基于奇異值分解的光電跟蹤系統(tǒng)標(biāo)定方法

宋 亞,樊芮鋒,李輝強(qiáng)

(華北光電技術(shù)研究所,北京 100015)

1 引 言

在現(xiàn)代武器系統(tǒng)中,已普遍使用光電系統(tǒng)作為目標(biāo)跟蹤的主要手段,以獲取目標(biāo)的影像和精確位置,從而實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的精確打擊。地面光電跟蹤系統(tǒng)要實(shí)現(xiàn)對(duì)目標(biāo)的動(dòng)態(tài)跟蹤并實(shí)時(shí)得到目標(biāo)的精確位置,必須考慮系統(tǒng)誤差的影響。各種坐標(biāo)系由于定義不同,對(duì)同一目標(biāo)位置的描述也不盡相同,地面光電系統(tǒng)中最重要的兩個(gè)坐標(biāo)系是轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系,轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系是以光電系統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)為中心,大地坐標(biāo)系是以地心為中心,光電系統(tǒng)的標(biāo)定就是確定兩種坐標(biāo)系之間的變換關(guān)系。

本文對(duì)地面光電系統(tǒng)的標(biāo)定方法進(jìn)行了研究。通過對(duì)光電跟蹤系統(tǒng)的誤差定位進(jìn)行分析,確定了影響目標(biāo)定位的主要誤差,在此基礎(chǔ)上給出了光電系統(tǒng)的標(biāo)定流程。利用奇異值分解得到坐標(biāo)變換下旋轉(zhuǎn)矩陣和平移矩陣的表示,在保證標(biāo)定精度的同時(shí),大大降低了算法的運(yùn)算量,實(shí)現(xiàn)大地坐標(biāo)系與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系之間的互相轉(zhuǎn)換；同時(shí)針對(duì)垂直度誤差包含固定俯仰偏差角度的特性,對(duì)系統(tǒng)的標(biāo)定流程進(jìn)行迭代,通過俯仰偏差角的均值疊加,確定了其最終大小,從而得到了系統(tǒng)標(biāo)定的7個(gè)參數(shù)。最后通過基于奇異值分解的標(biāo)定方法對(duì)地面光電跟蹤系統(tǒng)進(jìn)行了標(biāo)定試驗(yàn),驗(yàn)證了提出方法的準(zhǔn)確性。

2 地面光電系統(tǒng)的工作原理

光電跟蹤系統(tǒng)一般由成像傳感器(紅外相機(jī)或可見光相機(jī))、激光測距機(jī)、跟蹤伺服轉(zhuǎn)臺(tái)等組成,完成目標(biāo)的截獲跟蹤,輸出目標(biāo)的方位角、俯仰角和斜距離等信息。跟蹤轉(zhuǎn)臺(tái)是一個(gè)三軸系統(tǒng),方位軸垂直向上,控制俯仰軸在方位方向運(yùn)動(dòng)；俯仰軸與方位軸正交,控制成像傳感器光軸在高低方向運(yùn)動(dòng)；光軸與俯仰軸正交,它隨著方位軸和俯仰軸的轉(zhuǎn)動(dòng)而運(yùn)動(dòng),對(duì)目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。

光電跟蹤系統(tǒng)具有兩種跟蹤方式:自動(dòng)跟蹤和引導(dǎo)跟蹤,其中自動(dòng)跟蹤是光電系統(tǒng)本身探測到目標(biāo),從而對(duì)目標(biāo)進(jìn)行捕獲和自動(dòng)跟蹤；引導(dǎo)跟蹤表示系統(tǒng)接收到來自外部(雷達(dá)或無線電設(shè)備)的目標(biāo)位置信息,轉(zhuǎn)動(dòng)轉(zhuǎn)臺(tái),將光軸指向目標(biāo)進(jìn)行跟蹤。因此對(duì)于光電系統(tǒng)的標(biāo)定來說,不僅涉及到光電系統(tǒng)本身對(duì)于目標(biāo)探測位置的準(zhǔn)確性,也涉及到雷達(dá)等設(shè)備對(duì)光電系統(tǒng)引導(dǎo)位置的準(zhǔn)確性。

