光纖F-P腔干涉雙路信號(hào)解包裹相位恢復(fù)

趙 忖,劉徑舟

(1.東北石油大學(xué)秦皇島校區(qū),河北 秦皇島 066004；2.大慶油田有限責(zé)任公司,黑龍江 大慶 163000)

1 引 言

光纖F-P(Fabry-Perot)干涉儀結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單,體積小,抗干擾性好,復(fù)用能力強(qiáng),當(dāng)待測(cè)目標(biāo)與其端面距離發(fā)生變化時(shí),對(duì)導(dǎo)致該變化的物理量靈敏度極高。使用一套光纖F-P干涉儀測(cè)量雙路正弦信號(hào)時(shí),可基于主頻階次算法分別獲取待測(cè)信號(hào)的頻率和幅度[1]。為了全面恢復(fù)雙路正弦信號(hào),還需要獲取其相位信息。由于F-P腔干涉信號(hào)呈三角函數(shù)特性,故需要對(duì)相位解包裹,以期恢復(fù)待測(cè)信號(hào)[2],對(duì)于雙外腔反饋混合干涉信號(hào),分段閾值跳變點(diǎn)檢測(cè)算法解決了重建誤差累積問題,且使得閾值確定更為靈活[3],但上述方法主要用于適度反饋。強(qiáng)反饋時(shí),條紋缺失將導(dǎo)致跳變點(diǎn)缺失,可通過增加補(bǔ)償丟失條紋的算法解決[4-5]。弱反饋時(shí),則無法通過閾值確定得到跳變點(diǎn)。多次希爾伯特變換相位提取法給出了條紋之間的反向點(diǎn)求取方式[6],實(shí)現(xiàn)了弱反饋條件下信號(hào)重構(gòu)。為此,在弱反饋環(huán)境中,對(duì)光纖F-P腔干涉雙正弦信號(hào)進(jìn)行多次解包絡(luò)分離,基于多次希爾伯特變換解包裹相位,利用新的跳變點(diǎn)檢測(cè)算法恢復(fù)待測(cè)信號(hào),并進(jìn)行誤差分析。

2 光纖F-P腔干涉信號(hào)的相位特性

光纖F-P腔干涉測(cè)量微振動(dòng)原理如圖1所示。F-P內(nèi)腔由兩個(gè)鏡面R1和R2構(gòu)成,長(zhǎng)度為L(zhǎng)D。F-P外腔由R2與待測(cè)目標(biāo)M構(gòu)成,長(zhǎng)度為L(zhǎng),隨著待測(cè)目標(biāo)正弦振動(dòng),其位移為ΔL。光波從R1鏡發(fā)出,光電探測(cè)器PD接收F-P腔干涉信號(hào)。

圖1 F-P腔干涉測(cè)量原理Fig.1 Principle of F-P cavity interferometry for micro-vibration measurement

設(shè)波源為:

E(t)=E0exp[i(ωt+φ)]

(1)

式中,E(t)為光波強(qiáng)度;E0為光強(qiáng)初始值;ω為光波初始角頻率;φ為光波初始相位。分析光波傳播過程,可推出F-P腔干涉信號(hào)頻率、功率、相位特性[1]。頻率方程為:

ω0τD=ωτD+Csin(ωτ-arctan(α))

(2)

0式中,ω0、ω分別為系統(tǒng)無反饋和有反饋時(shí)的角頻率;τD、τ分別為光波在內(nèi)、外腔往返一次所需要的時(shí)間;C為光反饋因子;α為線形展寬因子。相位方程為:

φF=φ0-C×sin(φF+arctanα)

(3)

式中,φF、φ0分別為有、無反饋時(shí)的相位。相應(yīng)功率方程為:

PF=P0[1+mcos(φF)]

(4)

式中,m為干涉條紋可見度。將相位方程代入功率方程,得:

PF=P0[1+mcos(φ0-C×sin[φ0-C×sin(φ0…+arctanα)+arctanα])]

(5)

令:

PNor=cos(φ0-C×sin[φ0-C×sin(φ0…

+arctanα)+arctanα])]

(6)

為歸一化功率,則:

PNor=(φ0±2ξπ),ξ=0,±1,±2…

(7)

由上式可知,光纖F-P腔干涉信號(hào)的光強(qiáng)隨著相位的變化以2π為周期變化。相位φ0的變換量為:

Δφ0(t)=ω0Δτext

(8)

式中,Δτext=2ΔL(t)/c為光波傳送時(shí)間變化量,將其與ω0=2πc/λ0代入式(8),得:

(9)

可見,待測(cè)目標(biāo)變化量ΔL(t)為±λ0/2時(shí),相位Δφ0(t)的變化為±2π。即待測(cè)目標(biāo)每發(fā)生半個(gè)波長(zhǎng)移動(dòng)時(shí),產(chǎn)生一個(gè)干涉條紋。

3 光纖F-P腔干涉雙路正弦信號(hào)

雙路正弦信號(hào)反饋光纖F-P腔干涉測(cè)量原理如圖2所示。激光器發(fā)出的光波被分光鏡分成兩部分,分別傳送到兩個(gè)待測(cè)目標(biāo)別M1和M2。設(shè)定目標(biāo)1的峰峰值2 μm、頻率60 Hz；目標(biāo)2峰峰值4 μm、頻率為0.5 Hz。選取λ0=1550 nm,C=0.5,α=4.6。

圖2 光纖F-P干涉兩路微振動(dòng)測(cè)量原理Fig.2 Principle of micro-vibration measurement offiber F-P interferometry

在弱反饋環(huán)境中,為了降低環(huán)境高頻噪聲的影響,采用巴特沃斯低通濾波器對(duì)光纖F-P腔干涉信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理。巴特沃斯濾波器幅度平方特性為:

(10)

式中:ω為信號(hào)頻率;ωc為截止頻率;N為濾波器階數(shù)。根據(jù)待測(cè)信號(hào)特性,選取截止頻率為1500 Hz,計(jì)算出其階數(shù)N=4。為此得到預(yù)處理后的信號(hào)如圖3所示,小窗口為局部放大圖。

圖3 光纖F-P腔干涉信號(hào)預(yù)處理后波形Fig.3 Waveforms after preprocessing ofinterference signal in fiber F-P cavity

對(duì)圖3可利用其上下包絡(luò)進(jìn)行分解,流程如圖4所示[7],首次分離出的信號(hào)如圖5所示,其中b為上包絡(luò)信號(hào),c為下包絡(luò)信號(hào),a為一路新的低頻信號(hào)。再次分離后得到一路新的高頻信號(hào)如圖6所示。至此,已將F-P腔信號(hào)分解為頻率不同的兩路信號(hào)。

圖4 雙路反饋光纖F-P腔干涉信號(hào)分離流程Fig.4 Decomposition process of interferencesignal in two feedback fiber F-P cavity

圖5 雙路反饋光纖F-P腔干涉信號(hào)的分離Fig.5 Separation of interference signals indouble feedback fiber F-P cavity

圖6 分離出的較高頻率的一路信號(hào)Fig.6 The separated signal of higher frequency

4 雙路正弦信號(hào)的解包裹相位恢復(fù)

多次希爾伯特變換相位提取法流程如圖7所示[6],據(jù)此可得到反正切函數(shù)arctan(φF(t)),其將相位φF(t)包裹在-π到π之間。再經(jīng)過反正切解包裹,結(jié)合F-P腔干涉有關(guān)方程,即可恢復(fù)出原始信號(hào)如圖8所示。左、右圖分別為光纖F-P腔干涉信號(hào)分離出的兩路不同頻率信號(hào),圖8(a)中實(shí)線系對(duì)干涉信號(hào)多次取包絡(luò)所得,虛線為多次希爾伯特變換相位提取法所得。圖8(b)中虛線為原始信號(hào),實(shí)線對(duì)應(yīng)相位解包裹恢復(fù)出的信號(hào)。圖8(c)所示為誤差。由圖8可知,對(duì)峰峰值為2 μm、頻率為60 Hz的待測(cè)目標(biāo),其恢復(fù)的最大誤差為0.134 μm；對(duì)峰峰值為4 μm、頻率為0.5 Hz的待測(cè)目標(biāo),其恢復(fù)的最大誤差為0.195 μm。

圖7 多次希爾伯特變換相位提取法流程Fig.7 Block diagram of the multiple Hilbert transform algorithm

圖8 多次希爾伯特變換相位提取法恢復(fù)信號(hào)Fig.4 Signal recovery by multiple Hilbert transform phase extraction

