新高考視域下全國卷等差數(shù)列分析及備考建議

陳煥濤

[摘? 要] 等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，高考全國卷等差數(shù)列是必考內(nèi)容，分析、研究高考全國卷等差數(shù)列內(nèi)容對高考備考具有重要意義.文章主要通過對比分析近五年全國卷等差數(shù)列考點（包括核心考點歸納、題型分布、考點分布、難度分析），分析等差數(shù)列考查目標(biāo)、典型考題，總結(jié)命題的一般規(guī)律，最后給出備考建議，為新一輪復(fù)習(xí)備考提供參考.

[關(guān)鍵詞] 新高考;全國卷;等差數(shù)列;分析;備考建議

等差數(shù)列是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，承載著培育學(xué)生個體發(fā)展和適應(yīng)社會進(jìn)步所必需的數(shù)學(xué)運算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等核心素養(yǎng)的重要作用. 新課標(biāo)全國卷重視對等差數(shù)列的定義、基本性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等基礎(chǔ)知識的考查，基于等差數(shù)列考查裂項相消法、錯位相減法在求數(shù)列前n項和中的應(yīng)用;考查方式相對固定，重點突出對等差數(shù)列定義的理解和通項公式及前n項和公式的運用. 文章基于近五年新課標(biāo)全國卷等差數(shù)列的考點對比分析，總結(jié)命題的一般規(guī)律，為新一輪復(fù)習(xí)備考提供參考.

[?]近五年全國卷等差數(shù)列考點對比分析

1. 核心考點歸納

新課標(biāo)全國卷對等差數(shù)列相關(guān)知識點的考查主要集中于通項公式和前n項和公式，基于等差數(shù)列定義研究數(shù)列的通項公式，再根據(jù)等差數(shù)列的基本性質(zhì)處理數(shù)列中項與項之間的關(guān)系，最后利用前n項和公式研究某一項或是某幾項的和. 考查頻率很高，幾乎每年必考，與文理科沒有相關(guān)性.

2. 題型分布

等差數(shù)列在全國卷中多以選擇題的形式出現(xiàn)，基于等差數(shù)列的基本性質(zhì)重點考查學(xué)生對通項公式和前n項和公式的理解與掌握情況. 如果以客觀題的形式出現(xiàn)，必然會出現(xiàn)兩個難度有明顯差異的客觀題，可能都是選擇題，也有可能是一個選擇題和一個填空題，分值固定為10分，選擇題多分布在前8題，屬于基礎(chǔ)題，填空題多出現(xiàn)在15題或者16題，屬于中等難度偏上的題目;如果以解答題（新高考解答題必考）的形式出現(xiàn)，一般出現(xiàn)在前3題的位置，分值固定為10或12分，不論是文科還是理科，這是新課標(biāo)高考近五年考查數(shù)列知識點所遵循的規(guī)律.

3. 考點分布

選擇題一般只考查單一知識點，以等差數(shù)列的基本性質(zhì)或通項公式為主;解答題通常設(shè)置兩個問題，第一問重點考查等差數(shù)列的定義及通項公式，第二問重點考查求和公式，往往與等比數(shù)列融合構(gòu)造新數(shù)列，考查利用錯位相減法、裂項相消法、分組求和法計算數(shù)列的前n項和. 將等差數(shù)列隱藏于遞推關(guān)系中，考查學(xué)生在研究數(shù)列遞推關(guān)系的過程中發(fā)現(xiàn)并識別等差數(shù)列，從而借助數(shù)列的通項公式與前n項和公式解決一些實際問題，遞推關(guān)系一般只局限于最基本的形式，難度不會太大，重在突出思想性和方法性.

4. 難度分析

新課標(biāo)全國卷對等差數(shù)列相關(guān)知識點的考查形式單一，突出對基礎(chǔ)知識與基本技能的考查，為發(fā)展學(xué)生數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理及數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng)服務(wù)，整體難度不大;部分在知識交匯點處命題或以數(shù)列為背景的創(chuàng)新題難度相對較大，屬于客觀題的壓軸題或是次壓軸題，具有一定的選拔功能，得分率普遍不高且分值比重較小.

