探究度：教學設計中一個重要課題*——以“正方體截面的探究”為例

任偉芳

(浙江省寧波市教育局教研室 315100)

《普通高中數(shù)學課程標準(2017年版)》(以下簡稱《標準》)把數(shù)學探究活動編入必修課程五個主題中，與數(shù)學建?；顒右黄鸾ㄗh安排6課時，在必修課程中要求學生完成一個課題的探究活動[1]，凸顯了數(shù)學探究活動的重要性.但從探究教學現(xiàn)狀調(diào)研中發(fā)現(xiàn)，一線數(shù)學教師在探究教學設計中普遍存在著沒有教學實踐經(jīng)驗、理論資料缺乏、示范課例較少等現(xiàn)象.為此近日某市直屬在教壇新秀評審時把“正方體截面的探究”作為上課課題，在實踐中對數(shù)學探究活動教學進行大膽的嘗試.在課堂教學中發(fā)現(xiàn)設計探究教學時除了要考慮教學目標和教材內(nèi)容等要素外，學生的探究度也是教師教學設計所要思考的一個重要課題，學生自主與教師指導的“度”的把握是影響達成探究學習目標的直接因素.本文就探究度這一課題在量化分析、課堂實踐和教學建議等方面作了有益的探索，敬請批評指正.

1 探究度分析

所謂探究度是指學生進行自主探究的程度，探究度越高就意味教師指導得越少.國外學者認為探究學習有五個基本特征，即問題、證據(jù)、解釋、評價和發(fā)表，同時為這5個基本特征設定了量化的探究度等級[2].結(jié)合有關文獻和探究教學實踐，筆者提出了數(shù)學探究過程的6個維度，分別是:1問題提出；2猜測結(jié)論；3擬定方案；4論證結(jié)論；5反思評價；6表達交流.其中前五個維度是探究學習基本過程的隱形量化，可以衡量學生自主探究的參與程度，第6個維度是貫穿探究全過程所反應出來的顯性要素.每個維度按照學生自主探究程度由低到高設定三個水平等級，由此相對應分別是跟隨者、模仿者和探索者的角色.如表1.

表1 學生數(shù)學探究度的水平劃分

2 同課異構(gòu)的探究教學

探究內(nèi)容選自《標準》第123頁案例11《正方體截面的探究》，用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？授課對象為某校高三年級的普通班和創(chuàng)新班學生.

2.1 普通班教學

片段1 源自生活，問題提出

一個幾何體和一個平面相交所得到的平面圖形(包含它的內(nèi)部)叫做幾何體的截面.生活中我們會遇到很多截面問題，比如用刀去切正方體的面包，它的截面是什么圖形？怎樣來研究截面問題呢？

片段2 直觀感知，猜測結(jié)論

問題1用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的？

說明：為了使學生能夠直觀感知，需要操作確認.教師預先做了一個幾何畫板正方體截面的動畫，依次拖動三個動點，觀察截面的形狀發(fā)生了怎樣的變化.

片段3 操作確認，擬定方案

問題2如果截面是四邊形，可以截出幾類不同的四邊形？為什么？

問題3除了截面是三角形和四邊形，你還能截出哪些多邊形？為什么？

問題4根據(jù)“一平面與兩平行平面相交，交線平行”的定理，及正方體的六個面相對面平行的特性，你可以得出哪些結(jié)論？

說明：通過師生討論可以總結(jié)得到如圖1所示的截面圖形.

圖1

為了研究截面的形狀先擬定解決問題的方案，譬如要證明截面是銳角三角形，先擬定證明截面三角形的三個角都是銳角，就會聯(lián)想到用余弦定理來解決問題的方案.

片段4 合作交流，論證結(jié)論

圖2

問題5請大家按照四人組成小組進行討論，如果截面是三角形，可以截出幾類不同的三角形，請說明理由.

說明：能截出銳角三角形，截不出直角三角形和鈍角三角形.

證明：設截出的三棱錐的三條側(cè)棱DN、DM、DL的長分別為a、b、c.由余弦定理得

因此∠LNM為銳角，同理另二個角也為銳角.所以只能截出銳角三角形.

圖3

問題6怎樣截能截出最大截面的三角形？

片段5 課堂小結(jié)，反思評價

問題7請您談談本節(jié)課探究的收獲，探究正方體截面您經(jīng)歷了怎樣的過程？

說明：通過對正方體截面形狀的探索，引導學生在交流、思考的過程中增強發(fā)現(xiàn)和提出問題的意識，在想象、解釋的過程中提高分析和解決問題的能力，使學生積累數(shù)學探究活動經(jīng)驗，發(fā)展直觀想象素養(yǎng).數(shù)學探究活動一般流程，如圖4所示.

