混聯驅動三維橢圓振動輔助切削系統(tǒng)壓電遲滯建模與補償

盧明明，付喜鋒，周家康，宋盾蘭，杜永盛

（ 長春工業(yè)大學機電工程學院，吉林省微納與超精密制造重點實驗室，吉林長春 130012 ）

近年來，橢圓振動輔助切削技術被廣泛應用于國防、航天航空等亟需超精密制造技術的領域。 從20 世紀80 年代專家學者基于一維振動切削的基礎提出的橢圓振動切削技術（2D-EVC）[1]，到如今的三維橢圓振動切削（3D-EVC）研究，橢圓振動輔助切削技術已被廣泛應用于眾多高精尖領域。 3D-EVC技術由于具有高效的加工特點得到重點關注，研究者針對3D-EVC 技術在裝置設計與優(yōu)化、切削力建模分析、顫振辨識與抑制等多個方面開展了深入研究[2-5]。

3D-EVC 主要是通過壓電驅動器輸出位移，經過結構的傳遞與合成來實現橢圓振動軌跡輸出，而壓電陶瓷材料固有的遲滯非線性將會影響其加工精度及系統(tǒng)內部的穩(wěn)定性[6]。 然而針對3D-EVC 系統(tǒng)遲滯補償的相關研究并不詳盡，大多數研究對此采取忽略處理。

選用準確恰當的壓電遲滯模型描述系統(tǒng)的遲滯非線性是遲滯補償研究的重要基礎。 壓電遲滯建模的方法眾多， 最常用的就是采用數學模型建模。該類數學模型類別眾多，表達形式各有不同，其中就包含Preisach 模型[7]、Duhem 模型[8]和Bouc-Wen[9]模型等。 Bouc-Wen 模型是一種具有表達形式簡潔直觀特點的微分方程類數學模型，選擇該模型可在節(jié)省大量復雜建模運算的同時，更好地服務于控制策略的設計。

參數辨識方法的優(yōu)劣決定了模型辨識精度的高低。 近年來，諸如蝙蝠算法[10]、粒子群算法[11]、蟻群算法等[12]一系列元啟發(fā)式人工智能算法在參數辨識領域得到了廣泛關注。 然而，傳統(tǒng)算法的提出與建立都遵循某些固定的機理，這就導致這一類算法都存在一定缺陷，如易早期收斂、尋優(yōu)能力弱等。 因此，為了提高參數辨識精度和能力，針對傳統(tǒng)算法的改進就顯得尤為重要。

本文針對3D-EVC 系統(tǒng)進行遲滯建模和復合控制策略的設計，以補償系統(tǒng)的遲滯非線性。 利用Bouc-Wen 模型描述3D-EVC 系統(tǒng)的遲滯非線性，并采用改進的花授粉算法對模型中的未知參數進行辨識，最終根據所建立的模型設計了“前饋-PID反饋”復合控制策略以補償系統(tǒng)遲滯非線性，還通過設計實驗證明該復合控制策略的有效性。

1 3D-EVC 系統(tǒng)壓電遲滯模型的建立

非共振型3D-EVC 裝置如圖1 所示，該裝置利用內部的壓電疊堆驅動Y1、Y2和Z 三個軸向柔性鉸鏈，促使刀尖形成三維橢圓運動軌跡。 壓電疊堆由壓電陶瓷材料構成，其固有的遲滯非線性會導致系統(tǒng)無法按照給定的理想輸入來輸出三維橢圓運動軌跡。 本文利用Bouc-Wen 遲滯模型描述3D-EVC系統(tǒng)輸入電壓與輸出位移之間的關系，通過該模型來準確刻畫3D-EVC 系統(tǒng)存在的復雜遲滯現象，為后續(xù)復合控制策略的設計奠定高精度的理論模型基礎。

圖1 3D-EVC 裝置結構

1.1 Bouc-Wen 模型

Bouc-Wen 滯回模型最早是被用來表示早期的模擬金屬阻尼器精度較高的實用滯回模型。 現在，Bouc-Wen 模型已被廣泛應用于描述土木、 機械等領域中的非線性現象，其數學表達式為：

