基于Mindlin 理論的新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)設(shè)計與研究

張寧寧，朱 佳，袁金霖

（ 渭南師范學院物理與電氣工程學院，陜西渭南 714099 ）

超聲輔助加工被廣泛用于難加工材料如高性能合金、復(fù)合材料、硬脆材料等的高效精密加工[1]。超聲輔助加工的核心部件是超聲變幅桿，直接決定加工性能。 目前國內(nèi)外研究者對各種常規(guī)形狀超聲變幅桿研究比較成熟。 若加工工具的質(zhì)量較小時可忽略其影響，直接進行變幅桿設(shè)計；當加工工具質(zhì)量較大時，則需對超聲變幅桿和工具桿進行一體化設(shè)計[2]。 杯型工具的尺寸和質(zhì)量較大，其固有振動頻率、振動模態(tài)等很難滿足超聲加工要求，應(yīng)把杯型工具看作是超聲振動系統(tǒng)的非諧振動單元進行整體設(shè)計[3-7]。 文獻[8]對超聲珩磨聲學系統(tǒng)中的圓盤進行研究。 文獻[9]研究了用于超聲焊接的超聲杯型工具。 文獻[10-11]基于縱振理論和薄圓盤振動理論對超聲變幅桿與杯型工具進行設(shè)計研究。 以上文獻所設(shè)計的都是單一變幅桿與圓盤、杯型工具組成的振動系統(tǒng)。 而實際應(yīng)用不僅要求變幅桿的放大系數(shù)較大，還需彎曲勁度高、穩(wěn)定性好，因此復(fù)合型變幅桿多被采用。 另外，由于薄扳適用范圍小，特別在高頻大功率聲條件下需用厚板，Mindlin 厚板理論相比于薄板理論的計算精度更高。

本文設(shè)計了一種新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)，通過分析各段的振動模態(tài)，分別建立部分的位移和應(yīng)力函數(shù)， 根據(jù)連接處的連續(xù)條件和邊界條件，推導出新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的頻率方程，根據(jù)頻率方程并利用計算機編程實現(xiàn)了新型振動系統(tǒng)的設(shè)計；對所設(shè)計的振動系統(tǒng)進行數(shù)值計算和有限元模態(tài)和諧響應(yīng)分析；研究了各幾何參量對振動系統(tǒng)諧振頻率的影響規(guī)律。 結(jié)果表明：理論計算、有限元分析、實驗測試結(jié)果基本一致；新型振動系統(tǒng)的諧振頻率隨著圓盤厚度的增加而增大，變幅桿面積比不變時隨著大小端半徑的增加而增加，隨著變幅桿各段長度、圓管段高、內(nèi)徑的增大而減小。 研究結(jié)果還表明：所設(shè)計的振動系統(tǒng)結(jié)構(gòu)合理、振動效果良好，為超聲輔助加工特別是硬脆材料高精度曲面加工技術(shù)提供了一種新型超聲振動系統(tǒng)以及頻率調(diào)試依據(jù)。

1 新型超聲振動系統(tǒng)數(shù)學模型

為了獲得更高的頻率和功率，本文設(shè)計了一種新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)， 具體結(jié)構(gòu)如圖1 所示，從左到右分為三部分，依次為：第一部分為三段復(fù)合變幅桿，其中第一段復(fù)合變幅桿的大端圓柱形半徑為R1、長度為L1，第二段過渡段圓錐形桿長度為L2，第三段小端圓柱桿半徑為R2、長度為L3；第二部分為厚圓盤，其半徑為R3、長度為L4；第三部分為大尺寸圓管，其內(nèi)半徑為R4、長度為L5。研究的關(guān)鍵是，對復(fù)合變幅桿與圓盤、圓管三種結(jié)構(gòu)組成超聲振動系統(tǒng)進行諧振設(shè)計。

