從聯(lián)系的觀點(diǎn)看教學(xué)難點(diǎn)的類型*

鐘志華

(南通大學(xué)理學(xué)院 226019)

聯(lián)系的觀點(diǎn)是如此基本，以至于常常被人們所忽視.雷鈉特·N·凱恩、杰弗里·凱恩在《創(chuàng)設(shè)聯(lián)結(jié)：教學(xué)與人腦》一書中指出：學(xué)習(xí)的本質(zhì)就在于找出所學(xué)知識(shí)與學(xué)習(xí)者已經(jīng)知道和看重的東西之間是如何相關(guān)的，以及信息和經(jīng)驗(yàn)之間是怎樣聯(lián)系的.[1]《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2011年版)》指出，世界上一切事物都是相互聯(lián)系的.學(xué)生不應(yīng)該就事論事地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不應(yīng)該孤立地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，不應(yīng)該局限地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，而應(yīng)該在普遍聯(lián)系中學(xué)習(xí)數(shù)學(xué).在數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中要深刻體會(huì)數(shù)學(xué)知識(shí)之間、數(shù)學(xué)與其他學(xué)科之間以及數(shù)學(xué)與生活之間的聯(lián)系.……要善于把學(xué)到的數(shù)學(xué)知識(shí)建成網(wǎng)狀的知識(shí)體系，從而提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)的整體認(rèn)識(shí)和宏觀把握，提高學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng).[2]美國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)也非常重視“聯(lián)系”，它認(rèn)為要使學(xué)生了解和掌握知識(shí)之間的聯(lián)系十分重要，這是數(shù)學(xué)教學(xué)中必須強(qiáng)調(diào)的一項(xiàng)重大任務(wù).學(xué)生有了這種了解和掌握，他就能領(lǐng)會(huì)數(shù)學(xué)是一個(gè)有機(jī)的整體而不是一堆孤立、凌亂的東西；他對(duì)事物的考察就能從多方面去進(jìn)行，思維就會(huì)更加活躍，解決問(wèn)題的手法就會(huì)更加靈活多樣，數(shù)學(xué)能力就能得到提高.[3]可見(jiàn)，聯(lián)系觀點(diǎn)不僅是我國(guó)數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)倡導(dǎo)的核心理念，而且在美國(guó)等很多發(fā)達(dá)國(guó)家也得到廣泛認(rèn)同.

因此，在新知識(shí)的教學(xué)中，教師不僅需要時(shí)時(shí)注意前后知識(shí)之間是否有聯(lián)系？有什么聯(lián)系？而且還要進(jìn)一步運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去分析為什么學(xué)生難以發(fā)現(xiàn)并建立知識(shí)之間的聯(lián)系？為什么難以建立非人為的實(shí)質(zhì)性的聯(lián)系(奧蘇貝爾語(yǔ))？即要運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)去分析教學(xué)難點(diǎn)的類型、成因及突破策略等.[5]本文運(yùn)用聯(lián)系的觀點(diǎn)分析教學(xué)難點(diǎn)的類型.

1 從聯(lián)系形成的過(guò)程看

按照聯(lián)系形成的過(guò)程難點(diǎn)可分為：聯(lián)系識(shí)別中的難點(diǎn)、聯(lián)系解構(gòu)中的難點(diǎn)、聯(lián)系建構(gòu)中的難點(diǎn)、聯(lián)系轉(zhuǎn)換中的難點(diǎn)、聯(lián)系表征中的難點(diǎn)等.

