到底該如何尋找排列規(guī)律

褚克艷

[摘 要]對(duì)于某些操作性強(qiáng)的知識(shí)，學(xué)生可以通過(guò)操作無(wú)師自通，教師的作用看似不大，殊不知，這正是教師轉(zhuǎn)換角色、轉(zhuǎn)變職能的時(shí)機(jī)。教師要深入辨析學(xué)生對(duì)某些知識(shí)是否已經(jīng)徹底弄懂，從而適當(dāng)點(diǎn)撥。

[關(guān)鍵詞]規(guī)律;排列;基本循環(huán)組

[中圖分類(lèi)號(hào)] G623.5[文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼] A[文章編號(hào)] 1007-9068（2021）29-0035-02

在觀摩公開(kāi)課“尋找排列規(guī)律”時(shí)，筆者發(fā)現(xiàn)一個(gè)有趣的現(xiàn)象：幾乎每位教師對(duì)這節(jié)課的教學(xué)都駕輕就熟，每位學(xué)生的表現(xiàn)也是可圈可點(diǎn)，學(xué)得非常透徹扎實(shí)。筆者曾大膽設(shè)想：這節(jié)課倘若教師“無(wú)為而治”，學(xué)生單憑自學(xué)能否發(fā)現(xiàn)其中的規(guī)律？對(duì)于一些簡(jiǎn)單問(wèn)題，學(xué)生能夠獨(dú)立解決嗎？由此，筆者進(jìn)行了一次測(cè)試。測(cè)試使用的題目來(lái)源于課本中的“練一練”（如下所示）。測(cè)試時(shí)間限定為6分鐘，測(cè)試對(duì)象為五年級(jí)某班學(xué)生，學(xué)生當(dāng)堂做完所有題目，筆者親自督考，待學(xué)生答題完畢后當(dāng)場(chǎng)收卷。

根據(jù)一定的規(guī)律，推測(cè)出每組第32個(gè)圖案是什么，并填寫(xiě)在題后的括號(hào)里。

結(jié)果令人喜出望外：全班44名學(xué)生中，共有38人做對(duì)了這3道測(cè)試題，約占全班人數(shù)的86.4%。而且他們采用的方法均是除法求余，先找出基礎(chǔ)循環(huán)組，數(shù)出其含有各種圖案的數(shù)量，然后用32除以這個(gè)基本組的圖形數(shù)量，所得余數(shù)是幾，就是基本循環(huán)組中的第幾個(gè)圖形。大家都很聰明，沒(méi)有費(fèi)勁地去一個(gè)個(gè)畫(huà)圖。然而仍有6人做錯(cuò)了，約占全班被測(cè)人數(shù)的13.6%。這6人其實(shí)只錯(cuò)了一道題，其中3人列出了正確的算式，只是最后的計(jì)算結(jié)果出現(xiàn)錯(cuò)誤，有1人則是粗心大意出錯(cuò)，其余2人則是一竅不通，只是想當(dāng)然地認(rèn)為哪個(gè)圖形出現(xiàn)的次數(shù)多，要填的圖形就是哪個(gè)。整體來(lái)看，多數(shù)學(xué)生都能做到無(wú)師自通。

一、調(diào)低測(cè)試年級(jí)帶來(lái)的收獲

筆者再次大膽設(shè)想：如果將這些題拿來(lái)測(cè)試四年級(jí)的學(xué)生，又會(huì)是怎樣一番景象呢？于是，筆者用同一套試題來(lái)考查四年級(jí)學(xué)生，樣本容量為一個(gè)班，得出的結(jié)果與五年級(jí)的驚人的相似。筆者又想：如果用這套題來(lái)考查三年級(jí)學(xué)生，結(jié)果又會(huì)怎樣呢？于是，筆者再次在三年級(jí)測(cè)試同一套測(cè)評(píng)卷，得到如下結(jié)果：全班48名學(xué)生中，有37人做對(duì)，約占全班人數(shù)的77.1%。其中，采用除法求余算術(shù)方法的有29人，約占全班人數(shù)的60.4%;按照排列規(guī)則和次序，一個(gè)一個(gè)將32個(gè)圖案依次畫(huà)出的有8人，約占全班人數(shù)的16.7%。而做錯(cuò)的有11人，約占全班人數(shù)的22.9%。其中，只做錯(cuò)1題的有9人，約占全班人數(shù)的18.8%;做錯(cuò)2題的有2人，約占全班人數(shù)的4.2%。在采用的解題策略上，有12人不約而同地采用了一一畫(huà)圖的方法，這樣做的人占到全班人數(shù)的25%，其中有5人做錯(cuò)6題;采用除法求余法的有36人，占答題總?cè)藬?shù)的75%，其中有7人盡管列出了正確的算式，但卻功虧一簣，不知道余數(shù)對(duì)應(yīng)基本循環(huán)組中的第幾個(gè)圖案。

