巧妙求解均勻帶電殘缺球面球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度
——“氣體對(duì)半球面壓力的計(jì)算方法”的遷移應(yīng)用

俞 翔

（江蘇省阜寧中學(xué)，江蘇 鹽城 224400）

關(guān)于均勻帶電的殘缺球面球心處的電場(chǎng)強(qiáng)度，文獻(xiàn)中一般應(yīng)用圓環(huán)帶法、場(chǎng)強(qiáng)疊加原理及球坐標(biāo)法、端面積分法、電勢(shì)梯度法等求解.相比較而言，端面積分法和電勢(shì)梯度法是比較簡(jiǎn)單的方法，計(jì)算過(guò)程相對(duì)簡(jiǎn)潔，而圓環(huán)帶積分法和電場(chǎng)強(qiáng)度疊加原理及球坐標(biāo)法計(jì)算繁雜，這些方法大多數(shù)中學(xué)生均難以理解和掌握.本文通過(guò)模型構(gòu)建，給出巧妙計(jì)算均勻帶電的殘缺球面球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的幾種初等方法，以供參考.

1 氣體對(duì)半球面壓力的計(jì)算方法

例1.如圖1所示，半徑為R的半球形封閉容器內(nèi)充滿壓強(qiáng)為p的氣體（重力忽略不計(jì)），求氣體對(duì)半球面的壓力.

圖1 氣體充滿半球形容器

分析：直接計(jì)算氣體對(duì)半球面的壓力，一般要用微元法疊加求積分，才能得出結(jié)果.若應(yīng)用轉(zhuǎn)化的思想方法，可通過(guò)求解氣體對(duì)底部圓面的壓力，也很容易得出了氣體對(duì)半球面的壓力.

解析：以半球形容器內(nèi)的氣體為研究對(duì)象，底部圓面對(duì)氣體有向上的支持力F1，半球面對(duì)氣體有向下的壓力F2.對(duì)半球形容器內(nèi)的氣體有平衡條件有F2=F1.根據(jù)牛頓第三定律，氣體對(duì)底部圓面的壓力等于F1，而氣體對(duì)半球面的壓力方向向上，其大小F=F2=F1=pπR2.

2 均勻帶電殘缺球面球心處電場(chǎng)強(qiáng)度的分析與計(jì)算

如圖2所示，半徑為R的殘缺球面均勻帶電，電荷面密度為σ.求球心O點(diǎn)的電場(chǎng)強(qiáng)度.

圖2 均勻帶電的殘缺球面

2.1 均勻帶電殘缺球面球心處電場(chǎng)強(qiáng)度方向的分析

圖3 場(chǎng)強(qiáng)方向的分析

2.2 均勻帶電殘缺球面球心處電場(chǎng)強(qiáng)度大小的計(jì)算

均勻帶電殘缺球面球心處電場(chǎng)強(qiáng)度大小的計(jì)算，一般采用積分和偏微分計(jì)算，對(duì)中學(xué)生而言數(shù)學(xué)要求過(guò)高.

筆者研究發(fā)現(xiàn)，若把氣體對(duì)半球面壓力的計(jì)算方法，遷移到這個(gè)問(wèn)題的求解之中，也可十分順利地用初等方法解決該問(wèn)題.

（1）試探電荷對(duì)球面的作用力產(chǎn)生的壓強(qiáng).

圖4 試探電荷對(duì)面元的作用

所以，半球面單位面積上受的庫(kù)侖力是定值，即壓強(qiáng)為

可見，求殘缺球面上所有小面元所受試探電荷的庫(kù)侖力之和，就轉(zhuǎn)化成了求壓強(qiáng)對(duì)殘缺球面的壓力之和.這樣，可引導(dǎo)學(xué)生構(gòu)建氣體的封閉容器模型，遷移學(xué)生已經(jīng)熟練掌握的氣體對(duì)半球面壓力的計(jì)算方法，實(shí)現(xiàn)對(duì)所求問(wèn)題的巧妙轉(zhuǎn)化.

（2）構(gòu)建多種氣體的封閉容器模型，計(jì)算殘缺球面球心處場(chǎng)強(qiáng)的大小.

構(gòu)建模型（1）：以半徑為R的球面與半徑為R的水平半圓AO、豎直半圓DO3部分構(gòu)成一個(gè)封閉容器，如圖5所示.容器內(nèi)部充滿壓強(qiáng)為的氣體，則氣體對(duì)球面的壓力的矢量和F（圖中未畫出），與氣體對(duì)水平半圓AO向下的壓力FAO和豎直半圓形DO向左的壓力FDO的合力等值反向.則

圖5 間接計(jì)算球面的受力

構(gòu)建模型（2）：以半徑為R的球面BC與半徑為R的豎直半圓BO、水平半圓CO3部分構(gòu)成一個(gè)封閉容器，如圖6所示.容器內(nèi)部充滿壓強(qiáng)為的氣體，則氣體對(duì)球面BC的作用力的大小，等于豎直半圓BO所受的向左的壓力FBO和水平半圓CO所受的向下的壓力FCO的矢量和，同理可以得到與模型（1）相同的結(jié)果.

圖6 間接計(jì)算球面BC的受力

說(shuō)明：學(xué)生構(gòu)建封閉容器模型時(shí)，容易在圖5中以AD為直徑構(gòu)建一個(gè)圓面（其實(shí)此圓面與球面ABCD不能構(gòu)成封閉容器），或者在圖6中以BC為直徑構(gòu)建一個(gè)圓面（此圓面與球面BC不能構(gòu)成封閉容器），得出的結(jié)果與上述模型得出的結(jié)果不一致.這時(shí)，教師通過(guò)引導(dǎo)學(xué)生觀察球面的立體模型，讓學(xué)生自己發(fā)現(xiàn)其錯(cuò)誤，并糾正錯(cuò)誤.

構(gòu)建模型（3）：以半徑為R的半球面ABC和它的底面圓構(gòu)成一個(gè)封閉容器，如圖7所示.容器內(nèi)部充滿壓強(qiáng)為的氣體，則氣體對(duì)半球面ABC的壓力的矢量和，與氣體對(duì)半球形容器底部圓面的壓力等值反向，求氣體對(duì)半球面的壓力，可轉(zhuǎn)化為求氣體對(duì)底部圓面積πR2的壓力，其大小為

圖7 場(chǎng)強(qiáng)合成圖

根據(jù)牛頓第三定律和電場(chǎng)強(qiáng)度的定義式，半球面上的電荷在球心處產(chǎn)生的電場(chǎng)強(qiáng)度為

（9）式與（6）式的結(jié)果一致.