1.1 聯(lián)系識(shí)別中的難點(diǎn)

1.2 聯(lián)系解構(gòu)中的難點(diǎn)

所謂聯(lián)系解構(gòu)，它是分析所研究對(duì)象的構(gòu)成要素、組成成分及其彼此關(guān)系的過(guò)程.在生活中，我們都有這樣的經(jīng)驗(yàn)，當(dāng)碰到一件比較復(fù)雜的對(duì)象時(shí)常常要對(duì)其進(jìn)行分解或分析，看看它由哪些部分或要素組成，各部分或要素之間有什么關(guān)系，…….當(dāng)我們把所研究的對(duì)象分析清楚后再返回去看則會(huì)清晰很多，這其實(shí)就是解構(gòu)的思想方法.比如函數(shù)這一概念的學(xué)習(xí)過(guò)程中就需要分析函數(shù)概念的內(nèi)涵、三要素、外延(即函數(shù)到底包括哪些函數(shù))、性質(zhì)(研究函數(shù)應(yīng)從哪些方面去進(jìn)行)、函數(shù)概念的理解過(guò)程以及函數(shù)定義所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想(到底是變量思想、對(duì)應(yīng)思想還是關(guān)系思想)等，在函數(shù)概念的教學(xué)中系統(tǒng)、深入解構(gòu)這些關(guān)系常常成為函數(shù)教學(xué)的難點(diǎn).又比如對(duì)命題的研究需要搞清楚命題的前提與結(jié)論，命題的發(fā)現(xiàn)、證明及應(yīng)用過(guò)程，命題是簡(jiǎn)單命題還是復(fù)合命題，命題中有無(wú)量詞，命題的功能與適用條件，該命題與其它命題有什么聯(lián)系等.如果在這些方面存在困難就可以說(shuō)是聯(lián)系解構(gòu)中存在困難.

再比如，在解決問(wèn)題過(guò)程中時(shí)常要將一個(gè)問(wèn)題分解為若干小問(wèn)題或?qū)⒔鉀Q問(wèn)題的過(guò)程分解為若干環(huán)節(jié)，特別是碰到問(wèn)題中含有多個(gè)變?cè)?、多個(gè)字母時(shí)還需要進(jìn)行分類討論，在這些地方學(xué)生往往會(huì)出現(xiàn)解構(gòu)困難.比如“已知△ABC的兩邊a,b是方程：x2-4x+m=0的兩根，且兩邊夾角的余弦是方程5x2-6x-8=0的根，求這個(gè)三角形面積的最大值.”這是一道代數(shù)、幾何、三角知識(shí)的綜合題，學(xué)生一看到這樣復(fù)雜的問(wèn)題常常感覺(jué)腦子一片空白，但若能將它“拆”成以下4個(gè)基本題：(1)若△ABC的兩邊a,b是方程：x2-4x+m=0的兩根，求a,b；(2)cosC是方程方程5x2-6x-8=0的根，求sinC；(3)由(1)、(2)寫出△ABC的面積S和a之間的函數(shù)關(guān)系式；(4)求S的最大值，那么題目的結(jié)構(gòu)和解題思路也就清楚多了.

1.3 聯(lián)系建構(gòu)中的難點(diǎn)

所謂聯(lián)系建構(gòu)，它是將所理解的對(duì)象與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)建立非人為的實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的過(guò)程.聯(lián)系建構(gòu)中的難點(diǎn)通常是由于學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠完善或缺乏一定的數(shù)學(xué)思想方法指導(dǎo).比如許多學(xué)生一般對(duì)對(duì)頂角、余角、補(bǔ)角、鄰補(bǔ)角、直角、同位角、內(nèi)錯(cuò)角、同旁內(nèi)角等具體概念理解并不存在多大困難，但要他們弄清楚這些概念之間的區(qū)別與聯(lián)系就比較困難，即難以將新概念很好地納入原有的概念網(wǎng)絡(luò)而形成概念系，這就是聯(lián)系建構(gòu)過(guò)程中的難點(diǎn)，造成這一難點(diǎn)的重要原因是學(xué)生沒(méi)有很好地掌握分類這一重要數(shù)學(xué)思想方法；再比如，三角函數(shù)眾多公式的學(xué)習(xí)一直是教學(xué)的難點(diǎn)，學(xué)生不能很好地理解各公式之間的內(nèi)在聯(lián)系，因而無(wú)法將新學(xué)習(xí)的公式(命題)納入頭腦已有的命題網(wǎng)絡(luò)之中，造成這一現(xiàn)象的原因除有學(xué)生原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)不夠完善這一因素外，更主要的可能是學(xué)生缺乏變換這一數(shù)學(xué)思想方法，不能從變換這一角度來(lái)理解這些公式之間的內(nèi)在聯(lián)系.