二、調(diào)查結(jié)果引發(fā)的思考

對(duì)于“尋找排列規(guī)律”，四、五年級(jí)的學(xué)生在日?；顒?dòng)中接觸較多，他們積累了豐富的直接經(jīng)驗(yàn)和認(rèn)知表象，如每天的作息時(shí)間表、每周的課表、列車(chē)時(shí)刻表等。加之在以前的一些學(xué)習(xí)中對(duì)找規(guī)律也有所涉獵，積累了一定的經(jīng)驗(yàn)，對(duì)找規(guī)律形成了自己的一套辦法，有了自己的心得和秘訣。因此，這些學(xué)生在“尋找規(guī)律”時(shí)，能夠眼疾手快地發(fā)現(xiàn)規(guī)律，并能準(zhǔn)確無(wú)誤地運(yùn)用規(guī)律。對(duì)于三年級(jí)學(xué)生來(lái)說(shuō)，他們?cè)谡乙?guī)律方面則稍欠火候，能力薄弱。一些學(xué)生模模糊糊感到有規(guī)律，但是很朦朧，也很迷糊，受年齡和經(jīng)驗(yàn)“拖后腿”，他們尚未找到簡(jiǎn)明的解題之法，對(duì)除法的意義還是一知半解、似懂非懂，更遑論運(yùn)用自如、融會(huì)貫通。不少三年級(jí)學(xué)生的思維還局限在形象思維層面，必須親眼看到才能得出答案，缺乏想象推理能力，無(wú)法抽象、整體、變化地看待問(wèn)題，只能逐個(gè)推演出結(jié)果。因此，筆者認(rèn)為在三年級(jí)編排“尋找排列規(guī)律”較為合適。如此安排可以把學(xué)生的生長(zhǎng)點(diǎn)卡在最近發(fā)展區(qū)，趁機(jī)發(fā)展學(xué)生的推理想象力和抽象思維能力。因?yàn)槿昙?jí)學(xué)生已學(xué)過(guò)除法的意義，對(duì)除法運(yùn)算也能做到熟能生巧，算法和技巧都具備一定的根底，此時(shí)教學(xué)“尋找排列規(guī)律”正當(dāng)時(shí)，不僅能幫助學(xué)生夯實(shí)除法的概念，還能讓學(xué)生初步嘗試數(shù)學(xué)建模的滋味，讓學(xué)生見(jiàn)識(shí)到數(shù)形結(jié)合的魅力。一個(gè)圖案排列問(wèn)題完全轉(zhuǎn)化成算術(shù)計(jì)算問(wèn)題，這個(gè)規(guī)律完全可以用數(shù)字代表，進(jìn)而嘗試找規(guī)律。筆者還認(rèn)為，“尋找排列規(guī)律”甚至可以提前至“植樹(shù)問(wèn)題”前，因?yàn)椤爸矘?shù)問(wèn)題”中蘊(yùn)含的規(guī)律比“尋找排列規(guī)律”蘊(yùn)含的規(guī)律更加復(fù)雜，更難以掌握。先教學(xué)“尋找排列規(guī)律”，不僅便于學(xué)生掌握用算術(shù)方法來(lái)推算和揭示圖形排列規(guī)律，而且能讓“植樹(shù)問(wèn)題”中間隔數(shù)與植樹(shù)棵數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)系變得更加明朗，有利于學(xué)生在一一對(duì)應(yīng)的基礎(chǔ)上推斷加1還是減1。