[?]近五年全國卷等差數(shù)列考查目標(biāo)對比分析

1. 考查內(nèi)容穩(wěn)定

從近五年課標(biāo)全國卷等差數(shù)列試題看，等差數(shù)列的試題考查目標(biāo)和涉及的內(nèi)容近5年幾乎沒有變化，而且文理科要求也基本一致，這與文理不分科趨勢一致，試題難度也比較穩(wěn)定.

2. 試題凸顯考查素養(yǎng)

尤其這兩年的等差數(shù)列試題，問題呈現(xiàn)綜合化、情景化，還以結(jié)構(gòu)不良試題形式呈現(xiàn)，與中國高考體系的發(fā)展要求吻合，凸顯素養(yǎng)立意，具有很好的選拔和引導(dǎo)教學(xué)的作用.

[?]典型考題分析

1. 考查單一知識點

例1：（2020全國2卷文14）記S為等差數(shù)列{a}的前n項和.若a=-2，a+a=2，則S=________.

例2：（2021全國2卷文18）記S為數(shù)列{a}的前n項和，已知a>0，a=3a，且數(shù)列{}是等差數(shù)列，證明：{a}是等差數(shù)列.

命題立意：例1與例2都單一考查等差數(shù)列內(nèi)容，例1題設(shè)條件給出數(shù)列的某幾項的關(guān)系，突出基本量的求解和方程思想，最后利用公式求前10項的和. 例2已知數(shù)列{}是等差數(shù)列，再根據(jù)a與S的基本關(guān)系，結(jié)合等差數(shù)列定義，經(jīng)過運算推理完成證明，試題難度中等，但試題的求解過程需要對等差數(shù)列概念本質(zhì)的理解，邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等核心素養(yǎng)的要求較高.

2. 綜合考查通項公式與前n項和公式

例3：（2018全國1卷理4）設(shè)S為等差數(shù)列{a}的前n項和，若3S3=S2+S4，a1=2，則a=（? ）

A. -12 B. -10 C. 10 D. 12

例4：（2019全國1卷理9）記S為等差數(shù)列{a}的前n項和，已知S=0，a=5，則（? ）

A. a=2n-5 B. a=3n-10

C. S=2n2-8n D. S=n2-2n

例5：（2019全國3卷理14）記S為等差數(shù)列{a}的前n項和，若a≠0，a=3a，則=________.

例6：（2021全國新高考1.17）已知數(shù)列{a}滿足a=1，a=

a+1，n為奇數(shù)，

a+2，n為偶數(shù).

（1）記b=a，寫出b，b，并求數(shù)列的通項公式;（2）求{a}的前20項和.

例7：（2021全國2卷理18）已知數(shù)列{a}的各項均為正數(shù)，記S為{a}的前n項和，從下面①②③中選取兩個作為條件，證明另外一個成立. ①數(shù)列{a}是等差數(shù)列：②數(shù)列{}是等差數(shù)列;③a=3a. 注：若選擇不同的組合分別解答，則按第一個解答計分.

命題立意：例3、例4、例5考查等差數(shù)列通項公式與前n項和公式的綜合應(yīng)用，例3、例4主要是根據(jù)題意運用相關(guān)公式列有關(guān)基本量的方程，進(jìn)而得出通項公式、前n項和公式，這兩題都屬于簡單題;例5主要利用通項公式化簡條件，用前n項和公式轉(zhuǎn)化問題并將化簡后的條件代入即可得出答案，屬于簡單題;例6結(jié)合奇偶項給出遞推關(guān)系，需要分析、推理后得出等差數(shù)列，有一定的靈活性，真正體現(xiàn)對數(shù)學(xué)素養(yǎng)的考查，有很好的區(qū)分度，屬于中檔題;例7更是以結(jié)構(gòu)不良試題形式出現(xiàn)，主要考查等差數(shù)列的概念以及通項公式和a與S的基本關(guān)系，本題的求解需要學(xué)生掌握數(shù)列的本質(zhì)，熟練數(shù)列基本知識，具備一定的推理論證能力和解題策略等，屬于中檔題.