1.4 聯(lián)系轉(zhuǎn)換中的難點(diǎn)

聯(lián)系轉(zhuǎn)換就是要識(shí)別變化中的“不變性”，其實(shí)質(zhì)是“異中求同”.數(shù)學(xué)中有許多知識(shí)似是而非、似非而是，準(zhǔn)確識(shí)別數(shù)學(xué)知識(shí)之間的區(qū)別與聯(lián)系對(duì)深化數(shù)學(xué)理解至關(guān)重要.比如初學(xué)者在學(xué)習(xí)相交弦定理、切割線定理、割線定理、切線長(zhǎng)定理時(shí)往往只知道它們之間的區(qū)別，而不知道它們之間的聯(lián)系，而如果能用變換的觀點(diǎn)來(lái)認(rèn)識(shí)它們，就會(huì)發(fā)現(xiàn)相交弦定理是兩直線交點(diǎn)在圓內(nèi)的情形，而割線定理是兩直線交點(diǎn)在圓外的情形、切割線定理是割線定理的特例、切線長(zhǎng)定理又是切割線定理的特例，這樣原來(lái)四個(gè)彼此孤立的定理通過(guò)變換這一數(shù)學(xué)思想方法巧妙地聯(lián)系在一起，從而使學(xué)生不僅見(jiàn)樹(shù)而且見(jiàn)林.

再比如相交線與平行線這一章有對(duì)頂角相等；兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)等性質(zhì)，初學(xué)者對(duì)如此眾多的定理常常感覺(jué)眼花繚亂，難以捉摸.如果能用變式的觀點(diǎn)來(lái)揭示它們之間的內(nèi)在聯(lián)系，那么就會(huì)發(fā)現(xiàn)兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)這三個(gè)定理相互等價(jià)，可以彼此相互推導(dǎo)；而對(duì)頂角相等則是兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等這一定理的特例(兩平行線互相重合時(shí)的情形)；鄰補(bǔ)角互補(bǔ)又是兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)的特例(兩平行線互相重合時(shí)的情形)；而所有上述定理又可以看做是“如果一個(gè)角的兩邊分別平行于另外一個(gè)角的兩邊，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)”這一定理的特例.可見(jiàn)，如果能善于發(fā)現(xiàn)不同命題之間的內(nèi)在聯(lián)系，那么不僅有助于學(xué)生準(zhǔn)確把握彼此之間的本質(zhì)與區(qū)別，而且有助于促進(jìn)學(xué)習(xí)者的深度理解.相反，如果不能很好地揭示它們之間的區(qū)別與聯(lián)系就容易造成學(xué)習(xí)的困難.如有學(xué)生解“求f(x)=loga(x-1)+2，(a>0,a≠1)所恒過(guò)的點(diǎn).”這道題的困難在于不善于將非標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“求F(x)=logax，(a>0,a≠1)所恒過(guò)的點(diǎn)”這一標(biāo)準(zhǔn)問(wèn)題，因此，雖然學(xué)生知道后者的答案，卻想不到將前者轉(zhuǎn)化為后者.

