初中幾何概念教學的有效策略
——以“線段中點”為例

楊小麗

(北京教育學院數(shù)學系 100044)

數(shù)學概念在數(shù)學學習中占有重要位置.“數(shù)學根本上是玩概念的, 不是玩技巧.技巧不足道也!”[1]然而在目前的數(shù)學教學中，依然大量存在著過度注重解題訓練、淡化概念教學的現(xiàn)象.“線段中點”是一個非常簡單的概念，但這樣一個看似簡單的概念，卻是初中階段用于形式化推理訓練的第一個幾何概念.本文將以“線段中點”為例，剖析幾何概念教學存在的問題，并在教學實踐的基礎上給出教學策略.

1 “線段中點”教學問題剖析

對于“線段中點”，一種常見的教學過程是：首先花20分鐘左右的時間講比較線段的長短及線段的和與差，然后花3分鐘左右的時間講線段中點定義的文字語言和符號語言，接著花20分鐘解題，最后花2分鐘小結.

上述“線段中點”教學，存在以下幾方面的問題：(1)沒有揭示為什么要學習“線段中點”；(2)忽視對“線段中點”定義內(nèi)涵的剖析；(3)關注解題，且例習題對演繹推理的要求過高，超出了大部分學生現(xiàn)階段的幾何思維水平；(4)忽視概念的組織和方法的學習，沒有構建知識結構網(wǎng)絡.

2 教學設計的改進與實施

為了解決上述問題，鑒于概念教學的重要性，對教材建議的課時安排進行相應調(diào)整，將線段中點作為獨立的一課時進行設計與實施.

階段一：概念引入

問題1：前面我們學習了線段的定義、表示和性質(zhì).如果我們進一步研究線段，你認為還可以研究什么？怎樣研究？

師生活動：學生思考、回答，教師對學生的回答進行結構化整理.如果有學生回答研究線段上的點，教師則追問：你是怎樣想到研究線段上的點的？如果學生回答不出來，教師則追問：線段是由什么元素組成的？

設計意圖：通過啟發(fā)式提問，讓學生認識到，對于一個幾何圖形，除了研究其形狀、大小(長度)，還可以進一步對其組成元素進行研究.對于線段這樣一個基本平面圖形，還可以進一步研究其組成元素——點，從而明確研究對象.

問題2：請你在線段AB上畫一個點C.點C的位置有哪幾種情況？

師生活動：學生畫圖，教師巡視，將學生不同的畫法呈現(xiàn)在黑板相應位置.點C的三種位置情況如圖1，2，3所示.

圖1

追問1：對于圖1-3，我們可以研究什么？分別能得到哪些結論？

師生活動：學生思考回答，教師歸納概括：可以研究線段AB,AC,BC三條線段之間的數(shù)量關系.三個圖中均有AB=AC+BC,此外，圖1中ACBC.

圖2

圖3

追問2:上述三種情況哪一種值得進一步研究？

設計意圖：通過問題2讓學生經(jīng)歷逐步聚焦研究對象的過程.線段上任意一點C將線段分為兩部分，構成了三條線段.這時候可以研究這三條線段之間的大小關系.無論點C的位置在哪，都恒有AB=AC+BC成立，但隨著點C的移動，線段AC與BC的大小關系在發(fā)生改變，其中有一個位置最特殊，那就是線段中點，因此值得進一步研究.

階段二：明確定義

問題3：圖2中點C的位置最特殊，值得我們進一步研究.我們把這個點叫做線段AB的中點.你能給線段中點下個定義嗎？

設計意圖：通過問題3培養(yǎng)學生的語言概括能力.

階段三：定義剖析

問題4：你是如何理解線段中點定義的？

師生活動：學生思考回答，教師整理概括：線段中點的定義有兩方面的內(nèi)涵.一方面，如果知道了“點C是線段AB的中點”，就能得到“AC=BC”，另一方面，如果知道了“AC=BC(如圖2，點C在線段AB上)”，就可以判斷“點C是線段AB的中點”.

