量子近似優(yōu)化算法在我國股票市場(chǎng)的應(yīng)用研究

吳永飛 紀(jì)瑞樸 王彥博 馬寅

2020年10月16日，習(xí)近平總書記在主持中共中央政治局第24次集體學(xué)習(xí)時(shí)強(qiáng)調(diào)：“要充分認(rèn)識(shí)推動(dòng)量子科技發(fā)展的重要性和緊迫性，加強(qiáng)量子科技發(fā)展戰(zhàn)略謀劃和系統(tǒng)布局，把握大趨勢(shì)，下好先手棋?！彪S著量子科技時(shí)代的來臨，量子計(jì)算機(jī)、量子加密通信、量子算法、量子算料與存儲(chǔ)、量子金融市場(chǎng)等諸多領(lǐng)域取得蓬勃發(fā)展。其中，量子計(jì)算機(jī)作為顛覆性挑戰(zhàn)經(jīng)典計(jì)算機(jī)的新時(shí)代算力基礎(chǔ)，近年來在全球范圍內(nèi)已取得了一系列突破性進(jìn)展;然而，真正能為量子計(jì)算賦予靈魂的量子算法研究仍是等待開發(fā)的一片藍(lán)海。本文聚焦量子算法在我國金融市場(chǎng)上的創(chuàng)新應(yīng)用，以期助力量子金融科技時(shí)代的加速到來。

量子算法概述

早在20世紀(jì)90年代，量子算法的發(fā)展就已逐步興起。1994年，美國麻省理工學(xué)院貝爾實(shí)驗(yàn)室彼得·舒爾（Peter Shor）提出了大整數(shù)質(zhì)因子分解的Shor算法，理論上可以在100秒之內(nèi)破解一個(gè)2048比特強(qiáng)度的RSA密鑰，而使用經(jīng)典計(jì)算機(jī)則可能需要10億年;兩年后，貝爾實(shí)驗(yàn)室的格羅弗（Lov K. Grover）提出了Grover搜索算法，可以在大約2128次迭代內(nèi)窮舉破解一個(gè)256比特的密鑰，較經(jīng)典計(jì)算機(jī)有了平方級(jí)別的加速。而后，量子算法研究逐步發(fā)展，各研究方向不斷涌現(xiàn)出相關(guān)成果。

在量子神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)算法方面。1995年，卡克（Subhash C. Kak）提出了量子神經(jīng)計(jì)算的概念;2000年，松井（Nobuyuki Matsui）研究了量子門電路神經(jīng)網(wǎng)絡(luò);2006年，周日貴研究了量子感知機(jī)。

在量子金融算法方面。2004年，陳澤謙從薛定諤方程等量子力學(xué)連續(xù)方程的角度對(duì)經(jīng)典Black-Scholes-Merton方程進(jìn)行量化，開啟了量子力學(xué)算法與金融領(lǐng)域結(jié)合的篇章;2020年，在量子科技的基礎(chǔ)上，吳永飛等人提出了量子金融科技的概念和量子科技應(yīng)用于金融領(lǐng)域的“6M”框架，重點(diǎn)強(qiáng)調(diào)量子技術(shù)應(yīng)聚焦于量子算法、算料、算力，為將量子科技批量引入金融科技領(lǐng)域提出可行的框架方法論。

在量子近似優(yōu)化算法方面。2014年，量子近似優(yōu)化算法（Quantum Approximate Optimization Algorithm，QAOA）由Edward Farhi等人提出。QAOA算法是一種經(jīng)典計(jì)算與量子計(jì)算的混合算法，可用于解決組合優(yōu)化問題、最大分割問題等難題。該算法在解決某些NP-hard問題時(shí)有明顯的加速效果，可以在多項(xiàng)式復(fù)雜度下給出問題的近似解。QAOA算法的核心思想是通過量子絕熱優(yōu)化算法從初始哈密頓量的基態(tài)，逐步迭代演化至目標(biāo)問題的哈密頓量的基態(tài);在此過程中需要逐步優(yōu)化量子絕熱算法的參數(shù)，參數(shù)的優(yōu)化過程主要是在經(jīng)典計(jì)算上完成，絕熱演化過程是在量子計(jì)算上完成。原則上，QAOA算法需要在通用量子計(jì)算機(jī)上完成運(yùn)算，即要求量子計(jì)算機(jī)能實(shí)現(xiàn)圖靈完備的量子門操作;然而，受限于通用量子計(jì)算機(jī)的物理實(shí)現(xiàn)，目前停留在幾十個(gè)量子比特的規(guī)模，近年來有一些其他架構(gòu)的量子計(jì)算方案，例如相干依辛機(jī)（Coherent Ising Machine），專門針對(duì)組合優(yōu)化問題有更強(qiáng)的加速效果，同時(shí)實(shí)驗(yàn)上規(guī)模能提升到上萬量子比特。

以QAOA適用的最大分割問題經(jīng)典場(chǎng)景為例：假設(shè)有A、B、C、D四個(gè)主體需進(jìn)行分割，其相互之間存在的關(guān)聯(lián)性緊密度用權(quán)重表示，如圖1所示。