1.5 聯(lián)系表征中的難點(diǎn)

聯(lián)系表征是對(duì)所理解對(duì)象進(jìn)行數(shù)學(xué)表征的過(guò)程.數(shù)學(xué)知識(shí)最終都要采用數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行表征，因此如果數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征方面存在困難必然會(huì)造成學(xué)生數(shù)學(xué)理解困難.我們經(jīng)常見(jiàn)到這樣的現(xiàn)象，許多數(shù)學(xué)知識(shí)直觀上理解可能不一定存在困難，但如果用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表征就會(huì)出現(xiàn)困難，特別是那些含有特殊的、晦澀的數(shù)學(xué)名詞、數(shù)學(xué)短語(yǔ)、較復(fù)雜的數(shù)學(xué)語(yǔ)句等，學(xué)生的理解尤為困難.比如學(xué)生一般都能認(rèn)識(shí)三角形、圓、橢圓并能用自己的日常語(yǔ)言來(lái)進(jìn)行描述，“三角形就是三條線段連在一起的圖形”“圓就是像太陽(yáng)那樣圓圓的東西”“橢圓就是扁的圓”，但要學(xué)生運(yùn)用正確的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)定義這些概念卻很困難.這里除了因?yàn)閷W(xué)生對(duì)這些圖形的本質(zhì)屬性缺乏深刻認(rèn)識(shí)外，語(yǔ)言表征能力薄弱也是非常重要的原因.

又比如函數(shù)的單調(diào)性、對(duì)稱性、凹凸性以及極限等概念從直觀上學(xué)生一般很容易就能理解，但用嚴(yán)格的數(shù)學(xué)語(yǔ)言來(lái)表征就很困難.這也是為什么在初中階段雖然出現(xiàn)了y隨著x的增大而增大(減小)、圖形關(guān)于原點(diǎn)(y軸)對(duì)稱等術(shù)語(yǔ)，而不出現(xiàn)單調(diào)性、奇偶性等概念，就是考慮到初中學(xué)生理解這些形式化的數(shù)學(xué)概念存在困難.另外，數(shù)學(xué)語(yǔ)言表征的困難還體現(xiàn)在數(shù)學(xué)語(yǔ)言的轉(zhuǎn)換上，如果數(shù)學(xué)語(yǔ)言轉(zhuǎn)換能力薄弱也會(huì)造成理解困難，比如許多學(xué)生一見(jiàn)到文字題就感到害怕，究其根由是學(xué)生不善于將文字語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言或符號(hào)語(yǔ)言；又比如有些學(xué)生雖然能對(duì)數(shù)學(xué)概念倒背如流，但若問(wèn)他們到底是什么意思卻一問(wèn)三不知，造成這一現(xiàn)象的主要原因是學(xué)生未能將新知識(shí)轉(zhuǎn)換成自己的內(nèi)部語(yǔ)言(即表象型語(yǔ)言)或者難以用自己的語(yǔ)言正確地表達(dá)出來(lái).

2 從聯(lián)系的表現(xiàn)形式看

按照聯(lián)系的表現(xiàn)形式教學(xué)難點(diǎn)可分為聯(lián)系斷裂型難點(diǎn)、聯(lián)系跳躍型難點(diǎn)、聯(lián)系隱蔽型難點(diǎn)、聯(lián)系復(fù)雜型難點(diǎn)、聯(lián)系模糊型難點(diǎn)、聯(lián)系錯(cuò)位型難點(diǎn)、聯(lián)系沖突型難點(diǎn)(也稱疑點(diǎn))等類型.

2.1 聯(lián)系斷裂型難點(diǎn)

