從數(shù)量關(guān)系入手，巧解倍數(shù)、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題

邢明明

[摘 要]機(jī)械地套用“萬(wàn)能公式”來(lái)解應(yīng)用題無(wú)異于飲鴆止渴，那些根據(jù)漢語(yǔ)語(yǔ)法習(xí)慣提煉的數(shù)學(xué)公式，徒有其表，或許一時(shí)管用，一旦數(shù)量關(guān)系發(fā)生變化，就會(huì)黯然失色，毫無(wú)用處。因此，只有從數(shù)量關(guān)系上著手，才能找到統(tǒng)領(lǐng)各種應(yīng)用題的鎖鏈。

[關(guān)鍵詞]倍數(shù);分?jǐn)?shù);應(yīng)用題;萬(wàn)能公式

[中圖分類號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0094-02

讀完《中小學(xué)數(shù)學(xué)》中刊載的一篇論文《我的“萬(wàn)能公式”》（登載于該刊2014年12期）后，筆者不禁掩卷而思，對(duì)作者的見(jiàn)解欽佩之余，也有自己的一些感觸和不同看法。依筆者多年的教學(xué)實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)來(lái)看，肖老師的“萬(wàn)能公式”確實(shí)能在短期內(nèi)提升學(xué)生在某一知識(shí)區(qū)塊的答題得分（特別是針對(duì)低年級(jí)的倍數(shù)問(wèn)題更是藥到病除），不僅如此，還能大幅提高課堂教學(xué)效率。許多同行也用過(guò)這種“偏方”，收到一些好的反響和令人滿意的結(jié)果，但是到了高年級(jí)，該方法的弊端和危害開(kāi)始顯露，讓人苦不堪言、悔不當(dāng)初。倍數(shù)問(wèn)題中已經(jīng)深入人心的技巧——“知較小數(shù)求較大數(shù)用乘法計(jì)算，知較大數(shù)求較小數(shù)用除法計(jì)算”，到分?jǐn)?shù)領(lǐng)域就不再靈驗(yàn)，學(xué)生用這個(gè)技巧做題屢屢犯錯(cuò)。

后來(lái)我校低、中、高年級(jí)教研組改弦易轍、另起爐灶，統(tǒng)一認(rèn)識(shí)，從“分析數(shù)量關(guān)系”著眼，借助畫(huà)線段圖、摘抄關(guān)鍵條件等，助攻學(xué)生透視題意，徹底肅清“萬(wàn)能公式”不良影響。筆者發(fā)現(xiàn)這樣做反而讓學(xué)生對(duì)知識(shí)掌握得更牢固，理解得更精深，學(xué)生不僅對(duì)低年級(jí)所學(xué)的整倍數(shù)應(yīng)用題的理解更上一層樓，解決高年級(jí)的分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)也是手到擒來(lái)。筆者反思上述現(xiàn)象，查找原因如下。

一、“萬(wàn)能公式”有利有弊

還是以肖老師的例子來(lái)解析：1.A國(guó)有4架F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)，B國(guó)F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)的數(shù)量是A國(guó)的2倍，B國(guó)有多少架F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)？2.A國(guó)有4架F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)，是B國(guó)F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)數(shù)量的2倍，B國(guó)有多少架F-35隱形戰(zhàn)斗機(jī)？

肖老師對(duì)這類整倍數(shù)問(wèn)題的解法做了總結(jié)，即“知較小數(shù)求較大數(shù)用乘法計(jì)算，知較大數(shù)求較小數(shù)用除法計(jì)算”，并進(jìn)一步概括出“求‘是字前面的數(shù)量用乘法，求‘是字后面的數(shù)量用除法”。應(yīng)用現(xiàn)成的公式，學(xué)生審題時(shí)就會(huì)將精力用在甄選公式上，用最省事的辦法解決問(wèn)題，這無(wú)疑削弱了學(xué)生對(duì)數(shù)量關(guān)系的理解，學(xué)生的理解力和分析力就得不到應(yīng)有的鍛煉，對(duì)于將來(lái)繼續(xù)學(xué)習(xí)分?jǐn)?shù)應(yīng)用題也極為不利。再者，這種機(jī)械的斷句拆字規(guī)律到了分?jǐn)?shù)應(yīng)用題就會(huì)失效。