現(xiàn)需將四個(gè)主體分配到兩個(gè)組合中，目的是使得每個(gè)組合內(nèi)相關(guān)性最小且組合間相關(guān)性最大（即組合內(nèi)權(quán)重和最小，組合間權(quán)重和最大）。以圖1為例，若將AC置于一個(gè)組合中、BD置于另一個(gè)組合中，由于AC和BD的權(quán)重為零，所以在此分配下，組合內(nèi)的權(quán)重之和均為零，組合間的權(quán)重之和為4，此時(shí)為最大分割問題的一個(gè)解。

在使用QAOA算法求解時(shí)，根據(jù)QAOA的原理，如果可以得到目標(biāo)問題的哈密頓量，其對(duì)應(yīng)的基態(tài)就是目標(biāo)問題的解。因此，可以通過絕熱演化算法從初始哈密頓量逐漸變化得到目標(biāo)問題哈密頓量。根據(jù)最大分割問題，不難得到目標(biāo)問題哈密頓量Hc 和Hb初始狀態(tài)哈密頓量如下：

為使初始狀態(tài)Hb轉(zhuǎn)化為目標(biāo)Hc狀態(tài)，需使用如下U矩陣進(jìn)行絕熱演化。其中，m表示次數(shù)，β、γ為待優(yōu)化參數(shù)。

基于前述推演，相應(yīng)量子線路見圖2。

圖2中四個(gè)量子比特表分別代表A、B、C、D四個(gè)主體;使用四個(gè)Hadamard門來構(gòu)造最初問題哈密頓量;電路中的Rz、Rx和受控門的組合構(gòu)成了絕熱演化過程，使得哈密頓量從初態(tài)逐漸演化至目標(biāo)態(tài);Rz門和Rx門中的參數(shù)為待優(yōu)化參數(shù)β、γ;通過測(cè)量門可以得到目標(biāo)哈密頓量的基態(tài)，此問題對(duì)應(yīng)的基態(tài)為|0101>或|1010>（即將AC放置于一個(gè)組合，BD放置于另一個(gè)組合）。

量子近似優(yōu)化算法在股票市場(chǎng)的應(yīng)用實(shí)證

鑒于金融市場(chǎng)中存在著大量的資產(chǎn)組合配置、投資組合構(gòu)建等優(yōu)化問題，QAOA算法在金融市場(chǎng)表現(xiàn)出巨大的應(yīng)用潛力。以基于QAOA算法的股票組合優(yōu)化為例：擬從N只股票中選擇M 只股票，將所選出的股票進(jìn)行等權(quán)重組合，構(gòu)建為權(quán)益類資產(chǎn)策略。組合的風(fēng)險(xiǎn)可以用期望收益率的波動(dòng)率來衡量。其中，期望收益可通過各只股票的收盤價(jià)進(jìn)行計(jì)算;波動(dòng)可以通過所選股票之間收盤價(jià)的協(xié)方差矩陣進(jìn)行計(jì)算。因此，借鑒QAOA算法解決最大分割問題的思想，可以找到一種特定的組合，使得在達(dá)到期望收益目標(biāo)的前提下，使得組合內(nèi)股票間的相關(guān)性盡可能小，從而起到降低風(fēng)險(xiǎn)、優(yōu)化組合表現(xiàn)的效果。

模型的目標(biāo)函數(shù)為，?定義資產(chǎn)的預(yù)期回報(bào)， 即收盤價(jià)的均值; 為不同資產(chǎn)之間收盤價(jià)的協(xié)方差矩陣;q表示投資者的風(fēng)險(xiǎn)類別（即其風(fēng)險(xiǎn)偏好）。

實(shí)證分析中，本文采集從2018年1月1日到2021年4月1日期間五糧液（000858）、貴州茅臺(tái)（600519）、恒力液壓（601100）、芒果超媒（300413）、華大基因（300676）、宏亞數(shù)控（002833）等6只股票日收盤價(jià);基于IBM Quantum Experience 模擬量子計(jì)算機(jī)實(shí)驗(yàn)環(huán)境;根據(jù)投資者不同的風(fēng)險(xiǎn)偏好程度（即風(fēng)險(xiǎn)厭惡、風(fēng)險(xiǎn)中性和風(fēng)險(xiǎn)偏好），在6只股票中選擇3只，基于QAOA算法生成權(quán)益類組合。在構(gòu)建資產(chǎn)組合時(shí)，本文采用窗體平移的方式，通過過去四個(gè)季度的股票數(shù)據(jù)來計(jì)算未來一個(gè)季度的股票持倉，即：使用2018年1月1日～2018年12月31日期間6只股票日收盤價(jià)數(shù)據(jù)，生成均值和協(xié)方差矩陣作為預(yù)期，從而計(jì)算2019年1月1日至2019年3月31日期間的持倉情況，確定該季度選擇哪三只股票作為組合。