所謂聯(lián)系斷裂型難點(diǎn)就是我們通常所說(shuō)的“忘記”.其實(shí)質(zhì)是知識(shí)之間沒(méi)有形成連通的網(wǎng)絡(luò)，亦即由于新舊知識(shí)之間非人為的、實(shí)質(zhì)性聯(lián)系的斷裂而影響知識(shí)的正確運(yùn)用和順暢遷移.所謂非人為的聯(lián)系是指新知識(shí)與原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)中有關(guān)觀念建立合理的或合乎邏輯的聯(lián)系；實(shí)質(zhì)性聯(lián)系是指新的代表觀念與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中已有的表象、有意義的符號(hào)、概念或命題的聯(lián)系.這種聯(lián)系要求學(xué)習(xí)者心理內(nèi)部對(duì)知識(shí)的表征(或所賦予意義)與知識(shí)的客觀意義應(yīng)建立一種合理的或合乎邏輯的“等價(jià)關(guān)系”，否則，必然會(huì)出現(xiàn)知識(shí)“斷鏈”.如很多學(xué)生記不住三角函數(shù)公式，其根本原因是只單純地死背公式，而未能建立起公式與單位圓、象限角之間的聯(lián)系.建構(gòu)主義認(rèn)為，學(xué)生建構(gòu)知識(shí)的基本方式是同化和順應(yīng).同化是指學(xué)習(xí)者把外在信息納入到已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，以豐富和加強(qiáng)已有的思維傾向和行為模式，使原有的知識(shí)體系得到擴(kuò)大；順應(yīng)是指學(xué)習(xí)者已有的認(rèn)知結(jié)構(gòu)與新的外在信息產(chǎn)生沖突，引發(fā)原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)的重組和調(diào)整，從而建立新的認(rèn)知結(jié)構(gòu).同化是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的量變，而順應(yīng)則是認(rèn)知結(jié)構(gòu)的質(zhì)變.知識(shí)斷鏈，一方面可能是由于新知識(shí)未能歸入到原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)，另一方面可能是雖然學(xué)習(xí)了新知識(shí)，但未能使原有認(rèn)知結(jié)構(gòu)得到重組和改善，因而致使學(xué)習(xí)形式化，知識(shí)表面化.比如許多學(xué)生在學(xué)習(xí)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義時(shí)對(duì)底數(shù)a為什么必須大于0且不等于1常常感到困難，這主要就是對(duì)數(shù)函數(shù)與指數(shù)函數(shù)之間的聯(lián)系斷裂所致.

2.2 聯(lián)系跳躍型難點(diǎn)

聯(lián)系跳躍型難點(diǎn)又稱為抽象性難點(diǎn).這類難點(diǎn)通常發(fā)生在從具體事物中抽象出這類事物的共同特征與本質(zhì)屬性，或從較低的知識(shí)結(jié)構(gòu)向較高知識(shí)結(jié)構(gòu)的躍遷階段或思維方式發(fā)生明顯變化的階段.比如從大量圓的實(shí)例中通過(guò)歸納抽象出“到一個(gè)定點(diǎn)距離等于定值”這一本質(zhì)屬性，從大量平行四邊形的實(shí)例中通過(guò)歸納抽象出“兩組對(duì)邊分別平行”這一本質(zhì)屬性等就屬于第一類難點(diǎn)；而從算術(shù)到代數(shù)式、從一元一次方程到二元一次方程組、從平面幾何到立體幾何的學(xué)習(xí)等則屬于第二類難點(diǎn).第三類難點(diǎn)常發(fā)生在學(xué)生思維從感性思維到理性思維、從邏輯思維到辯證思維、從正向思維到逆向思維、從綜合思維到分析思維、從定性思維到定量思維等階段.比如在初中階段新知識(shí)的引入往往與日常生活、生產(chǎn)實(shí)際相聯(lián)系，比較形象、直觀，遵循從感性認(rèn)識(shí)逐步過(guò)渡到理性認(rèn)識(shí)的規(guī)律；而高中不僅涉及集合語(yǔ)言、函數(shù)語(yǔ)言等抽象的數(shù)學(xué)語(yǔ)言，而且對(duì)數(shù)學(xué)思想方法運(yùn)用的要求比較高，解決問(wèn)題時(shí)常常要綜合運(yùn)用化歸、分類討論、數(shù)形結(jié)合等數(shù)學(xué)思想方法才能解決.由于這類難點(diǎn)或發(fā)生在思維或認(rèn)知發(fā)展的關(guān)鍵階段，或需要具有較強(qiáng)的抽象概括能力，因此，教師在進(jìn)行教學(xué)時(shí)應(yīng)高度重視這類難點(diǎn)所造成的消極影響，要采取鋪墊、架橋、分解、轉(zhuǎn)換等方法來(lái)化難為易、化繁為簡(jiǎn)、化抽象為具體.比如剛學(xué)立體幾何的學(xué)生往往思維還停留在平面幾何的認(rèn)識(shí)水平，他們觀察立體問(wèn)題時(shí)總習(xí)慣于把立體圖形當(dāng)成平面圖形，比如有學(xué)生在求下圖中的線段EF與EG(E、F、G分別為立方體ABCD-A1B1C1D1的棱AA1、AB、A1D的中點(diǎn)，)的夾角時(shí)，就出現(xiàn)了“因?yàn)椤螦EF=45°，∠A1EG=45°，所以∠FEG=180°-45°-45°=90°”這樣的錯(cuò)誤.