圖1 新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)圖

2 新型模式超聲振動系統(tǒng)的頻率方程

2.1 各段位移與力

2.1.1 中厚圓盤的位移和力

由考慮橫向剪切變形和轉(zhuǎn)動慣量影響的Mindlin 厚板理論可知，零節(jié)徑軸對稱彎振圓盤的橫向位移?（r）、ψr轉(zhuǎn)角、Qr剪力、Mr彎矩分別為[12-13]：

式中：J0（δir）為零階貝塞爾函數(shù)；Y0（δir）為零階諾伊曼函數(shù)；J1（δir）為一階貝塞爾函數(shù)；Y1（δir）為一階諾伊曼函數(shù)；A1、A2均為由邊界條件決定的待定常數(shù)。

另有：

式中：D=Eh3/12 （1-ν2）；k2=π/12；ρ，ω，D 分別為密度、角頻率、彎曲剛度常數(shù)；R、S 為轉(zhuǎn)動慣量和橫向剪切變形的影響；ν 為泊松比。

2.1.2 圓錐形復(fù)合變幅桿各段的位移與應(yīng)力

根據(jù)波的縱振動理論可得大段圓柱段縱向振動變幅桿的位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)分別為：

圓錐形縱向振動變幅桿的位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)分別為：

小段圓柱形縱向振動變幅桿的位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)分別為：

2.1.3 圓管段的位移和應(yīng)力

圓管段的位移函數(shù)和應(yīng)變函數(shù)分別為：

2.2 新型振動系統(tǒng)的頻率方程

對于全波長超聲振動系統(tǒng)，復(fù)合變幅桿大段圓柱段的左端面位移振幅最大，圓管段的右端面為自由狀態(tài)，存在若干邊界條件。

變幅桿的左端與傳振桿相連， 位移振幅最大，即有位移的導數(shù)為零的邊界條件：

對于作一維縱向振動的變幅桿各部分的位移和力連續(xù)，即有邊界條件：

變幅桿右端與圓盤連接， 滿足力和位移耦合，即有位移與力相等的邊界條件：

圓管段右端面是自由狀態(tài)，應(yīng)變?yōu)榱?，因此有邊界條件：

式（15）～式（20）是超聲振動系統(tǒng)的諧振數(shù)學模型， 關(guān)于待定常數(shù)a1、a2、a3、a4、a5、a6、a7、a8、A1、A2的十階齊次線性方程組， 要使方程組有非零解，就得滿足系數(shù)行列式為零，即式（21）。

式（21）為新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的諧振頻率方程，其中包含諧振頻率和各組成部分的材料參數(shù)和尺寸參數(shù)。 如果各組成部分的材料參數(shù)和尺寸參數(shù)已知，則由式（21）可確定振動系統(tǒng)的諧振頻率；反之，如果已知振動系統(tǒng)的諧振頻率和材料參數(shù)以及其他尺寸參數(shù)，也可由式（21）解得振動系統(tǒng)的未知設(shè)計參數(shù)，可完成對新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的設(shè)計。

3 設(shè)計結(jié)果及振動性能分析

3.1 設(shè)計結(jié)果

超聲振動系統(tǒng)采用45 鋼，其材料參數(shù)為：密度ρ=7.8×103kg/m3、泊松比ν=0.28、彈性模量E=2.16×1011N/m2、剪切模量G=8.4×1010N/m2。 具體幾何參數(shù)為：變幅桿大端直徑D1=54 mm、長度L1=30 mm，小端直徑D2=30 mm、L3=38 mm； 圓盤半徑R3＝39 mm、長度L4＝16 mm；圓管段的內(nèi)半徑R4＝35 mm、外半徑R3＝40 mm、長度為L5＝30 mm。 若所設(shè)計振動系統(tǒng)的諧振頻率f＝30 kHz， 則波速c＝5200 m/s。將上述已知參數(shù)代入式（21），用Matlab 編程經(jīng)數(shù)值計算可得頻率方程解的誤差Δ 與L3的關(guān)系見圖2。可知，在L3為6～66 mm 搜索范圍內(nèi)，滿足頻率方程解誤差Δ=0 條件的只有一個，即可得出L3＝30 mm。