目標(biāo)定位精度是衡量光電系統(tǒng)性能優(yōu)劣的重要指標(biāo),通過空間坐標(biāo)變換的方式,將目標(biāo)的指向信息和載體的導(dǎo)航信息換算得到目標(biāo)的地理信息(即大地坐標(biāo):經(jīng)度、緯度、高程)。因此光電系統(tǒng)的標(biāo)定需要實(shí)現(xiàn)轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,從而得到目標(biāo)的真實(shí)地理信息；同時(shí)對(duì)于引導(dǎo)跟蹤方式,需要實(shí)現(xiàn)大地坐標(biāo)系到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,從而準(zhǔn)確引導(dǎo)光電系統(tǒng)進(jìn)行跟蹤。

3 地面光電系統(tǒng)的誤差分析

對(duì)于地面光電跟蹤系統(tǒng)來說,其目標(biāo)定位的過程涉及到光電系統(tǒng)本身較多環(huán)節(jié)帶來的誤差,主要包括光學(xué)系統(tǒng)誤差、控制系統(tǒng)誤差、機(jī)械框架誤差等。

光學(xué)系統(tǒng)誤差主要是指系統(tǒng)在觀測目標(biāo)過程中單一傳感器自身光軸晃動(dòng)帶來的誤差[1-2],主要原因包括:光學(xué)元件和配套機(jī)械件在加工和裝配時(shí)產(chǎn)生的誤差；存在運(yùn)動(dòng)的光學(xué)元件在連續(xù)變焦過程中的晃動(dòng)；溫度變化造成的光學(xué)元件的變形或微小移動(dòng)等。光機(jī)原件的加工誤差依靠加工精度保證,裝配誤差依靠裝配工藝保證,在完成裝配后,一般光軸偏移較為固定,且可通過調(diào)整探測器位置來保證光軸的一致性。光軸晃動(dòng)誤差為隨機(jī)誤差,很難進(jìn)行校正或補(bǔ)償,需要在設(shè)計(jì)初期的光機(jī)設(shè)計(jì)和選型過程中予以控制。溫度變化誤差需要提前獲得不同溫度下光學(xué)元件的位置補(bǔ)償數(shù)據(jù),此誤差一般溫度重復(fù)性較好,可通過安裝溫度傳感器實(shí)時(shí)獲得元件溫度并加以補(bǔ)償來消除誤差。

控制系統(tǒng)誤差是指系統(tǒng)本身的伺服控制裝置的誤差,其會(huì)受到控制策略、機(jī)械特性、不平衡力矩、電氣參數(shù)波動(dòng)等多種不確定性因素的影響[1-2]。在標(biāo)定過程中,由于控制系統(tǒng)穩(wěn)定精度的影響,和圖像跟蹤器誤差(如處理算法、輸出延時(shí)誤差等)的干擾,存在無法將傳感器視場中心放置于目標(biāo)中心的情況,導(dǎo)致誤差的產(chǎn)生,其大小能夠通過圖像檢測目標(biāo)脫靶量來直接判讀,因此本文的標(biāo)定過程忽略此誤差。

本文對(duì)于光電跟蹤系統(tǒng)的標(biāo)定主要是針對(duì)機(jī)械框架的誤差進(jìn)行求解。針對(duì)典型的機(jī)械框架,其通常具有3根軸線:光軸、俯仰軸和方位軸,理想情況下各軸線應(yīng)滿足光軸垂直于俯仰軸；俯仰軸垂直于方位軸；方位軸垂直于基座安裝平面。由于加工、裝配和調(diào)校精度等因素限制,各軸線不可能完全滿足上述條件,因此其存在的誤差主要包括以下幾種:

1)零位誤差。零位誤差是指編碼器裝配完成后,編碼器的零位線與設(shè)計(jì)的機(jī)械框架軸線的不一致,從而影響測量角度的真實(shí)性。即使在裝配過程中仔細(xì)裝配,零位誤差也很難消除,對(duì)于方位軸而言,可以通過系統(tǒng)的偏北修正將此誤差覆蓋；對(duì)于俯仰軸而言,零位誤差將會(huì)使得系統(tǒng)的俯仰零位發(fā)生偏移,導(dǎo)致俯仰讀數(shù)與實(shí)際讀數(shù)存在一固定偏差,因此標(biāo)定過程中需要考慮此固定俯仰偏差角。