在正常加工狀態(tài)下，3D-EVC 系統(tǒng)的三相驅動均屬于低頻率輸入，因此式（1）中的Fx″（t）可忽略不計。 為了保證系統(tǒng)的可靠性，每次進行測量數據采集時，均需對位移傳感器進行重新標定，因此式（1）中的初始位移也可忽略不計。

綜合考慮以上因素后的Bouc-Wen 模型表達式可表達為：

式中：a0、a1、a2、A、β、γ、n 均為待辨識參數。

1.2 改進花授粉算法

花授粉算法作為一種新型的群智能優(yōu)化算法，近年來被用以解決相關的實際問題。 該算法受啟發(fā)于自然界的花授粉過程[13]，執(zhí)行尋優(yōu)操作依靠全局授粉（全局搜索）和局部授粉（局部搜索）兩個階段。

全局授粉階段的表達式為：

局部授粉階段的表達式為：

為了提高算法的收斂速度和尋優(yōu)能力，在花授粉算法前期引入粒子群算法使其更靠近最優(yōu)解范圍，從而提高尋優(yōu)速度；在算法后期，引入自調節(jié)轉換概率p 來調節(jié)全局搜索和局搜索在整個搜索過程中的比例，從而提高收斂速度。

自調節(jié)轉換概率p 可表示為：

式中：TM為最大迭代次數； t 為當前迭代次數。

通過引入前期粒子群算法（PSO）和自調節(jié)轉換概率p 后，經改進的花授粉算法（IFPA）將在一定程度上克服傳統(tǒng)算法的弊端，從而提高自身算法的尋優(yōu)能力、加快尋優(yōu)收斂速度，并為獲得更高精度的Bouc-Wen 遲滯模型提供有效的算法辨識手段。

1.3 模型參數辨識

為了對Bouc-Wen 模型中含有的未知參數進行辨識， 從而準確描述3D-EVC 系統(tǒng)壓電遲滯特性，本文通過如圖2 所示實驗平臺得到一定頻率下的輸入電壓-輸出位移曲線； 對3D-EVC 系統(tǒng)給予一個正弦激勵信號： y（t）=5+5sin（100πt+π/2），得到在該正弦激勵信號下的激勵相應曲線；利用改進后的花授粉算法對Bouc-Wen 模型進行參數辨識； 通過辨識得到3D-EVC 系統(tǒng)Bouc-Wen 模型（表1）。

表1 3D-EVC 系統(tǒng)參數辨識結果

圖2 實驗平臺

本文選用均方根誤差（MSE）作為模型辨識的目標適應度函數，用來評價模型辨識精度。均方根誤差（MSE）表達式為：

式中：xe為實際輸出位移數據；xm為模型輸出位移數據；N 為數據總個數。

3D-EVC 系統(tǒng)具有Y1、Y2和Z 三個軸向， 每一個軸向子系統(tǒng)都可被視作為一個單輸入、輸出子系統(tǒng)。 由于三個軸向子系統(tǒng)的壓電遲滯模型參數辨識方法一致，本文以Y1軸向子系統(tǒng)為例進行研究。 驗證改進后的花授粉算法針對Bouc-Wen 模型參數辨識的效果見圖3。

圖3 Y1 軸向子系統(tǒng)遲滯擬合

由圖3 可得，Y1軸向子系統(tǒng)的最大建模誤差為0.5074 μm、建模精度為98.24%。 由Y1軸向子系統(tǒng)遲滯曲線擬合及系統(tǒng)建模誤差可見，利用改進后的花授粉算法辨識得到的Bouc-Wen 模型可有效地描述3D-EVC 系統(tǒng)所表現出的壓電遲滯非線性，具有較高的建模精度。

2 基于壓電遲滯模型的3D-EVC 系統(tǒng)復合控制策略

2.1 前饋補償控制策略

前饋補償控制策略是3D-EVC 系統(tǒng)復合控制策略的基礎。 由式（2）可知，本文選用的Bouc-Wen模型表達式有線性部分和遲滯非線性兩部分，因此不同于其他遲滯模型需求解復雜的遲滯逆模型數學表達式來進行前饋補償，Bouc-Wen 模型僅需對遲滯分量部分的電壓進行補償，即可補償系統(tǒng)所表現的遲滯非線性。

