黎曼流形上光滑函數(shù)的Hessian在共形度量下的關系式

田大平，汪敏

(江漢大學人工智能學院， 湖北 武漢 430056)

0 引言

黎曼流形上光滑函數(shù)的Hessian，就是對光滑函數(shù)的1次外微分式(約定為1次微分式，即光滑的一階協(xié)變張量場)求協(xié)變微分而得到的一個對稱的二階協(xié)變張量場. 由此， 可以定義黎曼流形上的Hessian算子[1-2]. 對于Hessian算子的研究已有許多不同的結(jié)論. 如Birtea-Com?nescu[3]研究了約束流形上的Hessian算子，Hung-Quy[4]研究了Deltam-次調(diào)和函數(shù)的一些加權(quán)能量類上的m-Hessian算子，Wan-Wang[5]研究了無界m次調(diào)和函數(shù)的復Hessian算子和Lelong數(shù). 另外，對于涉及Hessian算子的其他問題的研究也有很多結(jié)論. 如Covei[6]研究了k-Hessian算子的 Keller-Osserman問題，Xiao-Zhang[7]研究了Hessian算子的等容量估計，Ye[8]討論了球中Hessian算子本征函數(shù)的對數(shù)凸性，Nina-Ivochkina-Nadezhda[9]研究了關于m-Hessian算子理論中的兩個對稱問題, Ferrari-Medina-Peral[10]討論了涉及第2個Hessian算子的雙調(diào)和橢圓問題.

本文中，我們將根據(jù)黎曼流形上Hessian算子和黎曼共形度量的定義，來考慮光滑函數(shù)的Hessian的分量在黎曼共形度量下的關系式.

1 預備知識

定義1.1[1]光滑的一階協(xié)變張量場(即余切向量場)稱為1次微分式.

光滑流形M上的全體1次微分式的集合記為A1(M),即

定義1.2[1]光滑流形M上的一個光滑的r階反對稱協(xié)變張量場稱為M上的一個r次外微分式.

特別約定:M上1次外微分式就是M上的1次微分式，即光滑的一階協(xié)變張量場；M上0次外微分式就是M上的光滑函數(shù).

M上的r次外微分式的集合記作Ar(M).特別地,

若記

則在A(M)上可以定義外微分運算.

定義1.3[1]設M是m維光滑流形，則存在唯一的一個映射

d:A(M)→A(M),

使得對于任意的非負整數(shù)r，有d(Ar(M))?Ar+1(M), 并且滿足以下條件:

1)d是線性的, 即對任意的φ,ψ∈A(M),μ∈R，有

d(φ+μψ)=dφ+μdψ;

2)?φ∈Ar(M),ψ∈A(M),有

d(φ∧ψ)=dφ∧ψ+(-1)rφ∧dψ;

3)?f∈A0(M),df是f的微分；

4) d2=d°d=0.

稱這樣的映射d為外微分(算子).

定義1.4[1]設(M,g)是m維黎曼流形，X∈(M), (U;xi)是M的局部坐標系, 并且若存在映射使得

是與局部坐標系的選取無關的(1,1)型光滑張量場, 則稱映射D為黎曼流形(M,g)上的協(xié)變微分算子.

上式中的函數(shù)

(1)

由度量的分量gij完全確定, 叫做黎曼度量g在局部坐標系(U;xi)下的Christoffel記號.

對于任意f∈C∞(M), 則

對df求協(xié)變微分得到一個二階協(xié)變張量場，記為Hess(f),即

Hess(f)稱為光滑函數(shù)f的Hessian.

在M的局部坐標系(U;xi)下，有

(2)

2 主要定理及證明

這一節(jié), 我們將給出本文中的主要定理, 并且完成定理的證明. 為此, 首先給出下面的引理. 這個引理的結(jié)論在文獻[1]的習題中已經(jīng)給出，但是沒有證明過程. 為了本研究完整性，我們首先證明這個引理.

特別地, 若λ=eρ,ρ∈C∞(M), 則上式成為

引理2.1的證明由(1)式可知

(3)

取λ=eρ,ρ∈C∞(M)代入(3)式，可得

特別地, 若λ=eρ,ρ∈C∞(M), 則上式成為

定理2.2的證明在M的局部坐標系(U;xi)下，由(2)式及引理2.1可得

取λ=eρ,ρ∈C∞(M)代入上式，可得

定理得證.