2)回轉(zhuǎn)誤差。由于軸承、軸承座孔等的制造誤差、配合質(zhì)量以及旋轉(zhuǎn)時(shí)的動(dòng)力因素的影響,造成回轉(zhuǎn)軸線的空間位置發(fā)生變化,即回轉(zhuǎn)誤差?；剞D(zhuǎn)誤差客觀存在于加工和裝配過程中,若要減少誤差,一般需提高回轉(zhuǎn)精度的措施為設(shè)計(jì)、加工主軸部件時(shí)提高精度,或增加軸承的預(yù)緊部件。目前通過上述方法,可將回轉(zhuǎn)誤差限制在較小范圍內(nèi),但由于其隨機(jī)性,不能全部消除或補(bǔ)償。

3)垂直度誤差。因裝配引起的常值系統(tǒng)誤差,即垂直度誤差,其為不受回轉(zhuǎn)誤差影響的、平行軸線之間的系統(tǒng)誤差項(xiàng)。系統(tǒng)的俯仰軸和方位軸是系統(tǒng)的主軸系,假定其機(jī)械加工的精度是滿足要求的,因此方位軸與俯仰軸是互相垂直的；而光軸與俯仰軸之間的關(guān)系取決于傳感器的安裝精度,可能會(huì)由于裝配板加工、安裝精度導(dǎo)致其與俯仰軸平面之間存在夾角,且為一固定俯仰偏差角度；同時(shí)光軸與俯仰軸之間的誤差導(dǎo)致傳感器的坐標(biāo)原點(diǎn)與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)原點(diǎn)存在偏移,使得傳感器觀測到的位置與轉(zhuǎn)臺(tái)讀數(shù)存在偏差,因此需要將轉(zhuǎn)臺(tái)的坐標(biāo)原點(diǎn)與傳感器的坐標(biāo)原點(diǎn)重合,或進(jìn)行坐標(biāo)轉(zhuǎn)換來校正誤差。

4)基座安裝誤差。地面光電系統(tǒng)一般會(huì)安裝在地面支架上,需要通過對(duì)支架的調(diào)平來保證方位軸垂直于基座安裝平面,但是當(dāng)安裝支架沒有調(diào)平到一定精度內(nèi),安裝誤差是無法消除的,因此在此標(biāo)定過程中同樣需要解決。

因此,為了實(shí)現(xiàn)對(duì)地面光電系統(tǒng)的標(biāo)定,需要考慮零位誤差和垂直度誤差帶來的固定俯仰偏移角度；同時(shí)針對(duì)傳感器原點(diǎn)的偏移帶來的垂直度誤差,需要通過平移將傳感器原點(diǎn)與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的原點(diǎn)重合；針對(duì)光電系統(tǒng)的調(diào)平精度不足帶來的基座安裝誤差,需要通過旋轉(zhuǎn)來得到光電系統(tǒng)的歐拉角。

4 系統(tǒng)標(biāo)定的原理

假設(shè)a={p1,p2,…,pn}和A={P1,P2,…,Pn}是轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系、大地坐標(biāo)系兩組空間中的對(duì)應(yīng)點(diǎn)集,根據(jù)兩組點(diǎn)集數(shù)據(jù)來計(jì)算兩者之間的轉(zhuǎn)換信息,可知[3-4]:

A=R×(a+T)

(1)

其中,R為轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣;T為平移矩陣,將其轉(zhuǎn)換為最小二乘求最優(yōu)問題,上式可以用如下目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行描述:

(2)

其中,wi>0表示對(duì)每個(gè)點(diǎn)的權(quán)重。

4.1 計(jì)算平移矩陣

假定上式中的R為不變量,對(duì)T進(jìn)行求導(dǎo)可得:

(3)

4.2 計(jì)算旋轉(zhuǎn)矩陣

將公式(3)代入公式(2)中,可得:

(4)

在旋轉(zhuǎn)矩陣是正交矩陣的基礎(chǔ)上[5],公式(4)可以簡化為:

(5)

其中,S=ΨWZT,對(duì)S進(jìn)行奇異值分解,令svd(S)=UDVT,公式(5)可以轉(zhuǎn)換為:

因此,Γ=VTRU為正交矩陣,從而tr(DVTRU)≤tr(D)。

顯然,為了實(shí)現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)的最大化,矩陣Γ必然是單位矩陣,從而旋轉(zhuǎn)矩陣可以表示為:

R=VUT

(6)

4.3 求解歐拉角

旋轉(zhuǎn)矩陣是一個(gè)3×3的正交矩陣,有3個(gè)自由度,為了便于描述,將其轉(zhuǎn)換為歐拉角,即通過旋轉(zhuǎn)矩陣來求解繞一個(gè)三維坐標(biāo)系的三個(gè)基軸旋轉(zhuǎn)的3個(gè)歐拉角度。給出參考坐標(biāo)系如圖1所示,以右手定則為正,3個(gè)歐拉角度分別表示為繞X軸旋轉(zhuǎn)的橫滾角γ、繞Y軸旋轉(zhuǎn)的俯仰角β、繞Z軸旋轉(zhuǎn)的偏差角α[5]。

圖1 X-Y-Z固定坐標(biāo)系Fig.1 X-Y-Z fixed coordinate system

針對(duì)轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系和大地坐標(biāo)系之間的旋轉(zhuǎn),采用外旋作為坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)方式,坐標(biāo)系圍繞已經(jīng)固定的軸轉(zhuǎn)動(dòng),全程原坐標(biāo)系不動(dòng)。同時(shí)按照“X-Y-Z”的旋轉(zhuǎn)順序,先將a的坐標(biāo)系繞A的坐標(biāo)系X軸旋轉(zhuǎn)γ角,再繞A的坐標(biāo)系Y軸旋轉(zhuǎn)β角,最后繞A的坐標(biāo)系Z軸旋轉(zhuǎn)α角。旋轉(zhuǎn)矩陣R可以表示為:

R=Rz(α)×Ry(β)×Rx(γ)

根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣R的表示,可以求出三個(gè)歐拉角的表示。

4.4 兩坐標(biāo)系相互轉(zhuǎn)換

對(duì)于系統(tǒng)標(biāo)定,上述通過奇異值分解得到的歐拉角只解決了系統(tǒng)本身對(duì)目標(biāo)位置定位的準(zhǔn)確性,實(shí)現(xiàn)了系統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系向大地坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換；針對(duì)引導(dǎo)跟蹤,同樣需要實(shí)現(xiàn)大地坐標(biāo)系向轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換。令大地坐標(biāo)系到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣為R1、平移矩陣為T1,根據(jù)兩個(gè)點(diǎn)集的數(shù)據(jù)來計(jì)算它們之間的剛性轉(zhuǎn)置信息,得到此最小二乘求優(yōu)問題的表達(dá)式為:

(7)

根據(jù)大地轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺(tái)的旋轉(zhuǎn)矩陣,可知其歐拉角的表示為:

由此可以保證引導(dǎo)跟蹤的高精度,提升引導(dǎo)成功率。同時(shí)還可用此種方法驗(yàn)證兩種坐標(biāo)系之間轉(zhuǎn)換順序的正確性,轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為大地坐標(biāo)系需要先平移再旋轉(zhuǎn)；大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)換為轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系需要先旋轉(zhuǎn)再平移。

5 光電跟蹤系統(tǒng)的標(biāo)定流程

根據(jù)上述系統(tǒng)誤差分析,給出光電跟蹤系統(tǒng)的標(biāo)定流程如下:

步驟1:確定三組參考點(diǎn)作為觀測目標(biāo)(根據(jù)原理,取三點(diǎn)即可準(zhǔn)確計(jì)算出標(biāo)定參數(shù)),使用高精度差分GPS得到三組參考點(diǎn)相對(duì)系統(tǒng)位置的方位、俯仰角度,即大地坐標(biāo)系下的坐標(biāo)；

步驟2:使用光電跟蹤系統(tǒng)觀測三組參考點(diǎn)并記錄方位、俯仰角度,即轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)；

步驟3:將兩組坐標(biāo)系下的方位讀數(shù)、俯仰讀數(shù)轉(zhuǎn)為空間直角坐標(biāo)；

步驟4:計(jì)算轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系相對(duì)于大地坐標(biāo)系下的平移矩陣；

步驟5:計(jì)算轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系相對(duì)于大地坐標(biāo)系下的旋轉(zhuǎn)矩陣；

