高中數(shù)學(xué)教學(xué)中邏輯推理的意義再發(fā)掘

景暉

[摘? 要] 在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)六個(gè)要素中，邏輯推理名列數(shù)學(xué)抽象之后，這體現(xiàn)出邏輯推理在高中數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)以及運(yùn)用過程中的基礎(chǔ)性地位. 邏輯推理是整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)有兩個(gè)基本理解：一是作為高中數(shù)學(xué)教師，對(duì)邏輯推理的理解要抓住根本;二是在具體的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)邏輯推理的過程，認(rèn)識(shí)邏輯推理的價(jià)值. 既然在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，已經(jīng)明確提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)，那么教學(xué)就應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)從知識(shí)累積走向核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變. 以邏輯推理能力培養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的線索之一，可以讓具有一定理論高度的核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，接上高中數(shù)學(xué)日常教學(xué)的“地氣”，強(qiáng)調(diào)從知識(shí)累積走向核心素養(yǎng)，并不意味著在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視知識(shí)的累積.

[關(guān)鍵詞] 高中數(shù)學(xué);核心素養(yǎng);邏輯推理;意義

核心素養(yǎng)尤其是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的概念提出之后，邏輯推理再度引起了高中數(shù)學(xué)教師的高度重視. 之所以說是再度引起，是因?yàn)樵趥鹘y(tǒng)教學(xué)中邏輯推理原本就比較重要，很多時(shí)候教學(xué)的重心就是培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力. 在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中對(duì)學(xué)生的核心素養(yǎng)進(jìn)行培養(yǎng)，旨在使學(xué)生的數(shù)學(xué)判斷能力得到良好的養(yǎng)成，這既是新課標(biāo)背景下的一個(gè)教學(xué)重點(diǎn)，也是當(dāng)前高考評(píng)價(jià)的一個(gè)核心. 而在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)被明確界定之后，人們發(fā)現(xiàn)數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)中，主要分為數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理、數(shù)學(xué)建模、數(shù)學(xué)運(yùn)算、直觀想象、數(shù)據(jù)分析等，其中邏輯推理名列數(shù)學(xué)抽象之后，筆者以為這體現(xiàn)出了邏輯推理在高中數(shù)學(xué)知識(shí)建構(gòu)以及運(yùn)用過程中的基礎(chǔ)性地位. 可以肯定的一點(diǎn)是，作為高中數(shù)學(xué)六大核心素養(yǎng)之一，邏輯推理是學(xué)生得到數(shù)學(xué)結(jié)論、構(gòu)建數(shù)學(xué)知識(shí)體系的重要方式. 只不過在核心素養(yǎng)的背景之下的高中數(shù)學(xué)教學(xué)，還需要賦予邏輯推理更多的內(nèi)涵，只有這樣才能對(duì)邏輯推理的傳統(tǒng)理解與新理解緊密結(jié)合在一起，從而實(shí)現(xiàn)高中數(shù)學(xué)的優(yōu)秀教學(xué)傳統(tǒng)與素養(yǎng)背景下的教學(xué)思路的銜接. 應(yīng)當(dāng)說這是一個(gè)切合實(shí)際的思路，是第八輪課程改革帶給一線教學(xué)最大的啟發(fā)之一，任何教學(xué)改革必須建立在已有的基礎(chǔ)之上，只有植根于已有現(xiàn)實(shí)的教學(xué)才具有生命力.

[?]邏輯推理是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)

在數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素中，筆者之所以如此重視邏輯推理，是因?yàn)閿?shù)學(xué)邏輯推理是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的基本組成元素，是高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要內(nèi)容，關(guān)系著學(xué)生數(shù)學(xué)知識(shí)體系構(gòu)建和數(shù)學(xué)思維模式的形成，因此在實(shí)際教學(xué)中，教師要培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)邏輯推理能力，探究培養(yǎng)數(shù)學(xué)邏輯推理能力的有效方法. 很大程度上，可以認(rèn)為邏輯推理是整個(gè)高中數(shù)學(xué)教學(xué)的重要基礎(chǔ)，在這里筆者有兩個(gè)觀點(diǎn)與同行分享：一是作為高中數(shù)學(xué)教師，對(duì)邏輯推理的理解要抓住根本. 核心素養(yǎng)是對(duì)教學(xué)目標(biāo)的客觀闡述，數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素是對(duì)數(shù)學(xué)學(xué)科促進(jìn)核心素養(yǎng)落地獨(dú)特作用的高度概括. 著名邏輯學(xué)家金岳霖在其《形式邏輯》一書中，將推理定義為根據(jù)一個(gè)或一些判斷得出另一個(gè)判斷的思維過程，這實(shí)際上是從推理的起點(diǎn)與終點(diǎn)兩個(gè)角度對(duì)推理進(jìn)行定義的，實(shí)際上這里所說的“得出”過程隱含著豐富的意義，因?yàn)槟芊瘛暗贸觥闭Q于推理是否符合邏輯. 對(duì)于數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)中的邏輯推理，需要認(rèn)識(shí)到的是對(duì)其理解，首先要從基本定義的角度生成理解. 從經(jīng)驗(yàn)的角度來看，高中數(shù)學(xué)教學(xué)的邏輯推理主要發(fā)生在數(shù)學(xué)概念或規(guī)律的建立，以及問題解決的過程中，讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到數(shù)學(xué)概念或規(guī)律之間的聯(lián)系，認(rèn)識(shí)到解決數(shù)學(xué)問題時(shí)，應(yīng)當(dāng)選擇什么樣的概念或規(guī)律，是培養(yǎng)邏輯推理能力、形成素養(yǎng)的關(guān)鍵.