圖2 頻率方程誤差與L3 的關(guān)系圖

3.2 有限元分析

3.2.1 模態(tài)分析

根據(jù)所設(shè)計新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的幾何參數(shù)， 本文基于ANSYS14.0 建立了三維模型，采用8 節(jié)點的SOLID45 單元智能自由劃分網(wǎng)格，采用Block Lanczo 模態(tài)提取方法， 取頻率提取范圍為1～50 kHz，以此進行有限元模態(tài)分析。 從各模態(tài)的分析中可得出與設(shè)計頻率30 kHz 最接近的諧振頻率為29.029 kHz 的縱振模態(tài)，經(jīng)計算得出與設(shè)計頻率的誤差為3.23%。 由圖3 所示振動系統(tǒng)諧振位移分布情況可看出，系統(tǒng)振動模態(tài)為縱彎縱徑耦合形式，其余頻率均為復(fù)雜振型。 通過圓管段所有節(jié)點的縱向位移圖4 和橫向位移圖5 比較，可得縱向和徑向的位移比約為3.28 ， 故圓管段以縱向振動為主。由圖6 所示新型超聲振動系統(tǒng)軸線的縱向相對位移分布圖可知，經(jīng)過超聲振動系統(tǒng)輸出端位移被放大一倍多。

圖3 新型超聲振動系統(tǒng)的諧振位移分布圖

圖4 圓筒縱向相對位移分布圖

圖5 圓筒徑向相對位移分布圖

圖6 新型超聲振動系統(tǒng)的軸線縱向相對位移分布圖

3.2.2 諧響應(yīng)分析

為進一步研究新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的動力學特性，在模態(tài)分析的基礎(chǔ)上對其進行諧響應(yīng)分析。將諧響應(yīng)分析的激勵頻率選取為f=29.029、頻率附近的頻率區(qū)間設(shè)置為28.919～29.119 kHz，以此進行求解。 由圖7 所示，新型超聲振動系統(tǒng)的位移-頻率響應(yīng)曲線可得，振動系統(tǒng)輸出端的位移振幅為8.711 μm，通過計算可得新型超聲振動系統(tǒng)的振幅放大系數(shù)Mp=8.711/6≈1.45，這表明波的振幅被進一步放大。

圖7 新型超聲振動系統(tǒng)的位移-頻率響應(yīng)曲線圖

3.3 振動特性研究

用數(shù)值計算和有限元仿真對新型超聲振動系統(tǒng)的變幅桿各段長度以及圓管段高度、 圓盤厚度、圓管段內(nèi)徑等幾何參數(shù)對系統(tǒng)諧振頻率的影響規(guī)律進行了研究，結(jié)果見表1～表3。 在各表中，f0是薄板理論計算結(jié)果、f1是理論計算結(jié)果、f2是有限元仿真結(jié)果、Δf1是薄板理論計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的百分誤差、Δf2是理論計算結(jié)果與有限元仿真結(jié)果的百分誤差。

3.3.1 圓管高和內(nèi)徑對超聲振動系統(tǒng)諧振頻率的影響

由表1 可知，在圓盤厚度、內(nèi)徑不變的情況下，將圓管段高度由24 mm 增大到30 mm 的過程中，超聲振動系統(tǒng)諧振頻率理論計算值與仿真值誤差較?。ㄔ?%以內(nèi)）且逐漸減小，其變化趨勢一致。 同時可得在圓盤厚、圓管段高不變的條件下，仿真結(jié)果與理論計算值的變化規(guī)律相同，諧振頻率隨著內(nèi)徑的增大而降低，內(nèi)徑每增大1 mm，其諧振頻率基本在200～300 Hz 的范圍內(nèi)減小。

表1 振動系統(tǒng)諧振頻率隨著杯高和內(nèi)徑變化

3.3.2 圓盤厚對超聲振動系統(tǒng)諧振頻率的影響

由表2 可知，在圓管段高度、內(nèi)徑不變的條件下，仿真結(jié)果與厚板理論計算值誤差較小，但薄板理論計算結(jié)果誤差較大， 表明本文理論的正確性，而且可看出超聲振動系統(tǒng)諧振頻率隨著底厚的增加而增加，每增大2 mm，其諧振頻率大約增加200～300 Hz。