假定輸入電壓為uI（t），經前饋補償后的輸出電壓為uF（t），代入式（2）并整理得到：

由式（2）中的遲滯分量部分表達式可知，為了求得輸出量uF（t），首先利用uI（t）近似替代uF（t），求解得出遲滯分量估計值h^（t）。 此時，基于前饋補償的Bouc-Wen 模型表達式為：

由于近似計算導致遲滯分量部分產生誤差，因此系統(tǒng)實際輸出位移xA（t）為：

式中：hA（t）為實際遲滯分量。

綜上所述，利用前饋補償控制得到的系統(tǒng)誤差表達式為：

2.2 復合控制補償策略

前饋控制本質上屬于一種開環(huán)控制，無法滿足系統(tǒng)對于持續(xù)穩(wěn)態(tài)的要求。 為了消除誤差，提高控制系統(tǒng)精度，本節(jié)將引入反饋控制搭建“前饋-PID反饋”復合控制策略。

在工業(yè)控制系統(tǒng)中，PID 控制已被廣泛應用于多種系統(tǒng)回路的協(xié)同控制， 取得了一定的良好效果。PID 控制算法是一種基于偏差信號的控制算法，偏差的產生是由于被控對象實時監(jiān)測輸出，然后以反饋形式回饋到控制輸入端。PID 控制器的輸入、輸出關系為：

即：

其中，

3D-EVC 系統(tǒng)復合控制策略框圖見圖4。

圖4 復合控制策略

3 實驗驗證

本文基于上節(jié)設計的“前饋-PID 反饋”復合控制策略對3D-EVC 系統(tǒng)進行遲滯補償， 并采用圖2所示實驗平臺進行驗證。 實驗驗證時，以Y1軸向子系統(tǒng)為例，通過設定預期軌跡，采用上位機控制NI控制器， 并通過功率放大器作用至3D-EVC 裝置，最終通過位移傳感器返回數據至上位機形成閉環(huán)，采集實際輸出軌跡以驗證所設計的復合控制策略的有效性。 圖5 是經復合控制策略后系統(tǒng)遲滯跟蹤曲線圖，圖6 是Y1軸向子系統(tǒng)實驗跟蹤軌跡曲線及誤差圖。

圖5 遲滯跟蹤曲線圖

圖6 Y1 軸向子系統(tǒng)跟蹤軌跡曲線及誤差

從圖5 和圖6 對Y1子系統(tǒng)的分析可看出，利用本文設計的復合控制策略對3D-EVC 系統(tǒng)進行遲滯補償校正后，系統(tǒng)遲滯分量明顯減小，最大位移跟蹤誤差為0.304 μm。 實驗結果證明，經復合控制策略補償校正后的3D-EVC 系統(tǒng)，其遲滯現象得到明顯改善，系統(tǒng)的跟蹤性能也得到明顯的提升。

4 結論

壓電陶瓷材料固有的遲滯非線性是影響3DEVC 系統(tǒng)性能和裝置三維橢圓軌跡輸出的重要因素。 本文利用Bouc-Wen 模型描述系統(tǒng)壓電遲滯特性， 并利用改進后的花授粉算法對Bouc-Wen 模型中的未知參數進行辨識，以提高模型的參數辨識精度，還基于辨識得出的Bouc-Wen 模型設計“前饋-PID 反饋”復合控制策略，對3D-EVC 系統(tǒng)進行遲滯補償研究，得到以下結論：

（1）利用復合控制策略補償3D-EVC 系統(tǒng)遲滯非線性后，系統(tǒng)的遲滯分量明顯較小，有效地減弱了遲滯性。

（2）以正弦信號激勵系統(tǒng)，系統(tǒng)位移跟蹤實驗結果證明，3D-EVC 系統(tǒng)在復合控制策略下具有較高的位移跟蹤性能， 其位移跟蹤誤差最大為0.304 μm，證明系統(tǒng)具有更好的魯棒性和跟蹤性能。