圖1

2.3 聯(lián)系隱蔽型難點(diǎn)

方法隱蔽型難點(diǎn)在教材中比較普遍，如證明“平行于同一直線的兩條直線互相平行”這一定理時(shí)采用的反證法、證明三角形內(nèi)角和定理時(shí)所用的添加輔助性方法、求等比數(shù)列前n項(xiàng)和時(shí)用的錯(cuò)位相減法等都屬于方法隱蔽型難點(diǎn)；線索隱蔽型難點(diǎn)主要體現(xiàn)在運(yùn)用數(shù)學(xué)思想、數(shù)學(xué)方法將零散的數(shù)學(xué)知識(shí)整理為完整的知識(shí)結(jié)構(gòu)的過(guò)程中，比如用函數(shù)的觀點(diǎn)把“數(shù)”、“式”、“方程”、“不等式”、“數(shù)列”等知識(shí)串聯(lián)在一起就一直是學(xué)生代數(shù)學(xué)習(xí)中存在的線索隱蔽型難點(diǎn).

2.4 聯(lián)系復(fù)雜型難點(diǎn)

聯(lián)系復(fù)雜型難點(diǎn)是指由于知識(shí)結(jié)構(gòu)或解題過(guò)程中聯(lián)系縱橫交錯(cuò)、分支太多或“拐彎”太多等原因所造成的難點(diǎn).比如在平面幾何入門階段兩角之間各種關(guān)系的區(qū)別與聯(lián)系一直是許多學(xué)生的難點(diǎn)，很多學(xué)生由于無(wú)法理清它們之間的錯(cuò)綜復(fù)雜關(guān)系而對(duì)平面幾何的學(xué)習(xí)產(chǎn)生畏懼.如果教師能引導(dǎo)學(xué)生梳理出以下關(guān)系，那無(wú)論對(duì)于突破學(xué)生的學(xué)習(xí)難點(diǎn)，還是對(duì)于激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣、提振學(xué)生學(xué)好數(shù)學(xué)的信心都很有裨益.

圖2

又比如，在數(shù)學(xué)問(wèn)題的解決中，有的需要反復(fù)分類、有的會(huì)繞很多“彎”.如果在解題時(shí)不能恰當(dāng)?shù)剡M(jìn)行分類或在繞彎的過(guò)程中迷失方向或斷了線索都有可能造成教學(xué)難點(diǎn).例如“設(shè)函數(shù)f(x)對(duì)于任意x，y∈R，都有f(x+y)=f(x)+f(y)，且x>0時(shí)f(x)<0，f(1)=-2.(1)求f(0)；(2)試問(wèn)在x∈[-3,3]時(shí)f(x)是否有最大、最小值？如果有，請(qǐng)求出來(lái)，如果沒(méi)有，說(shuō)明理由.”這道題的解決過(guò)程就要經(jīng)歷：(1)求f(0)；(2)根據(jù)f(x+y)=f(x)+f(y)及f(0)得到函數(shù)f(x)為奇函數(shù)；(3)將閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的單調(diào)性區(qū)間問(wèn)題；(4)聯(lián)想函數(shù)單調(diào)性定義將f(x+y)=f(x)+f(y)轉(zhuǎn)化為f(x+y)-f(x)=f(y)并把x+y與x分別看作是單調(diào)性定義中的x1,x2(x1>x2)；(5)由f(x1)-f(x2)=f(x1-x2)及x>0時(shí)f(x)<0得到函數(shù)f(x)為單調(diào)減函數(shù)從而確定最大(小)值在端點(diǎn)處取得；(6)根據(jù)f(x+y)=f(x)+f(y)及f(1)=-2求得最小值為f(3)=-6.(7)根據(jù)函數(shù)是奇函數(shù)求得最大值為f(-3)=6等如此復(fù)雜的過(guò)程，哪一個(gè)環(huán)節(jié)出了問(wèn)題都會(huì)造成解題困難.