圖4

2.2 創(chuàng)新班教學

為了促使學生數(shù)學探究度從水平二向水平三提高，將學生從學習模仿者逐步培養(yǎng)成為知識的探索者.采用本原性問題驅(qū)動下的探究型教學，即選取正方體截面中的本原性問題為引子，模擬數(shù)學家做數(shù)學研究的情境，經(jīng)歷數(shù)學問題發(fā)現(xiàn)、分析和解決的過程，回歸教學的本真.上課前一周發(fā)下《課前自主探究作業(yè)》給學生，全班分成五個小組，要求小組長課前組織半個小時小組集中討論交流時間.把學生自主探究放在上課之前，確保有足夠的探究時間，提高探究質(zhì)量，課堂上以展示探究成果為主.

活動一：問題驅(qū)動，課前探究

課前自主探究作業(yè)：思考并完成表2中的探究任務，請?zhí)岢鲂聠栴}，并加以證明.

表2 用平面截正方體截面的形狀

活動二：展示交流，猜證結(jié)論

由學生代表上講臺展示(部分探究結(jié)論整理如下)：

探究1：截面有沒有可能是直角三角形？

說明：截面不可能是直角三角形.

探究2：截出的截面不能是正五邊形？

證明(反證法)：假設截出截面是正五邊形D1EFGH，如圖5.

圖5

由面面平行的性質(zhì)定理可知，EF∥D1H,D1E∥GH，而正五邊形不存在對邊平行的性質(zhì)，故矛盾.所以截面是正五邊形不存在.

探究3：截面有沒有可能是正六邊形？

說明：截面有可能是正六邊形，選取棱的中點依次相連構(gòu)成正六邊形.

探究4：截面有可能是直角梯形嗎？

圖6

證明：不妨假設∠QMN=∠MNP=90°.

由正方體可知CB⊥面

ABFE,BF⊥面ABCD，

因為MN?面ABFE，

所以CB⊥MN；

又因為CB∩NP=P,

CB,NP?面ABCD，

所以MN⊥面ABCD，MN∥BF；

因為MN?面BCGF,BF?面BCGF，

所以MN∥面BCGF；

因為MN?面NPQM，

面NPQM∩面BCGF=QP，

所以MN∥QP.這與截面是梯形相矛盾.

所以截面不可能是直角梯形.

探究5：任意一個平面截正方體，怎樣截使得截面的面積最大？

圖7

圖8

1=DM+MC=GM-GD+EF·cosα

故T=1-(EFcosα)(EFsinα)

②當截面形狀為五邊形時，如圖9，固定E,F，顯然截面過頂點C1時面積會盡可能大，此時是情況①的一種特殊情形(C,M,N共點)，故截面為五邊形時不會取到最大值.

圖9

活動三：小結(jié)收獲，繼續(xù)探究

小結(jié)：用一個平面截正方體，截面的形狀將會是什么樣的圖形?因為正方體有六個面，截面與六個面最多產(chǎn)生六條交線，所以截面形狀可以是銳角三角形，四邊形(平行四邊形，梯形)，五邊形和六邊形，不存在六邊形以上的截面.

探究6：類比平面截正方體探究過程，您還想繼續(xù)提出怎樣的新問題？

說明：學生提出了如下新問題并進行部分論證：平面截正三棱柱，截面是什么圖形？

新問題1：用一個截面截該正三棱柱，截面的形狀有哪幾種可能？

新問題2：平面截正三棱柱，如果截面是三角形可以截出任意的三角形嗎？

說明：存在正三角形截面，截面平行于底面.存在一般的等腰三角形，截面的一條交線與底面平行.可截得鈍角三角形截面.

新問題3：平面截正三棱柱，怎樣截出一個面積最大的三角形？

圖11

3 教學建議

3.1 探究度分析有助于選用恰當?shù)慕虒W方式

弗賴登塔爾認為：“數(shù)學教育方式要結(jié)合學生的生活現(xiàn)實與數(shù)學現(xiàn)實”.生活現(xiàn)實即學生生活中有過的體驗，數(shù)學現(xiàn)實就是學生已具備的數(shù)學知識與素養(yǎng)[3].兩節(jié)同課異構(gòu)教學方式的選取充分考慮到學生的生活和數(shù)學現(xiàn)實.普通班學生采用問題鏈教學方法，即教師結(jié)合正方體截面有可能幾種情況來設計問題鏈，在問題的引導下學生完成猜測、分析、論證和反思的探究過程.問題情境由淺入深，學生數(shù)學探究度從水平一向水平二發(fā)展，促使學生從跟隨者到模仿者角色的轉(zhuǎn)變.教學流程先從教師啟發(fā)引導開始，接著學生自主探究，最后通過四人小組探索出截面圖形特征，在探究過程中使學生體驗問題得到證實后帶來的成功喜悅.而創(chuàng)新班則采用本原性問題驅(qū)動下的研究型教學，所謂本原性問題是指促使一個概念、一個原理、一門理論產(chǎn)生的那些原始的問題[3].本原性問題驅(qū)動下的探究活動教學設計，關鍵在于本原性問題的選取，最終指向?qū)W生的數(shù)學核心素養(yǎng)的培育.一般需要引導學生經(jīng)歷四個探究步驟：首先，研究截面形狀的分類及特征，也就是研究了“是什么”；其次，研究截面所具有的性質(zhì)，在這個過程中遵循從特殊到一般的認知規(guī)律，對這些“特殊”的情形進行大膽猜想，嚴謹論證，也就是解決了“為什么”.第三，回顧探究5的開始階段先猜測三種特殊情形面積的數(shù)值，再建立一般情況的函數(shù)模型，通過函數(shù)單調(diào)性求出函數(shù)的最值，這為解決空間幾何體任意截面所得面積問題的新思路，也就是得到了“怎么做”.第四，解決問題后，學生又提出平面截正三棱柱(或者圓柱、圓錐等)截面是什么圖形等創(chuàng)新性問題.在新的問題情境下進行繼續(xù)探究，也就是提出了“還想做什么”.盡管研究型教學展現(xiàn)出來的問題未見得是歷史上解決這類問題的真實情境，但設計本原性問題驅(qū)動教學能誘發(fā)學生猜證問題的欲望，通過類比推理提出新的問題，讓學生掌握并運用數(shù)學研究的基本途徑與方法.