例如，解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題“某國(guó)進(jìn)口300噸原油，使用了[13]，還剩下多少噸原油？”學(xué)生如果認(rèn)為300噸量較大，余下的石油的量肯定偏小，就用“知較大數(shù)求較小數(shù)用除法計(jì)算”來(lái)列式求解，這就大錯(cuò)特錯(cuò)了，分析數(shù)量關(guān)系，列出的正確算式應(yīng)是“300×（1- [13]）”，這與前面的規(guī)律不相符。

又如，解分?jǐn)?shù)應(yīng)用題“市政部門(mén)計(jì)劃增建一條地鐵線，已經(jīng)修了[45]，還剩6千米沒(méi)修，這條地鐵線全長(zhǎng)多少米？”。全長(zhǎng)無(wú)疑是較大數(shù)，剩下的6千米必然是較小數(shù)，學(xué)生如果用“知較小數(shù)求較大數(shù)用乘法計(jì)算”這個(gè)技巧去解答，無(wú)疑又會(huì)出錯(cuò)，正確算式是“6÷（1- [45]）”。

以上兩例告訴我們，以數(shù)的大小來(lái)選擇列式方法，對(duì)低年級(jí)的倍數(shù)問(wèn)題確實(shí)有效，學(xué)生在做題時(shí)屢試不爽，到了高年級(jí)卻頻頻受挫，還會(huì)產(chǎn)生負(fù)遷移，從低年級(jí)的無(wú)往不利到高年級(jí)的無(wú)可奈何，學(xué)生漸漸地就會(huì)陷入困頓。套用所謂的“萬(wàn)能公式”，只不過(guò)是玩弄技巧，雖然短時(shí)間內(nèi)可以取得好的卷面成績(jī)，但是，卻阻礙了學(xué)生思維的健康發(fā)展，讓學(xué)生學(xué)會(huì)投機(jī)取巧，弊大于利。

二、抓住單位“1”才能融會(huì)貫通

要讓學(xué)生把知識(shí)掌握牢靠，唯有追求根本，在分析數(shù)量關(guān)系上下功夫，現(xiàn)以倍數(shù)、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題進(jìn)行對(duì)照辨析。分?jǐn)?shù)應(yīng)用題是從倍數(shù)應(yīng)用題演化而來(lái)的，換言之，倍數(shù)應(yīng)用題是分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的前身和靈魂，所以打通倍數(shù)、分?jǐn)?shù)應(yīng)用題的壁壘，構(gòu)建通用解題結(jié)構(gòu)模型，學(xué)生學(xué)起來(lái)才會(huì)輕松，應(yīng)用時(shí)才能舉一反三、一通百通。

1.從“求甲數(shù)是乙數(shù)的幾倍”擴(kuò)展到“求甲數(shù)是乙數(shù)的幾分之幾”

這兩個(gè)問(wèn)題可以歸為一類，數(shù)量關(guān)系的對(duì)應(yīng)方式一樣，只是從“整數(shù)倍”拓展到“分?jǐn)?shù)倍”，倍數(shù)既可以是整數(shù)也可以是分?jǐn)?shù)?！皫妆丁迸c“幾分之幾”的說(shuō)法不一樣，但是本質(zhì)都是表示一個(gè)數(shù)與另一個(gè)數(shù)的倍率關(guān)系，學(xué)生掌握了比較的方法，問(wèn)題就變得簡(jiǎn)單了。乙是參照量，甲是相對(duì)量，用“甲數(shù)÷乙數(shù)”得出的都是比較后的倍率，只不過(guò)結(jié)果小于1（甲小于乙），就說(shuō)幾分之幾，大于1（乙小于甲）就說(shuō)幾倍，換湯不換藥。

