利用矢量的合成與分解巧解題

趙連森

（濱州實(shí)驗(yàn)中學(xué)，山東 濱州 256600）

矢量的合成與分解是高中物理的一個(gè)重要知識(shí)點(diǎn)，平行四邊形定則是矢量的運(yùn)算法則.高中物理課本先從位移、速度、加速度開始認(rèn)識(shí)矢量，到力的合成與分解開始掌握矢量的運(yùn)算方法，再到運(yùn)用矢量的知識(shí)來解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解問題，然后是沖量、動(dòng)量以及電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，這樣逐漸把矢量的知識(shí)延展開來.可是學(xué)生在解決問題時(shí)往往不能靈活合理的使用平行四邊形定則，造成解題時(shí)要么無從下手，要么繁瑣冗長，總是不得其要.下面我們通過幾個(gè)合理使用矢量合成與分解的實(shí)例感受一下.

例1.一勻強(qiáng)電場的方向平行于xoy平面，平面內(nèi)a、b、c三點(diǎn)的位置如圖1所示，三點(diǎn)的電勢分別為10 V、17 V、26 V.下列說法正確的是

圖1

（A）電場強(qiáng)度的大小為2.5 V／cm.

（B）坐標(biāo)原點(diǎn)處的電勢為1 V.

（C）電子在a點(diǎn)的電勢能比在b點(diǎn)的低7 eV.

（D）電子從b點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到c點(diǎn)，電場力做功為9 eV.

此題的正確答案是（A）、（B）、（D），關(guān)于（A）選項(xiàng)電場強(qiáng)度大小的求解，通常的解法是這樣的：

因?yàn)閍、b、c3點(diǎn)的電勢分別是10 V、17 V、26 V，如圖2所示，在ac連線上，確定一b點(diǎn)，電勢為17 V，則bb′連線，即為等勢線，那么垂直于bb′的連線ce，則為電場線，再依據(jù)沿著電場線方向，電勢降低，則電場線方向如圖2所示.

圖2

因電場為勻強(qiáng)電場，則有

則b′點(diǎn)的坐標(biāo)為（3.5 cm，6 cm）

依據(jù)幾何關(guān)系，則

這種方法求解電場強(qiáng)度是最常用的方法，先確定等勢面，再利用電場線與等勢面垂直確定電場線的方向，最后利用電勢差和沿電場線方向上的距離求解電場強(qiáng)度.在上面解法中，利用數(shù)學(xué)關(guān)系較多，解題過程冗長復(fù)雜.而如果依據(jù)電場強(qiáng)度的矢量性，先求出電場強(qiáng)度在x、y方向上的分矢量Ex、Ey，再合成就簡單多了.

根據(jù)以上解題過程不難看出，此解法簡單易懂，利用了電場強(qiáng)度的矢量性，先求出電場強(qiáng)度在x、y方向上的分矢量，再利用分矢量合成求解出合矢量.在高中物理中，除了電場強(qiáng)度，在解決運(yùn)動(dòng)的合成與分解時(shí)，把位移、速度、加速度三個(gè)矢量進(jìn)行分解解題的例子也有很多.

例2.（2020年山東高考16題）單板滑雪U型池比賽是冬奧會(huì)比賽項(xiàng)目，其場地可以簡化為如圖3所示的模型：U形滑道由兩個(gè)半徑相同的四分之一圓柱面軌道和一個(gè)中央的平面直軌道連接而成，軌道傾角為17.2°.某次練習(xí)過程中，運(yùn)動(dòng)員以vM=10 m／s的速度從軌道邊緣上的M點(diǎn)沿軌道的豎直切面ABCD滑出軌道，速度方向與軌道邊緣線AD的夾角α=72.8°，騰空后沿軌道邊緣的N點(diǎn)進(jìn)入軌道.圖4為騰空過程左視圖.該運(yùn)動(dòng)員可視為質(zhì)點(diǎn)，不計(jì)空氣阻力，取重力加速度的大小g=10 m／s2，sin72.8°=0.96，cos72.8°=0.30.求：

圖3

圖4

（1）運(yùn)動(dòng)員騰空過程中離開AD距離的最大值d；

（2）M、N之間的距離L.

此題用運(yùn)動(dòng)的合成與分解解題是最快捷的，把速度和加速度分別沿垂直于AD和平行于AD方向進(jìn)行分解，然后沿各自方向計(jì)算位移即可.解法如下.

對于此題中這種較復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，要解題還是要根據(jù)運(yùn)動(dòng)的矢量性，把復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，再利用它們的位移、速度、加速度關(guān)系進(jìn)行求解.

上例的特點(diǎn)是可以清晰的看出物體做曲線運(yùn)動(dòng)的軌跡，我們把曲線運(yùn)動(dòng)分解成兩個(gè)直線運(yùn)動(dòng)，再根據(jù)各分運(yùn)動(dòng)的性質(zhì)來求解即可.還有的問題是沒有給出物體的運(yùn)動(dòng)軌跡，僅是已知分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)情況，讓我們根據(jù)位移、速度、加速度的矢量性來解決問題.

例3.（2013年全國Ⅰ卷24題）如圖5所示，水平桌面上有兩個(gè)玩具車A和B，兩者用一輕質(zhì)細(xì)橡皮筋相連，在橡皮筋上有一紅色標(biāo)記R.在初始時(shí)橡皮筋處于拉直狀態(tài)，A、B和K分別位于直角坐標(biāo)系中的（0，2L）、（0，-L）和（0，0）點(diǎn).已知A從靜止開始沿y軸正向做加速度大小為a的勻加速運(yùn)動(dòng).B平行于x軸朝x軸正向勻速運(yùn)動(dòng).在兩車此后運(yùn)動(dòng)的過程中，標(biāo)記K在某時(shí)刻通過點(diǎn)（L，L）.假定橡皮筋的伸長是均勻的，求B運(yùn)動(dòng)速度的大小.

圖5

此題沒有給出標(biāo)記K具體的運(yùn)動(dòng)軌跡，但根據(jù)運(yùn)動(dòng)關(guān)聯(lián)性，能夠知道其在x、y方向上的分運(yùn)動(dòng)情況：x方向上勻速直線運(yùn)動(dòng)，y方向上勻加速直線運(yùn)動(dòng).知道了分運(yùn)動(dòng)情況，沿x、y分方向處理就可以了.

通過以上幾例可以看出，根據(jù)矢量運(yùn)算的特點(diǎn)，利用好矢量的分解與合成解題，很多情況是簡單易懂的.回顧高中學(xué)習(xí)的物理量，最常用的矢量主要是位移、速度（動(dòng)量）、加速度、力（沖量）、電場強(qiáng)度和磁感應(yīng)強(qiáng)度，在學(xué)習(xí)過程中多注意這幾個(gè)矢量的合成與分解就可以了.