3.2 探究度量化分析促進教師的精準教學

“教之道在于度”，學生自主與教師指導的“度”的把握需要探究度量化分析，其作用在于實現(xiàn)教學設計精細化：一是促進教師在教學設計時精準地確定探究活動的教學目標.譬如該班級整體學生的探究度學情為1低2高3中4中5中6低，教師在教學設計制定目標時，對1問題提出和6表達交流這二個維度，上課時老師需要特別作針對性指導.教學目標實現(xiàn)并非要在一節(jié)課中面面俱到，對于該班級教學中在創(chuàng)設問題情境和多給學生表達與交流機會方面要實施“精準教學”，達成這兩個維度由低級向中級發(fā)展的教學目標.二是促進教師進行因材施教.譬如根據(jù)探究度量化分析該生為1中2低3中4高5中6高，說明2猜測結(jié)論能力相對較弱，因此教師在猜測合理的數(shù)學結(jié)論時加強方法上的有效引導，設計一些“猜測結(jié)論”問題有針對性訓練，告訴該位同學對于數(shù)學問題需要大膽猜想，小心求證.三是促進探究分組成員之間探究能力的互補.探究學習往往需要學生分組合作進行探究，教師要優(yōu)化組合分組，把探究度水平等級不同學生組合在一起進行分組討論，綜合協(xié)調(diào)教學內(nèi)容、學生能力水平和探究課時時間三者之間的關系，同時給探究能力不同學生的探究時間也要有所區(qū)別．這樣有利于按時完成課程所要求的探究任務.只有在合作探究研究中各取所需、優(yōu)勢互補、分頭共進，才能使學生探究能力不斷地提高.

3.3 采集分析探究度實現(xiàn)學生的深度學習

“為學而教，教學設計中了解學情永遠是第一位”[4].探究教學設計除了要考慮教學目標、教材內(nèi)容等這些固有的要素外，還要分析學生的探究度現(xiàn)狀，因此課前探究度調(diào)查可以幫助教師選擇適合學生的教學方法.基本策略應先收集再分析，在實踐中采集探究度數(shù)據(jù)的常用途徑有：學生自評、同學互評、老師點評、問卷調(diào)查、個別訪談等，采集有關的6個維度數(shù)據(jù)后，接著評價每個學生探究度三個水平，再建立個人檔案詳細記錄學生當時探究度數(shù)據(jù)，最后用六維雷達統(tǒng)計圖或折線統(tǒng)計圖等信息技術手段分析某個學生或整個班級學生探究度的發(fā)展變化狀況.為了提高探究度6個維探究度量化數(shù)據(jù)的準確性，要采用多種途徑采集學生探究度的數(shù)據(jù),盡力排除一切干擾因素.學生真實準確的探究度數(shù)據(jù)是實施因材施教的前提，也是教師教學設計選擇最恰當?shù)慕虒W方法的依據(jù).縱觀上面兩節(jié)同課異構(gòu)教學課例的教學設計，探究方式采用由教師指導下學習型探究還是完全開放研究型教學，如果不準確采集分析學生6維探究度數(shù)據(jù)，就很難實現(xiàn)學生探究活動的深度學習.

總之，“教為了不教”，自主探究學習能力的培養(yǎng)可以為學生終身學習奠定扎實的基礎．對學生進行探究度水平分析，并不能完全概括數(shù)學探究活動的復雜內(nèi)涵，但其意義和作用深遠，它有助于教師確定合理的教學目標，選擇恰當?shù)慕虒W方法，準確把握學生自主與教師指導的“度”，更有效地培育學生的數(shù)學核心素養(yǎng).通過探究度量化分析在教學設計中的運用，使數(shù)學探究活動這朵絢麗多彩之花，成為數(shù)學教學百花園中的一枝奇葩．