2.從“求某數(shù)的幾倍是多少”擴(kuò)展到“求某數(shù)的幾分之幾是多少”“求比某數(shù)多（或少）幾分之幾的數(shù)是多少”

上述問(wèn)題同樣屬于一類，用倍數(shù)來(lái)表述，就是“求幾個(gè)幾是多少”，用分?jǐn)?shù)來(lái)表述，先要將參考量視為單位“1”，再來(lái)求這個(gè)單位“1”的幾分之幾的對(duì)應(yīng)量是多少。這類問(wèn)題一律可以運(yùn)用乘法的基本意義來(lái)解答。

例如，對(duì)問(wèn)題“超市進(jìn)貨200千克冷鮮肉，當(dāng)天賣出[15]，當(dāng)天賣出了多少千克？”，教師可引導(dǎo)學(xué)生抓住關(guān)鍵詞“賣出”，讓學(xué)生明白是賣出200千克的[15]。這里是將200千克的冷鮮肉總量視為單位“1”，根據(jù)分?jǐn)?shù)乘法的意義，列式“200×[15]”。

又如，對(duì)問(wèn)題“某煤礦4月份采煤60噸，5月份采煤量比4月份增長(zhǎng)[16]，5月份采煤多少噸？”，同樣可以抓住關(guān)鍵句“5月份采煤量比4月份增長(zhǎng)[16]”，讓學(xué)生明白是在4月份的基礎(chǔ)上增長(zhǎng)，將4月份采煤量看作單位“1”，5月份的采煤量就是在此基礎(chǔ)上多出它的[16]，列式為“60×（1+ [16]）”?？梢钥闯?，條件雖然變得復(fù)雜了，但數(shù)量關(guān)系依然清晰。

三、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)分率才能逆向思考

倍數(shù)應(yīng)用題與分?jǐn)?shù)應(yīng)用題可以統(tǒng)一簡(jiǎn)略地理解為“把某數(shù)平均分成幾份，求一份，用除法計(jì)算”?！耙阎硵?shù)的幾分之幾是多少，求某數(shù)”與“已知比某數(shù)多（少）幾分之幾的數(shù)是多少，求某數(shù)”問(wèn)題，采取除法解題，注意找準(zhǔn)已知量，并精準(zhǔn)確定其“對(duì)應(yīng)的分率”。

例如，對(duì)問(wèn)題“國(guó)內(nèi)某著名手機(jī)代工廠今年接收手機(jī)芯片加工訂單720萬(wàn)份，比去年增加了，去年接收訂單多少萬(wàn)份？”。此題中，“比去年增加了”可以轉(zhuǎn)化為“是去年的（1+ ）倍”，即“720萬(wàn)份是去年的（1+ ）倍，求去年接收訂單多少萬(wàn)份”。

由此例可知，解決分?jǐn)?shù)應(yīng)用題時(shí)逆轉(zhuǎn)思路，就能切換成倍數(shù)應(yīng)用題，分?jǐn)?shù)應(yīng)用題其實(shí)就是倍數(shù)應(yīng)用題的擴(kuò)充，轉(zhuǎn)換的關(guān)鍵在于找準(zhǔn)“對(duì)應(yīng)的分率”，解題方法與倍數(shù)應(yīng)用題有異曲同工之妙。

總之，應(yīng)用題的教學(xué)，找準(zhǔn)數(shù)量關(guān)系是關(guān)鍵，抓住這一根本，引導(dǎo)學(xué)生對(duì)比分析、類比歸納，把“各自為政”的應(yīng)用題歸為一統(tǒng)，使學(xué)生的思路更開(kāi)闊，思維水平得到質(zhì)的飛升。

（責(zé)編 楊偲培）