2.5 聯(lián)系模糊型難點(diǎn)

學(xué)習(xí)者由于遺忘或?qū)χR(shí)的理解不夠深入、不夠全面或?qū)χR(shí)之間的內(nèi)在聯(lián)系不夠清晰等原因，常常會(huì)造成學(xué)習(xí)者頭腦中的知識(shí)之間聯(lián)系出現(xiàn)模糊現(xiàn)象.由這些原因?qū)е碌碾y點(diǎn)稱為聯(lián)系模糊型難點(diǎn).聯(lián)系模糊型難點(diǎn)的表現(xiàn)是聯(lián)系時(shí)有時(shí)無(wú)、時(shí)斷時(shí)續(xù)，忽隱忽現(xiàn)，它常給人以一種似懂非懂、似是而非的感覺(jué).比如在生活中經(jīng)常碰到這樣的現(xiàn)象，突然遇見(jiàn)一個(gè)以前的熟人，但就是叫不出名字，這其實(shí)就是思維模糊型難點(diǎn)的一種表現(xiàn).又比如“已知f(x)是定義在(-1,1)上的單調(diào)減函數(shù)，且為奇函數(shù)，若實(shí)數(shù)a滿足f(a-2)+f(4-a2)<0，求a的取值范圍.”許多學(xué)生見(jiàn)到這題以后常常一頭霧水，他們認(rèn)為a的代數(shù)式在“f”的里面，怎能得到關(guān)于a的直接關(guān)系式呢？他們?yōu)槿绾蚊撊ァ癴”一籌莫展.這些學(xué)生為什么做不出這道題呢？其關(guān)鍵原因在于對(duì)函數(shù)單調(diào)性的概念理解不全面、不深刻.因?yàn)檫@些學(xué)生通常只知道由x1f(x2)去判定函數(shù)單調(diào)減.殊不知在函數(shù)單調(diào)的前提下可以由f(x1)>f(x2)?x1

再比如，高中代數(shù)第一單元，許多學(xué)生學(xué)完以后感覺(jué)內(nèi)容既多又雜，十分凌亂，很難理出頭緒.但如果仔細(xì)梳理就會(huì)發(fā)現(xiàn)這一單元從總體上可以分為集合、映射和函數(shù)這三大部分.而集合這一部分又包括集合的涵義與表示、集合間的基本關(guān)系和集合的基本運(yùn)算這三小部分；映射這一部分又包括對(duì)應(yīng)、映射與一一映射(對(duì)應(yīng)或映射的特例)等；而函數(shù)這一部分又包括函數(shù)的概念、函數(shù)的三要素(構(gòu)成函數(shù)的要件)、函數(shù)的性質(zhì)(內(nèi)涵)、函數(shù)的類型(外延)、函數(shù)的圖像(屬于函數(shù)的表示問(wèn)題)等.而這三大部分之間也有非常密切的聯(lián)系：集合是研究映射和函數(shù)的基礎(chǔ)和工具，而對(duì)應(yīng)、映射(函數(shù))則是研究集合之間關(guān)系的一種方法.在初中階段研究?jī)蓚€(gè)集合之間的關(guān)系要么采用整體和定性的研究方法，要么采用運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)來(lái)研究，如研究直線的平行與相交、三角形的全等與相似等既可以認(rèn)為是整體研究方法也可以認(rèn)為是采用了運(yùn)動(dòng)和變化的觀點(diǎn)；而初中函數(shù)的研究一般采用的是運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)(變量說(shuō))，采取的是定性研究的方法(用文字語(yǔ)言描述函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性).而到了高中階段研究?jī)蓚€(gè)集合之間的關(guān)系則采用了分析的辦法(通過(guò)研究?jī)蓚€(gè)集合中的元素關(guān)系來(lái)研究這兩個(gè)集合之間的關(guān)系)，顯然這種研究方法更精細(xì)、更嚴(yán)密，同時(shí)也為運(yùn)用代數(shù)方法研究幾何問(wèn)題奠定了基礎(chǔ).理解了這一點(diǎn)，就知道為什么要先研究集合，為什么研究了集合以后馬上要研究映射，為什么研究了映射以后要研究函數(shù)的性質(zhì)和各種基本初等函數(shù)等等.