二是在具體的教學(xué)過程中，要引導(dǎo)學(xué)生體驗(yàn)邏輯推理的過程，認(rèn)識(shí)邏輯推理的價(jià)值. 在傳統(tǒng)的教學(xué)視野里，這樣的努力并不鮮見，尤其是在數(shù)學(xué)問題解決的過程中，每一次通過“因?yàn)椤薄八浴眮碜C明，實(shí)際上都是邏輯推理的過程. 盡管這個(gè)過程中還涉及其他的一些推理形式，如合情推理等，但對(duì)于高中數(shù)學(xué)而言，邏輯推理仍然是主要成分. 體驗(yàn)邏輯推理的過程，認(rèn)識(shí)邏輯推理的價(jià)值，應(yīng)當(dāng)成為核心素養(yǎng)背景下高中數(shù)學(xué)教學(xué)的一條重要線索.

綜合以上兩個(gè)觀點(diǎn)，可以得出的一個(gè)結(jié)論是，核心素養(yǎng)背景下的邏輯推理，需要結(jié)合傳統(tǒng)并以新的內(nèi)涵指導(dǎo)實(shí)踐，要在實(shí)踐的過程中生成新的理論理解.

[?]基于核心素養(yǎng)的邏輯推理意義發(fā)掘例析

既然邏輯推理已經(jīng)成為數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的組成要素，在核心素養(yǎng)背景下，在高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中，通過合作探究教學(xué)模式，培養(yǎng)學(xué)生的邏輯推理能力已經(jīng)成為教學(xué)的關(guān)鍵. 那相應(yīng)地，教師就有必要在實(shí)踐過程中進(jìn)一步進(jìn)行探究，最好的辦法就是積累實(shí)踐案例，然后進(jìn)行分析. 現(xiàn)以“空間中的直線與直線之間的位置關(guān)系”來闡釋筆者的一些實(shí)踐與經(jīng)驗(yàn).

這一知識(shí)的教學(xué)設(shè)計(jì)應(yīng)當(dāng)是從學(xué)生的已有經(jīng)驗(yàn)開始的，比如可以向?qū)W生提出這樣的問題：在同一個(gè)平面內(nèi)，兩條直線有幾種位置關(guān)系？在三維立體空間中，兩條直線又有幾種位置關(guān)系？學(xué)生對(duì)前一個(gè)問題的思考與回答，可以基于原來的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)經(jīng)驗(yàn)，也就是說學(xué)生可以順利判斷出相交與平行兩個(gè)結(jié)果. 那么由第一個(gè)問題向第二個(gè)問題的推理，是不是邏輯推理呢？這可以從兩個(gè)層面來理解：從數(shù)學(xué)概念的包含關(guān)系來說，應(yīng)當(dāng)是三維空間包含了二維空間，因此從二維空間中的兩條直線關(guān)系，去推理三維空間中的兩條直線關(guān)系，并不符合邏輯;但是如果從邏輯推理方法掌握與運(yùn)用的角度來看，學(xué)生在二維空間中對(duì)兩條直線位置關(guān)系的認(rèn)識(shí)，卻可以成為三維空間中兩條直線位置關(guān)系判斷的基礎(chǔ). 實(shí)際上有學(xué)生在學(xué)習(xí)的過程中就發(fā)現(xiàn)：三維空間概念比二維空間概念更大，因此二維空間中兩條直線的位置關(guān)系在三維空間中肯定存在，而除了相交與平行之外，則還可能存在其他關(guān)系（實(shí)際上就是“異面”的關(guān)系）. 學(xué)生有這樣的發(fā)現(xiàn)，恰恰說明他們已經(jīng)掌握了一定的邏輯.