3. 等差數(shù)列與等比數(shù)列的簡單綜合

例8：（2017新課標(biāo)3卷理9）等差數(shù)列{a}的首項為1，公差不為0. 若a，a，a成等比數(shù)列，則{a}前6項的和為（? ）

A. -24 B. -3 C. 3 D. 8

例9：（2017新課標(biāo)2卷文17）已知等差數(shù)列{a}的前n項和為S，等比數(shù)列的前n項和為T，a=-1，b=1，a+b=2.

（1）若a+b=5，求的通項公式;

（2）若T=21，求S.

例10：（2019年全國2卷理19）已知數(shù)列{a}和滿足a=1，b=0，4a=3a-b+4，4b=3b-a-4. （1）證明：{a+b}是等比數(shù)列，{a-b}是等差數(shù)列;（2）求{a}和的通項公式.

命題立意：例8、例9綜合考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的基礎(chǔ)知識，題目涉及定義、基本性質(zhì)、通項公式和前n項和公式，考查學(xué)生對數(shù)列基礎(chǔ)知識的理解和掌握情況，題目屬于簡單題;例10題設(shè)已知兩個遞推關(guān)系式，需要通過分析、推理完成等差、等比的證明，進(jìn)而求得通項公式，有一定的綜合性，該題求解對分析能力、解決問題能力，邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象、數(shù)學(xué)運算等素養(yǎng)要求較高，屬于中檔題.

4. 基于等差數(shù)列考查裂項相消法和錯位相減法

例11：（2017新課標(biāo)2卷理15）等差數(shù)列{a}的前n項和為S，a=3，S=10，則=________.

例12：（2020全國1卷理17）設(shè){a}是公比不為1的等比數(shù)列，a為a，a的等差中項. （1）求{a}的公比;（2）若a=1，求數(shù)列{na}的前n項和.

例13：（2021全國1卷文19）設(shè){a}是首項為1的等比數(shù)列，數(shù)列滿足b=. 已知a，3a，9a成等差數(shù)列.

（1）求{a}和的通項公式;（2）記S和T分別為{a}和的前n項和，證明：T<.

命題立意：基于等差數(shù)列考查一類新數(shù)列求前n項和的一般方法，重點考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和數(shù)學(xué)運算核心素養(yǎng);裂項相消法是求解一類由不同等差數(shù)列構(gòu)造而成的新數(shù)列前n項和的重要思想方法;錯位相減法是求解一類由等差數(shù)列乘以等比數(shù)列構(gòu)造而成的新數(shù)列前n項和的重要思想方法，也是等比數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)方法之一. 兩種思想方法對優(yōu)化計算和培養(yǎng)學(xué)生探究并解決實際問題的能力具有重要意義.

5. 考查等差數(shù)列與函數(shù)、不等式等綜合應(yīng)用

例14：（2018全國2卷文理17）記S為等差數(shù)列{a}的前n項和，已知a=-7，S=-15. （1）求{a}的通項公式;（2）求S，并求S的最小值.

命題立意：例14考查利用等差數(shù)列的首項與前n項和公式求解數(shù)列的基本量，進(jìn)而考查前n項和的最值問題，滲透數(shù)列與函數(shù)的邏輯關(guān)系，類比函數(shù)的單調(diào)性研究數(shù)列的增減性，從而解決前n項和的最值問題;例13的第（2）問將數(shù)列與不等式融合在一起，體現(xiàn)綜合性，意在考查學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng)，突出轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想，使得題目更具思想性和方法性.