步驟6:根據(jù)公式(1),得到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系轉(zhuǎn)大地坐標(biāo)系的坐標(biāo)點(diǎn)集B,并將其轉(zhuǎn)為大地坐標(biāo)系下的方位、俯仰讀數(shù)；

步驟7:考慮固定俯仰偏移角度的影響,將點(diǎn)集B與點(diǎn)集A的俯仰讀數(shù)差值求平均得到均差meanT,作為偏移角度di(其中i表示循環(huán)的次數(shù))；

步驟8:將轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰角度加上此偏移角度。

步驟9:如果點(diǎn)集B與點(diǎn)集A的方位均方根誤差RMSe1、俯仰均方根誤差RMSe2均小于1×10-7,則根據(jù)旋轉(zhuǎn)矩陣計(jì)算出系統(tǒng)的3個(gè)歐拉角、3個(gè)平移角、1個(gè)偏移角度∑di作為最終系統(tǒng)標(biāo)定的7個(gè)參數(shù)。否則轉(zhuǎn)至步驟3。

6 試驗(yàn)驗(yàn)證與結(jié)果分析

本為了驗(yàn)證以上分析的正確性,以某光電跟蹤系統(tǒng)為例,設(shè)計(jì)標(biāo)定試驗(yàn)來對(duì)給出的標(biāo)定算法精度進(jìn)行驗(yàn)證。首先確定三組參考點(diǎn),得到大地坐標(biāo)系和轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系下的讀數(shù)如表1所示。

表1 參考點(diǎn)的大地坐標(biāo)與轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)Tab.1 Geodetic coordinates of reference pointand turntable coordinates

根據(jù)標(biāo)定流程的步驟4,計(jì)算得到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的平移矩陣為:

T=[-0.1 -0.2 -0.3]T

根據(jù)步驟5,轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的旋轉(zhuǎn)矩陣：

根據(jù)步驟6,計(jì)算得到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系到大地坐標(biāo)系的方位、俯仰讀數(shù)如表2所示。

表2 轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)轉(zhuǎn)換為的大地坐標(biāo)Tab.2 Geodetic coordinates convertedfrom turntable coordinates

根據(jù)步驟7,得到T2和T的俯仰差值的平均值為:

第一次迭代的偏移角度d1為-0.3361。

根據(jù)步驟8,將轉(zhuǎn)臺(tái)俯仰加上meanT值,具體迭代過程描述如表3所示。

表3 求解垂直度誤差的迭代過程Tab.3 Iterative process for solvingperpendicularity errors

因此可知最終系統(tǒng)轉(zhuǎn)臺(tái)轉(zhuǎn)大地的7個(gè)參數(shù)為:

1)平移角:-0.1、-0.2、-0.3

2)歐拉角:-0.3456、-0.5391、-5.9966

3)偏移角:為偏移角度di的和

∑di=-0.3361+0.0404-0.0048+5.5990×10-4-6.7076×10-5+8.0356×10-6=-0.3

通過此7個(gè)參數(shù),進(jìn)行大地坐標(biāo)系到轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換,按照先旋轉(zhuǎn)后平移、再處理偏移角度的順序,給出最終大地坐標(biāo)系轉(zhuǎn)轉(zhuǎn)臺(tái)坐標(biāo)系的誤差結(jié)果:

RMSe1=1.2973×10-14

RMSe2=8.1943×10-15

7 結(jié) 論

本文對(duì)地面光電跟蹤系統(tǒng)的誤差定位進(jìn)行了理論分析,確定影響其目標(biāo)定位精度的誤差因素主要是垂直度誤差、零位誤差、基座安裝誤差等。通過奇異值分解原理得到了坐標(biāo)轉(zhuǎn)換的平移矩陣、旋轉(zhuǎn)矩陣及其歐拉角,并迭代過程確定了垂直度誤差的偏移角大小,給出了光電跟蹤系統(tǒng)的標(biāo)定流程。最后通過試驗(yàn)驗(yàn)證了理論分析的準(zhǔn)確性。此標(biāo)定過程不需要進(jìn)行動(dòng)態(tài)標(biāo)定,簡化了標(biāo)定方法,縮短了標(biāo)定時(shí)間,并提高了系統(tǒng)定位精度,在實(shí)際工程使用時(shí)有很大意義。