設計意圖：通過問題4對線段中點定義進行解析，讓學生知道可以從正、反兩個角度來理解線段中點的定義，為學生認識“定義是推理的前提”奠定基礎.在理解線段中點定義內(nèi)涵的基礎上，給出線段中點的符號語言.

問題5：由線段中點定義我們知道了線段AC，BC之間的數(shù)量關系，那線段AC與線段AB，線段BC與線段AB之間的數(shù)量關系是什么？

追問1：你是怎么得到的？

追問2：為什么？

階段四：概念強化

問題7：判斷下列語句是否正確？為什么？

(1)如果AC=BC，那么點C是線段AB的中點.

(2)如果AB=2AC，那么點C是線段AB的中點.

(3)如果AC+BC=AB，那么點C是線段AB的中點.

師生活動：學生回答判斷結果，教師追問理由，學生舉反例.

設計意圖：由于線段中點定義比較簡單，正例的變式很少，所以本節(jié)課中只采用了反例，目的是讓學生認識到：在沒有提供圖的情況下，要判斷一個點是否是線段中點，除了要滿足一定的數(shù)量關系，“點C在線段AB上”這一位置關系的條件必不可少，以強化學生對概念的理解.此外，還可以讓學生初步體會判斷一個數(shù)學命題真假的思維范式：判斷一個命題“為真”需要證明，而判斷一個數(shù)學命題“為假”，只需要舉一個反例就可以了.

階段五：概念應用

問題8：如圖4所示，點C是線段AB的中點.

圖4

(1)若線段AC=5，求線段BC的長.

(2)若線段AB=10，求線段AC的長.

(3)若線段BC=5，求線段AB的長.

師生活動：學生先解決問題，師生交流，初步規(guī)范表達和書寫.

設計意圖：問題8從計算的角度看非常簡單，幾乎所有學生都能正確求出所求線段的長.然而學生的難點不在于計算，而在于如何有條理地表達推理過程.問題8的目的有兩個：一是如何根據(jù)所求恰當?shù)剡x擇推理的依據(jù)，二是初步培養(yǎng)學生有條理的數(shù)學表達能力，為今后更復雜的推理奠定扎實的基礎.

問題9：請大家在紙上畫一條線段DE，找到它的中點F并畫出來.

追問：你是怎么找到點F的？怎樣說明你找的點F就是線段DE的中點？

師生活動：學生畫圖，師生交流.

設計意圖：學生很容易找到線段DE的中點F，但是很少有學生會去思考：為什么點F是線段DE的中點.問題9最直接的目的是體會定義的判定作用；更重要的目的在于培養(yǎng)學生的推理意識、體會數(shù)學有別于其他學科的特點.

階段六：概念組織

問題10：今天我們進一步對線段進行了研究，重點研究了線段中點.那為什么要研究線段中點呢？我們是如何研究線段中點的？通過研究線段中點，得到了哪些結論？

師生活動：學生回顧反思，教師提煉概括.

設計意圖：問題10的目的是提煉線段的研究路徑，形成知識結構，幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗，以順利遷移至后續(xù)角平分線等內(nèi)容的學習和研究中.

3 初中幾何概念教學的有效策略

3.1 注重大觀念統(tǒng)領，明確研究內(nèi)容，體現(xiàn)幾何圖形研究的一般路徑

“幾何學的本質(zhì)是研究空間的圖形，研究圖形的性質(zhì)以及圖形之間的關系.[2]”在這樣一個大觀念的引領下，對于線段的研究，有兩個內(nèi)容：一是對線段自身進行研究，即對線段的大小(長度)、形狀以及線段的組成元素進行研究；二是對圖形之間的關系進行研究,即研究線段與線段之間的關系，如數(shù)量、位置關系等.而對線段中點的研究是對線段自身的進一步研究.基于此，可以將線段的知識結構重構如圖5所示.

