響、期權(quán)定價以及模擬分布等方面進(jìn)行了研究,得出如下結(jié)論:非仿射隨機波動模型在資產(chǎn)價格運動方面比傳統(tǒng)的仿射型隨機波動模型更好,可以使用仿射跳躍隨機波動模型;文獻(xiàn)[7]研究了OU隨機過程下方差互換的定價問題;文獻(xiàn)[8]的研究表明非仿射隨機波動模型對于宏觀經(jīng)濟的重要性;文獻(xiàn)[9-12]表達(dá)了不同的隨機波動率模型對波動率衍生品定價的影響。

本文假設(shè)標(biāo)的資產(chǎn)價格服從非仿射隨機波動率模型,因為非仿射隨機波動率模型的標(biāo)的資產(chǎn)對數(shù)價格分布的特征函數(shù)偏微分方程是非線性的,所以應(yīng)用擾動法,將之前的非線性微分方程轉(zhuǎn)化為線性微分方程,然后完成對離散采樣波動率互換的閉解的研究。

1 波動率互換

波動率互換是一種遠(yuǎn)期合約,它在到期日的損益為:

(1)

(2)

其中:T為合約期限;St為[0,T]時刻內(nèi)標(biāo)的資產(chǎn)的價格。假設(shè)St在[0,T]一共被觀察了N次:t0=0≤t1

(3)

2 波動率互換的定價

2.1 模型建立

假設(shè)St表示資產(chǎn)價格的變動過程,它的瞬時波動率計為vt。在風(fēng)險中性測度下,本文研究的非仿射隨機波動率模型的形式如下:

(4)

其中:r、k、θ、σ、γ均為正常數(shù);r為無風(fēng)險利率;k為波動率均值的回歸速度;θ為資產(chǎn)收益波動率的長期均值;σ為資產(chǎn)收益率波動的波動率;W1t和W2t為2個標(biāo)準(zhǔn)的布朗運動,它們的相關(guān)系數(shù)均為ρ。

當(dāng)γ=1時,(4)式是標(biāo)準(zhǔn)的Heston模型;當(dāng)γ≠1時,(4)式是非仿射隨機波動率模型。

2.2 特征函數(shù)的推導(dǎo)

對于特征函數(shù),文獻(xiàn)[3]給出了隨機變量yt,T=lnST-lnSt(t

f(φ;t,T,v0)=EQ[ejφyt,T|y0,v0]

(5)

設(shè)當(dāng)前的時間為0時刻,j為虛數(shù)單位,這個特征函數(shù)是解決本文定價問題的關(guān)鍵。本節(jié)接下來的主要任務(wù)是繼續(xù)推導(dǎo)這個特征函數(shù)的閉解。

首先,根據(jù)條件期望的平滑性,(5)式可以表示為:

f(φ;t,T,v0)=EQ[EQ[ejφyt,T|yt,vt]|y0,v0]

(6)

其中,0

假設(shè)(6)式內(nèi)部的期望具有解的形式:g(φ;s,T,ys,vs),t≤s≤T。令τ=T-t,由Feynman-Kac定理得:

(7)

邊界條件為:

(8)

顯然,(7)式是一個非線性偏微分方程,一般情況下,很難直接求它的解析解。

文獻(xiàn)[5]提供了擾動法求解,可以將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程,以便求解。將v(γ+1)/2和vγ在v=θ處進(jìn)行一階泰勒展開,可得:

(9)

vγ≈θγ(1-γ)+γθγ-1v

(10)

將(9)式、(10)式代入(7)式,可得:

(11)

此時,(11)式是一個線性偏微分方程;接下來,對(11)式采用待定系數(shù)法求解。特征函數(shù)g(φ;s,T,ys,vs)有如下形式:

g(φ;s,T,ys,vs)=eC(τ)+D(τ)v+jφyt,T

(12)

將(12)式代入(11)式,整理得:

(13)

(14)

(13)式和(14)式是2個常微分方程,分別求解得:

C(τ)=jφrτ-

(d-g)3e-dττ-4d(d-g)(1-e-dτ)]}

(15)

(16)

若t=T,則yT,T=lnST-lnST=0。

于是,可以求出(6)式的內(nèi)部期望。接下來,特征函數(shù)可變?yōu)?

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]

(17)

不妨令h(φ;t,T,s,v0)=EQ[eD(τ)vt|v0],0≤s≤t,再由Feynman-Kac定理得:

(18)

邊界條件為:

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[1],可假設(shè)h(φ;t,T,s,v0)具有仿射形式的解:

(20)

將(20)式代入(18)式,可得:

(21)

(22)

分別求解常微分方程(21)式、(22)式,可得:

(23)

(24)

于是,特征函數(shù)f(φ;t,T,v0)中的關(guān)鍵問題都得到了解決。

最后,令s=0,對f(φ;t,T,v0)的表達(dá)式進(jìn)行整理,可得:

f(φ;t,T,v0)=eC(τ)EQ[eD(τ)vt|v0]=

(25)

于是得到隨機變量yt,T=lnSt-lnST(t

2.3 定價過程

由(3)式不難發(fā)現(xiàn),計算Kvol的關(guān)健是求解表達(dá)式:

(26)

根據(jù)文獻(xiàn)[3],波動率互換的已實現(xiàn)波動率(26)式為:

(27)

其中:p(yti-1,ti)為隨機變量yti-1,ti的向前密度函數(shù);q(yti-1,ti)=eyti-1,ti-r(ti-ti-1)p(yti-1,ti)為它的概率密度函數(shù)。因此

(28)

另一方面,

(29)

再根據(jù)2.2節(jié)對特征函數(shù)的計算,得到波動率互換的定價公式，即

(30)

于是,在非仿射隨機波動率模型下,對波動率互換的定價就完成了。

3 結(jié) 論

隨機波動率模型下的金融資產(chǎn)的定價問題已經(jīng)成為學(xué)術(shù)界的熱點,傳統(tǒng)的仿射型隨機波動模型雖然處理問題有許多便利之處;但實驗表明,非仿射隨機波動率模型比傳統(tǒng)的隨機波動模型能更好地描述資產(chǎn)價格的運動?；趥鹘y(tǒng)波動率模型的處理經(jīng)驗,可利用擾動法將非線性偏微分方程轉(zhuǎn)化為線性偏微分方程,再進(jìn)行求解,最后利用傅里葉變換的原理對波動率期權(quán)進(jìn)行定價。

非仿射隨機波動率模型具有更一般的資產(chǎn)價格描述。未來,可以利用該模型給更多的金融資產(chǎn)進(jìn)行定價。此外,還可以將擾動法進(jìn)行改進(jìn),或?qū)⒎答佋硪氲椒欠律潆S機波動率模型中,或在技術(shù)層面上,通過改進(jìn)的擾動法的泰勒展開近似表達(dá)式,進(jìn)一步提高該模型的定價性能。