具體的教學(xué)過程中，教學(xué)的重點(diǎn)實(shí)際上也正是對(duì)異面直線的探究. 學(xué)生首先可以通過想象（這與幾何直觀有關(guān)），判斷在空間中除了相交與平行之外，存在異面的情形. 但是此時(shí)，學(xué)生對(duì)異面的表象并不清晰，這個(gè)時(shí)候教師當(dāng)然可以通過演示的方法，來幫助學(xué)生建立表象. 值得一提的是，筆者在向?qū)W生演示的時(shí)候，借助兩根筷子，先演示了學(xué)生已經(jīng)熟悉了的相交與平行，然后才演示了異面，這樣可以讓學(xué)生的認(rèn)識(shí)更加完整. 在學(xué)生建立了這一表象之后，還可以讓學(xué)生通過邏輯推理來梳理本節(jié)的知識(shí). 這個(gè)梳理的過程，同樣是運(yùn)用邏輯進(jìn)行推理的過程——三維空間中兩條直線的位置關(guān)系要么共面、要么異面，而共面時(shí)要么相交、要么平行，于是就可以通過圖1來表征這種邏輯. 應(yīng)當(dāng)說圖形雖然簡略，但其中的邏輯關(guān)系一目了然.

通過這樣的教學(xué)，學(xué)生一方面經(jīng)歷了邏輯推理的過程，另一方面認(rèn)識(shí)到邏輯推理的價(jià)值，這種理論上的認(rèn)知與實(shí)踐中的經(jīng)歷相結(jié)合，可以促進(jìn)邏輯推理素養(yǎng)要素的落地.

[?]高中數(shù)學(xué)教學(xué)從知識(shí)累積走向核心素養(yǎng)

毫無疑問的是，既然在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中，已經(jīng)明確提出了數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的目標(biāo)，那教學(xué)就應(yīng)當(dāng)實(shí)現(xiàn)從知識(shí)累積走向核心素養(yǎng)的轉(zhuǎn)變. 從宏觀角度來看，伴隨教育事業(yè)的不斷發(fā)展，數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)的應(yīng)用價(jià)值日漸凸顯，邏輯推理能力作為高中數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)之一，對(duì)高中生思維的發(fā)展起到了重要作用，亦是高中生必備的數(shù)學(xué)能力. 當(dāng)在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中一直強(qiáng)調(diào)能力培養(yǎng)的時(shí)候，實(shí)際上邏輯推理本身就是一種重要的能力. 以邏輯推理能力培養(yǎng)作為高中數(shù)學(xué)教學(xué)的線索之一，可以讓具有一定理論高度的核心素養(yǎng)以及數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)，接上高中數(shù)學(xué)日常教學(xué)的“地氣”. 顯然，一線教師所追求的“可操作性”正在這樣的努力過程中.

當(dāng)然需要強(qiáng)調(diào)的是，從知識(shí)累積走向核心素養(yǎng)，并不意味著在高中數(shù)學(xué)教學(xué)中忽視知識(shí)的累積;相反，知識(shí)累積其實(shí)非常重要. 在課程改革中，過長時(shí)間的討論已經(jīng)認(rèn)識(shí)到知識(shí)目標(biāo)其實(shí)是其他目標(biāo)的基礎(chǔ)，在核心素養(yǎng)培育的過程中，同樣必須建立一個(gè)基本的認(rèn)識(shí)：知識(shí)累積是數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)培育的基礎(chǔ). 如同上面例子中所體現(xiàn)出來的一樣，只有以“空間中的直線與直線之間的位置關(guān)系”這一知識(shí)的學(xué)習(xí)作為基礎(chǔ)，才能讓學(xué)生經(jīng)歷一個(gè)真實(shí)的邏輯推理過程，才能讓學(xué)生形成邏輯推理能力. 此外筆者還注意到，其實(shí)包括邏輯推理在內(nèi)的數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)的六個(gè)要素，不僅需要讓學(xué)生體驗(yàn)隱性的過程，有時(shí)候還非常有必要讓學(xué)生認(rèn)識(shí)到這些概念的存在——概念往往具有高度概括性，對(duì)概念的理解水平，體現(xiàn)著不同核心素養(yǎng)要素的把握水平. 從這個(gè)角度來看，堅(jiān)持顯性與理性相結(jié)合的思路，可以讓邏輯推理等數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)要素得到更加切實(shí)有效的培養(yǎng).