圖5 線段知識結構

因此，線段的研究路徑為：(1)從現(xiàn)實生活中抽象出線段→(2)給線段描述性定義→(3)用符號語言表示線段→(4)研究線段的性質(zhì)→(5)研究線段的組成元素：點，其特例為線段中點→(6)研究線段與線段之間的關系.

在前述改進的教學設計中，概念引入部分通過問題1和問題2，初步感知了線段的研究路徑、明晰了為什么要研究線段中點，對后續(xù)學習中研究對象和研究問題的提出起到了示范作用.

3.2 注重揭示定義的內(nèi)涵，體會定義是推理的邏輯起點

其次從課堂教學觀察到，學生只能從一個角度理解線段中點定義的內(nèi)涵.具體來說，學生只知道“如果點C是線段AB的中點”，就能夠得到“AC=BC”.而進一步追問：還能怎么理解線段中點的定義，學生不知如何回答，也就是說，他們還不能理解線段中點定義的判定作用.這需要授課教師予以揭示，以讓學生明確線段中點定義具有性質(zhì)和判定的雙重作用、是推理的邏輯起點，初步感受公理化思想.

3.3 注重概念應用的循序漸進，逐步發(fā)展邏輯推理素養(yǎng)

在實際教學中，在“線段中點”的應用部分，教師不僅要求學生使用簡化的三段論的表達形式：“小前提，結論(大前提)”，而且還會涉及難度較大的推理.有研究[3]表明：7年級有25%的學生幾何思維達到了水平3，也就是說有能力進行非形式化的證明；僅有1%的學生幾何思維水平達到了水平4，即可以從已知條件出發(fā)，采用邏輯推理的方式證明命題.上述研究結果說明，教師對推理的要求大大超出了學生現(xiàn)有的幾何思維水平.而“學生推理能力的發(fā)展是一個長期的過程，教學中必須充分考慮不同階段學生的身心特點和認知水平”，“如果脫離學生的實際，任意拔高命題證明的難度，將使部分學生失去學習的興趣，喪失學會數(shù)學的信心”[4].因此，作為初中幾何推理的起始課，需注意對概念的應用要循序漸進、對推理的要求由易到難.

在前述改進的教學設計中，通過問題5和問題6對“線段中點”的定義進行應用；通過問題8和問題9對“線段中點”的定義、性質(zhì)、判定進行簡單的應用，凸顯了概念應用的基礎性，初步培養(yǎng)學生思維的條理性和推理的邏輯性，為今后更復雜的推理奠定扎實的基礎，從而逐步落實邏輯推理素養(yǎng)的培養(yǎng).

3.4 注重概念的組織，體現(xiàn)知識的整體性

“概念教學中，關鍵是要使學生建立概念的網(wǎng)絡結構”，“通過‘組織’獲得對相關概念之間聯(lián)系性的認識，形成層次化的概念結構”.[5]而最后5分鐘左右的課堂小結是進行“概念組織”的黃金時間.

在線段中點的小結部分，教師可在圖5的基礎上，將學生的回答進一步結構化，繪制圖6.

圖6

圖6包含了以下內(nèi)容：首先總結了圖形與幾何的研究對象是幾何圖形，幾何圖形又包括平面圖形和立體圖形.其次，提煉了線段的研究路徑.最后，厘清了線段中點定義、性質(zhì)和判定之間的邏輯關系.這樣的結構圖不僅包含了具體的知識點，還清晰地呈現(xiàn)了各個知識點之間的聯(lián)系，不僅有利于學生更全面地理解線段中點的概念、厘清不同知識之間的內(nèi)在聯(lián)系，而且還有利于學生將其遷移至后續(xù)角等內(nèi)容的學習中.如角平分線是對角自身的進一步研究、研究過程可以完全類比線段中點的研究過程；余角補角研究的是角和角之間的數(shù)量關系，對頂角和鄰補角研究的是具有特殊位置關系的兩個角之間的數(shù)量關系.這樣就能將看似碎片化的知識點進行整體設計，有助于優(yōu)化學生的認知結構，使學生對知識的掌握更加系統(tǒng)和深入.