2.6 聯(lián)系錯(cuò)位型難點(diǎn)

2.7 聯(lián)系沖突型難點(diǎn)(也稱疑點(diǎn))

所謂疑點(diǎn)，就是指學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中所遺留下來(lái)的疑問(wèn)之處，這種疑問(wèn)又可以分成兩種：一種是對(duì)教材本身尚不很理解所留下的疑問(wèn).比如，有些高中學(xué)生在學(xué)完函數(shù)概念以后常常會(huì)產(chǎn)生“既然初中已經(jīng)學(xué)過(guò)函數(shù)概念，為什么高中還要再學(xué)？”“初高中函數(shù)概念之間到底有什么區(qū)別與聯(lián)系？”等疑問(wèn)；另一種是對(duì)教材已經(jīng)理解，但從舊知識(shí)的基礎(chǔ)上產(chǎn)生了新的疑問(wèn)，個(gè)別思維能力很強(qiáng)的學(xué)生還會(huì)提出比較新穎且具創(chuàng)建性的問(wèn)題.比如，有學(xué)生在學(xué)了圓與圓的位置關(guān)系以后馬上向老師提出質(zhì)疑，他說(shuō)：“老師，我覺(jué)得圓與圓的位置關(guān)系不止五種，比如一個(gè)圓從另外一個(gè)圓中穿過(guò)就不屬于我們課上講的情況.”又比如，在學(xué)了等差數(shù)列、等比數(shù)列以后，就有學(xué)生問(wèn)老師“有既成等差又成等比的數(shù)列嗎？”等等.諸如此類問(wèn)題教師在教學(xué)過(guò)程中經(jīng)常會(huì)碰到.應(yīng)該說(shuō)，學(xué)生在學(xué)習(xí)過(guò)程中，有疑問(wèn)是完全正常的，也完全符合思維邏輯發(fā)展的過(guò)程，特別對(duì)后一種疑問(wèn)，更應(yīng)該積極引導(dǎo)，熱情關(guān)注，而不應(yīng)該抱著學(xué)生是在故意找茬或想讓老師出洋相這樣一種與學(xué)生對(duì)立的態(tài)度去對(duì)待學(xué)生的疑問(wèn).事實(shí)上，學(xué)生有疑問(wèn)，正說(shuō)明學(xué)生在積極思維，教師不僅應(yīng)該充分認(rèn)識(shí)疑問(wèn)的潛在價(jià)值，如可以澄清學(xué)生疑惑、生成新的知識(shí)，產(chǎn)生新的發(fā)現(xiàn)、促進(jìn)創(chuàng)新能力培養(yǎng)等；而且應(yīng)該對(duì)提出疑問(wèn)的學(xué)生進(jìn)行鼓勵(lì)，培養(yǎng)他們勇于提問(wèn)的意識(shí)與積極性.