實(shí)驗(yàn)結(jié)果顯示，表1中從左至右分別代表量子比特位、所選股票、目標(biāo)函數(shù)值和量子測(cè)算出的概率值。6個(gè)量子比特位分別代表一只股票（量子比特位為1表示選擇該股票進(jìn)入組合;若為0則表示不選擇該股票）。以第一行為例，量子比特為1者是q1、q2、q3 三位（量子比特從q0開始計(jì)算），表示選擇進(jìn)入組合的股票依次對(duì)應(yīng)為600519、601100、300413。在表1的時(shí)間段中，構(gòu)建的組合即為這三只股票的等權(quán)組合，并依此計(jì)算后續(xù)組合凈值。

為測(cè)算量子算法長(zhǎng)期效果，本文共進(jìn)行10次組合持倉計(jì)算，重新計(jì)算并換倉的日期分別為2019-01-01、2019-04-01、2 0 1 9 - 0 7 - 0 1 、2 0 1 9 - 1 0 - 1 、2 0 2 0 - 0 1 - 0 1 、2 0 2 0 - 4 - 1 、2020-07-01、2020-10-01、2021-01-01和2021-04-01，總體時(shí)間跨度為三年。在每一時(shí)間段中各進(jìn)行100次量子計(jì)算，取概率最高的三個(gè)量子比特作為此次計(jì)算的結(jié)果，計(jì)算加權(quán)收益率作為本季度收益并記錄轉(zhuǎn)為凈值曲線。為驗(yàn)證策略效果，對(duì)照組選取同時(shí)將6只股票平均持有的組合，同樣記錄當(dāng)期收益率。

從組合凈值來看，在不同的投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好場(chǎng)景下，將量子QAOA算法與對(duì)照組凈值進(jìn)行對(duì)比。圖3中橙色表示等權(quán)重持有股票池中股票的組合凈值，紅色表示使用QAOA算法計(jì)算的凈值，橫坐標(biāo)為交易日期，縱坐標(biāo)為模擬交易凈值初始為1。結(jié)果顯示，在投資者風(fēng)險(xiǎn)厭惡（q=0.15）、投資者風(fēng)險(xiǎn)中性（q=0.5）、投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好（q=0.85）的環(huán)境中，與等權(quán)重持有股票的對(duì)照組相比，量子QAOA算法篩選出的組合長(zhǎng)期來看凈值表現(xiàn)均優(yōu)于對(duì)照組。且隨著投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好的上升，量子QAOA算法篩選出的組合表現(xiàn)也不斷提升。

從組合指標(biāo)來看，在不同的投資者風(fēng)險(xiǎn)偏好場(chǎng)景下，針對(duì)收益率（Return，RET）、累計(jì)收益（Accumulated Return， ACC）、夏普比率（Sharp Ratio）和索提諾比率（Sortino Ratio）四個(gè)維度，將量子QAOA算法與對(duì)照組進(jìn)行對(duì)比。結(jié)果顯示，除風(fēng)險(xiǎn)厭惡環(huán)境下量子QAOA算法組合的夏普比率略低于對(duì)照組外，量子QAOA算法所構(gòu)造的組合在其余各指標(biāo)表現(xiàn)均優(yōu)于對(duì)照組。

結(jié)語

在量子金融科技時(shí)代，量子算法憑借獨(dú)有的優(yōu)勢(shì)在金融行業(yè)展現(xiàn)出巨大前景。在金融投資領(lǐng)域，資產(chǎn)的配置與組合問題一直是業(yè)界和學(xué)界的焦點(diǎn)。本文聚焦于量子算法在我國A股市場(chǎng)的應(yīng)用，通過將量子近似優(yōu)化算法運(yùn)用于股票組合配置這一場(chǎng)景，對(duì)金融投資智能決策的量子化改進(jìn)進(jìn)行了探索。本文所使用的量子算法，不僅可以作為經(jīng)典大類資產(chǎn)配置中的一個(gè)步驟，快速篩選出一籃子資產(chǎn)作為資產(chǎn)池;未來也有望探索成為一種資產(chǎn)配置方法的分支，考慮持有量子算法篩選后的具體資產(chǎn)用于直接投資。受限于當(dāng)前量子比特的數(shù)目，量子QAOA算法暫時(shí)難以處理海量的金融市場(chǎng)數(shù)據(jù)。未來，隨著量子計(jì)算機(jī)量子比特?cái)?shù)的不斷增加，量子算法將進(jìn)一步與經(jīng)典資產(chǎn)配置模型相結(jié)合，為個(gè)人及機(jī)構(gòu)投資者在股票、基金或大類資產(chǎn)投資上，帶來更大的價(jià)值。

（龍盈智達(dá)（北京）科技有限公司大數(shù)據(jù)中心楊璇、王一多、徐奇、史杰、宮雅菲對(duì)本文亦有貢獻(xiàn)。）

（作者單位：華夏銀行股份有限公司，中國人民銀行丹東市中心支行，龍盈智達(dá)（北京）科技有限公司，北京玻色量子科技有限公司）