[?]備考建議

1. 夯實雙基，控制難度

等差數(shù)列客觀題主要考查等差數(shù)列的定義、基本公式及其基本性質(zhì)，突出了“小、巧、活”等特點;解答題主要考查數(shù)列的運算，即用有關(guān)公式和性質(zhì)求解基本量或通過簡單遞推式求通項，一般出現(xiàn)在第17題，多以簡單題和中檔題的形式呈現(xiàn)，在等差數(shù)列與函數(shù)、不等式交匯處命制的綜合題難度也不大，重點對基礎(chǔ)知識、基本技能與基本思想方法的考查.

2. 結(jié)合高考題研究課本例題及習(xí)題

新課標(biāo)高考全國卷注重對基礎(chǔ)知識與基本技能的考查且試題難度整體不大，對等差數(shù)列相關(guān)知識點的復(fù)習(xí)備考要重點關(guān)注等差數(shù)列的定義、基本性質(zhì)、通項公式、前n項和公式等核心考點，吃透概念本質(zhì)，會推導(dǎo)通項公式和前n項和公式，能基于實際問題情境利用公式和性質(zhì)解決實際問題. 回歸課本對開展等差數(shù)列的復(fù)習(xí)備考具有重要意義，對課本典型例題或是習(xí)題結(jié)合高考真題進(jìn)行深度研究與二次開發(fā)是高考一輪復(fù)習(xí)備考的重要方式，給出一個案例供參考.

題源（人教A版必修5 P例3）已知數(shù)列{a}的通項公式為a=pn+q，其中p，q為常數(shù)，那么這個數(shù)列一定是等差數(shù)列嗎？

設(shè)計意圖：一輪復(fù)習(xí)時學(xué)生已經(jīng)了解了等差數(shù)列的定義，會根據(jù)首項和公差求通項公式，但是對等差數(shù)列的證明很多學(xué)生只是停留在了解的認(rèn)知水平，還達(dá)不到考綱要求，解決這個課本例題一方面可以幫助學(xué)生經(jīng)歷等差數(shù)列的證明過程，另一方面加深對等差數(shù)列通項公式的認(rèn)識，清楚地認(rèn)識到p為公差，p+q為首項，也經(jīng)歷了一個二級結(jié)論的產(chǎn)生過程，為后期引導(dǎo)學(xué)生總結(jié)歸納數(shù)學(xué)問題的特征與結(jié)論奠定認(rèn)知基礎(chǔ).

變式1：（情境遷移）（人教A版必修5 P例3）已知數(shù)列{a}的前n項和為S=n2+，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

變式2：（改變條件）已知數(shù)列{a}的前n項和為S=n2++1，求這個數(shù)列的通項公式.這個數(shù)列是等差數(shù)列嗎？

變式3：（總結(jié)歸納）已知數(shù)列{a}的前n項和為S=pn2+qn+r，其中p，q，r為常數(shù)，且p≠0，數(shù)列{a}在何種情況下是等差數(shù)列？

設(shè)計意圖：變式1、2、3在于引導(dǎo)學(xué)生基于元認(rèn)知水平挖掘前n項和之間的邏輯關(guān)系，總結(jié)一般方法;經(jīng)歷問題解決的過程，總結(jié)問題解決活動經(jīng)驗，挖掘數(shù)學(xué)問題的本質(zhì).

變式4：（改變條件）已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，請證明2a=a+a=a+a.

變式5：（一般化）已知數(shù)列{a}是等差數(shù)列，2a=a+a（n>1）是否成立？2a=a+a（n>k>0）是否成立？據(jù)此你能得出什么結(jié)論.

設(shè)計意圖：變式4、5意在引導(dǎo)學(xué)生利用等差數(shù)列通項公式證明等式成立，體會并總結(jié)等差數(shù)列的基本性質(zhì)，在引導(dǎo)學(xué)生利用已有知識經(jīng)驗解決實際問題的過程中還原知識的發(fā)生與發(fā)展過程，對等差數(shù)列相關(guān)知識點的復(fù)習(xí)要從機(jī)械的解題訓(xùn)練中解脫出來，注重變式教學(xué)挖掘問題的本質(zhì)，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯推理核心素養(yǎng).