跳變點(diǎn)檢測(cè)也是相位解包裹的重要途徑之一。前已述及,混合干涉信號(hào)條紋與波長(zhǎng)有關(guān),而條紋數(shù)量即跳變點(diǎn)數(shù)量。弱反饋環(huán)境下(C<1),難以通過確定閾值得到跳變點(diǎn),且從信號(hào)波形上不易判定條紋傾斜方向。為此首先對(duì)光纖F-P腔干涉分離后的信號(hào)進(jìn)行求導(dǎo),然后對(duì)求導(dǎo)的信號(hào)做歸一化處理,之后選取上閾值略小于上條紋中最低條紋的最高點(diǎn),選取下閾值略大于下條紋中最高條紋的最低點(diǎn)。將閾值內(nèi)信號(hào)歸零,閾值外的所有點(diǎn)置1或負(fù)1。為了確定門限函數(shù)方向,對(duì)求導(dǎo)信號(hào)取上包絡(luò)和下包絡(luò),再取中間值。

待測(cè)目標(biāo)做正弦振動(dòng)時(shí),每變換一次振動(dòng)方向,條紋方向就反轉(zhuǎn)一次。反轉(zhuǎn)點(diǎn)均在中間值的過零點(diǎn)上,對(duì)應(yīng)位置如圖9中箭頭所示。圖9(b)4線為符號(hào)函數(shù),其正負(fù)與待測(cè)目標(biāo)運(yùn)動(dòng)方向有關(guān)。

圖9 識(shí)別方波圖(a)固定閾值方波(①線)與微分信號(hào)中間值(②線)(b)求得的識(shí)別方波(③線)與中間值確定的門限函數(shù)(④線)Fig.9 Identification square wave diagram(a)square wave withfixed threshold value(line ①)and differential signal intermediatevalue(line ②)(b)obtained from identification square wave(line ③)and threshold function(line ④)determined by intermediate value

為了更清晰的觀察符號(hào)函數(shù)與待測(cè)目標(biāo)移動(dòng)的關(guān)系,將幅度放大后,得到跳變點(diǎn)與待測(cè)目標(biāo)移動(dòng)關(guān)系如圖10(a)所示。符號(hào)函數(shù)為負(fù)值時(shí),待測(cè)目標(biāo)向遠(yuǎn)離PD的方向移動(dòng)；為正值時(shí),向靠近PD的方向移動(dòng)。正方波的極大值與負(fù)方波的極小值構(gòu)成跳變點(diǎn),將正值跳變點(diǎn)置1,負(fù)值跳變點(diǎn)置負(fù)1,得到跳變點(diǎn)如圖10(b)中圓圈所示。在給定區(qū)間獲取離散數(shù)據(jù),通過計(jì)算方程組矩陣,得到每段的樣條插值函數(shù),進(jìn)而獲得在相應(yīng)區(qū)間的三次樣條插值函數(shù),從而恢復(fù)出信號(hào)如圖10(b)中a曲線所示。

圖10 跳變點(diǎn)及信號(hào)重構(gòu)(a)信號(hào)跳變點(diǎn)(b)重構(gòu)信號(hào)(a線)與對(duì)應(yīng)跳變點(diǎn)及其連接折線(b線)Fig.10 Jump point and signal reconstruction(a)signal jump point(b)reconstructed signal(line a)and corresponding jump pointand its connecting broken line(line b)

基于新的跳變點(diǎn)檢測(cè)方法,將從光纖F-P腔干涉信號(hào)多次去包絡(luò)恢復(fù)出的兩路微振動(dòng)信號(hào)與原始信號(hào)對(duì)比如圖11和圖12所示,圖11是分解后相對(duì)較高頻率信號(hào)與原信號(hào)比較,圖12則為相對(duì)較低頻率信號(hào)與原信號(hào)比較。結(jié)果表明,對(duì)于峰峰值2 μm、頻率60 Hz的一路微振動(dòng)信號(hào),最大誤差為0.095 μm；對(duì)于峰峰值4 μm、頻率0.5 Hz的另一路微振動(dòng)正弦信號(hào),最大誤差為0.145 μm。

圖11 分解后相對(duì)較高頻率信號(hào)與原信號(hào)比較Fig.11 The relatively high frequency decomposedsignal is compared with the original signal

圖12 分解后相對(duì)較低頻率信號(hào)與原信號(hào)比較Fig.12 The relatively low frequency decomposedsignal is compared with the original signal

5 結(jié) 論

(1)雙路正弦信號(hào)反饋到光纖F-P腔干涉后,通過解包裹相位,可較全面的將其恢復(fù)。

(2)通過多次希爾伯特變換相位提取法恢復(fù)雙路正弦信號(hào),最大誤差分別為0.134 μm和0.195 μm。利用新的跳變點(diǎn)檢測(cè)算法恢復(fù)兩路微振動(dòng)信號(hào),最大誤差分別為0.095 μm和0.145 μm,誤差較前者更小。