三、改進(jìn)教學(xué)的幾個(gè)建議

1.要切實(shí)重視“找”的過(guò)程。要讓學(xué)生反復(fù)感受規(guī)律，揣摩其中規(guī)律。根據(jù)問(wèn)卷調(diào)查反饋，一些學(xué)生根本沒(méi)有找到基本循環(huán)組，而是看題目中出現(xiàn)幾個(gè)圖案，就把它定為一個(gè)周期。例如，把題（1）中所展示的9個(gè)圖案定為一個(gè)基本循環(huán)組，把題（2）中所展示的8個(gè)圖案定為一個(gè)基本循環(huán)組……這警示教師：一定要讓學(xué)生實(shí)事求是地琢磨出其中的規(guī)律，準(zhǔn)確無(wú)誤地找到基本循環(huán)組;要指導(dǎo)學(xué)生學(xué)會(huì)觀察和表達(dá)，反復(fù)比照和核對(duì)，精準(zhǔn)鎖定基本循環(huán)組。教師還要學(xué)會(huì)變通處理，如在題（1）中的第9個(gè)圖形后添加1個(gè)“△”和1個(gè)“○”，讓學(xué)生重新尋找基本循環(huán)組，以訓(xùn)練學(xué)生對(duì)規(guī)律變化的辨別力。

2.要及時(shí)滲透轉(zhuǎn)化思想。調(diào)查發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生執(zhí)拗地堅(jiān)持畫(huà)圖法，筆者認(rèn)為這是轉(zhuǎn)化思想滲透不足所致。教師要?jiǎng)?chuàng)設(shè)有趣、具有挑戰(zhàn)性的情境，以激起學(xué)生的探究動(dòng)機(jī)和熱情，促使學(xué)生多方尋找圖形排列中蘊(yùn)含的規(guī)律。如上題可以設(shè)計(jì)這樣的問(wèn)題：按照各組圖案的排列規(guī)律，分別畫(huà)出每組的第132、320個(gè)圖案。在學(xué)生犯難時(shí)，教師可以趁機(jī)引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行轉(zhuǎn)化，將困難、生疏、棘手的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為容易、熟悉、順手的問(wèn)題。這樣，學(xué)生就能感受到轉(zhuǎn)化法的巨大魅力，從而愿意學(xué)習(xí)和運(yùn)用轉(zhuǎn)化思想去解決問(wèn)題。

3.要發(fā)展學(xué)生的建模思想。根據(jù)測(cè)評(píng)結(jié)果可以看出，面對(duì)上述問(wèn)題，有的學(xué)生深陷于畫(huà)圖法無(wú)法自拔，原地打轉(zhuǎn);有的學(xué)生先畫(huà)圖，發(fā)現(xiàn)此路不通，于是改用除法求余法;有的學(xué)生一開(kāi)始就用除法計(jì)算……對(duì)于這些生成性的教學(xué)資源，教師可以加以利用，集中展示評(píng)議，穩(wěn)健有序地從復(fù)雜走向簡(jiǎn)單、從具體走向抽象、從特殊走向一般，從圖示法到算術(shù)法，不斷突出數(shù)量關(guān)系的主導(dǎo)性，引導(dǎo)學(xué)生逐步建立一個(gè)除數(shù)為定值的除法求余數(shù)學(xué)模型，從而用余數(shù)來(lái)確定圖案的排列，把思考和推理升華到高級(jí)形態(tài)。

4.要讓學(xué)生體悟到一一對(duì)應(yīng)思想。調(diào)查中還發(fā)現(xiàn)，一些學(xué)生雖然明知該用除法計(jì)算，也確實(shí)求出了余數(shù)，也隱隱約約感到余數(shù)與圖案順序有關(guān)，但就是卡在了最后一步：余數(shù)是數(shù)字，如何確定圖形形狀？這告訴教師學(xué)生還沒(méi)有察覺(jué)到“尋找排列規(guī)律”中蘊(yùn)含的一一對(duì)應(yīng)思想。教師應(yīng)讓學(xué)生明白，尋找基本循環(huán)組至關(guān)重要，各個(gè)基本循環(huán)組里排序相同的圖案都一樣，它們依次不斷地重復(fù)出現(xiàn)。而余數(shù)正好指向基本循環(huán)組中的某個(gè)圖形。教師還可以將圖案的排列方向由橫向改為縱向。

如題（3）中的圖形改變擺放方向：

這樣，學(xué)生容易發(fā)現(xiàn)：除法運(yùn)算的商表示整組數(shù)，余數(shù)是幾，就表示多出幾個(gè)圖案，其中最后一個(gè)圖案就是對(duì)應(yīng)循環(huán)組的第幾個(gè)圖案，沒(méi)有余數(shù)就對(duì)應(yīng)著最后一個(gè)循環(huán)組完結(jié)。

總之，查清學(xué)情，以學(xué)定教，是一條亙古不變的教育真理。

（責(zé)編 吳美玲）