表2 振動系統(tǒng)諧振頻率隨著杯厚變化

3.3.3 變幅桿各段長度對超聲振動系統(tǒng)諧振頻率的影響

由表3 可知， 仿真結(jié)果與理論計算值基本一致，結(jié)果表明在圓盤厚、圓管段高以及半徑不變的條件下，超聲振動系統(tǒng)的諧振頻率隨著變幅桿各段的增大而降低，L1每增大2 mm，其諧振頻率減小約為250～350 Hz，L2每增大2 mm，其諧振頻率減小范圍為300～400 Hz，L3每增大2 mm，其諧振頻率減小范圍為500～600 Hz，對比可得變幅桿各段長度對系統(tǒng)諧振頻率的影響不同， 其大小順序為：L3＞L2＞L1；當變幅桿大小端面積比不變時，系統(tǒng)的諧振頻率隨變幅桿大小端半徑的增加而增加。

表3 振動系統(tǒng)諧振頻率隨著變幅桿各段長度、半徑變化

4 實驗

按照以上設(shè)計尺寸對振動系統(tǒng)進行加工，由PV70A 阻抗分析儀可得出超聲振動系統(tǒng)實驗測試的諧振頻率大約為29 828 Hz，其結(jié)果與ANSYS 模態(tài)分析結(jié)果及理論計算結(jié)果基本一致。 同時，振動系統(tǒng)的導納圓圓度較好，電導曲線正常；機械品質(zhì)因數(shù)較高，其電聲轉(zhuǎn)化效率也高，這表明以上建模和設(shè)計是合理的。 出現(xiàn)誤差的主要原因有：①各連接處采用螺紋連接，導致接觸不夠緊密，造成一定的能量損失； ②實際進行裝配時預(yù)留了一定的空隙， 而仿真時則沒有預(yù)留； ③在有限元分析時，網(wǎng)格尺寸對系統(tǒng)的諧振頻率有影響； ④在理論分析時，與實際加工的材料參數(shù)不完全一致，也會造成一定誤差。

5 結(jié)論

對一種新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)進行一體化設(shè)計， 并對設(shè)計的超聲系統(tǒng)的振動特性進行研究，得到以下結(jié)論：

（1）根據(jù)波傳播理論建立新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)的數(shù)學模型，在對超聲系統(tǒng)各段振型分析基礎(chǔ)上， 基于波的縱振動理論和Mindlin 厚板彎曲振動理論建立了各段的位移和應(yīng)力函數(shù)，根據(jù)連接處的連續(xù)性條件和邊界條件，得到新型模式轉(zhuǎn)換振動系統(tǒng)的頻率方程。

（2）對所設(shè)計的新型振動系統(tǒng)進行有限元模態(tài)分析可得其振動形式是“縱-彎-縱”，在圓管形段雖存在一定的橫向振動，但經(jīng)過計算可得主要振動形式是縱向振動；有限元諧響應(yīng)分析可得經(jīng)過縱彎縱模式轉(zhuǎn)換系統(tǒng)后振幅得到進一步放大。

（3）新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)諧振頻率的設(shè)計結(jié)果與有限元分析及測試結(jié)果誤差較小， 在5%以內(nèi)，驗證了所建系統(tǒng)數(shù)模型和振動頻率方程的正確性。 通過進一步研究可知當其他參數(shù)條件不變時，隨變幅桿各段長度和圓管段的長度、圓盤的半徑和圓管段的內(nèi)半徑的增加振動系統(tǒng)的諧振頻率減?。浑S圓盤厚度和變幅桿大小段半徑的增加系統(tǒng)的諧振頻率增大。 因此在實際工程應(yīng)用中，可由以上規(guī)律通過調(diào)整振動系統(tǒng)各段尺寸參數(shù)實現(xiàn)對新型模式轉(zhuǎn)換超聲振動系統(tǒng)諧振頻率的調(diào)整。