通過代數(shù)運(yùn)算研究數(shù)列建立數(shù)列模型解決問題

章建躍

(人民教育出版社 課程教材研究所 100081)

在處理現(xiàn)實(shí)中的變化問題(例如存款利率、購房貸款、放射性物質(zhì)的衰變、人口增長等)時，通常采用按時序間隔一定時間記錄數(shù)據(jù)的方法收集數(shù)據(jù).如果將第n次記錄的數(shù)據(jù)表示為an，那么就得到了一個數(shù)列：a1，a2，a3，…，an，….以函數(shù)的觀點(diǎn)看，因?yàn)槊恳淮斡涗浀臄?shù)據(jù)都是唯一確定的，所以我們可把時間作為自變量進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，得出相應(yīng)的函數(shù)模型以刻畫變化規(guī)律.所以，數(shù)列是一類特殊的函數(shù).與函數(shù)的研究內(nèi)容、過程和方法類似，高中階段對數(shù)列的研究也是以“背景——概念(定義、表示、分類)——性質(zhì)——特例”為基本架構(gòu)，其中“特例”是指等差數(shù)列、等比數(shù)列這兩類有明確的現(xiàn)實(shí)背景、可以給出精確的規(guī)律表達(dá)、在解決實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題中有重要應(yīng)用價值的數(shù)列，對它們的研究按照“背景——概念——表示——性質(zhì)——求和公式——應(yīng)用”的路徑展開.其中，數(shù)列求和是數(shù)列這一對象的獨(dú)特研究內(nèi)容，不僅與現(xiàn)實(shí)生產(chǎn)生活聯(lián)系緊密，自古以來都是人們感興趣的話題，求和過程中需要的代數(shù)變形技巧對人的智力具有挑戰(zhàn)性，因此非常引人入勝，而且其中蘊(yùn)含著差分、微積分等基本思想，從而使數(shù)列成為研究函數(shù)問題的一個有力工具.在研究方法上，一列數(shù)中蘊(yùn)含的規(guī)律一般是從具體到抽象，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律，通過代數(shù)推理證明規(guī)律，因而具有鮮明的代數(shù)特點(diǎn).數(shù)列的學(xué)習(xí)能有效提升學(xué)生的數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理、數(shù)學(xué)抽象等素養(yǎng).下面根據(jù)《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)(2017年版)》(簡稱“課程標(biāo)準(zhǔn)”)的要求，討論數(shù)學(xué)學(xué)科核心素養(yǎng)立意的數(shù)列教材與教學(xué)問題.

1 課程定位

課程標(biāo)準(zhǔn)認(rèn)為，數(shù)列是一類特殊的函數(shù)，是數(shù)學(xué)重要的研究對象，是研究其他類型函數(shù)的基本工具，在日常生活中也有著廣泛的應(yīng)用.本單元的學(xué)習(xí)，可以幫助學(xué)生通過對日常生活中實(shí)際問題的分析,了解數(shù)列的概念；探索并掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的變化規(guī)律，建立通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式；能運(yùn)用等差數(shù)列、等比數(shù)列解決簡單的實(shí)際問題和數(shù)學(xué)問題，感受數(shù)學(xué)模型的現(xiàn)實(shí)意義與應(yīng)用；了解等差數(shù)列與一元一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的聯(lián)系，感受數(shù)列與函數(shù)的共性與差異，體會數(shù)學(xué)的整體性.本單元課程內(nèi)容包括：數(shù)列概念、等差數(shù)列、等比數(shù)列、數(shù)學(xué)歸納法.

分析上述表述可以發(fā)現(xiàn)，課程標(biāo)準(zhǔn)特別強(qiáng)調(diào)數(shù)列的函數(shù)屬性，不僅強(qiáng)調(diào)它是一類特殊的函數(shù)，而且要求把等差數(shù)列、等比數(shù)列分別和一次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)聯(lián)系起來，由此感受數(shù)列與函數(shù)的共性和差異.事實(shí)上，對于任意一個函數(shù)y=f(x)，x∈A，只要N?A，那么f(1)，f(2)，f(3)，……就是一個數(shù)列.不過，數(shù)列的研究內(nèi)容和方法還是有自己的特性.例如，對于函數(shù)的研究，對應(yīng)關(guān)系、圖象與性質(zhì)是主題，研究方法上強(qiáng)調(diào)數(shù)形結(jié)合，幾何直觀是非常重要的手段；而數(shù)列的研究中，通項(xiàng)公式(相應(yīng)于函數(shù)的解析式)、求和公式是重點(diǎn)，更強(qiáng)調(diào)通過代數(shù)運(yùn)算解決問題，其中數(shù)列的迭代問題是非常重要的.

如何理解“數(shù)列是研究其他類型函數(shù)的基本工具”？確切地說，在研究函數(shù)的變化規(guī)律時，一般是通過離散的形式(數(shù)列)，用數(shù)列的極限研究函數(shù)，這一點(diǎn)在高等數(shù)學(xué)中才能表現(xiàn)清楚.另外，如前所述，研究一個現(xiàn)實(shí)中的變化問題，往往要從處理這個變化過程中的數(shù)據(jù)入手，這些數(shù)據(jù)一定都是離散的，處理數(shù)據(jù)要用數(shù)列這個工具.

與函數(shù)的研究類似，對數(shù)列的研究，也是在了解數(shù)列的一般概念基礎(chǔ)上，著重對有規(guī)律的、在現(xiàn)實(shí)中有大量應(yīng)用的數(shù)列——等差數(shù)列、等比數(shù)列展開研究.

2 本單元內(nèi)容與要求

1.數(shù)列概念

通過日常生活和數(shù)學(xué)中的實(shí)例，了解數(shù)列的概念和表示方法(列表、圖象、通項(xiàng)公式)，了解數(shù)列是一種特殊函數(shù).

2.等差數(shù)列

(1)通過生活中的實(shí)例，理解等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

(2)探索并掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等差數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

(3)能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等差關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

(4)體會等差數(shù)列與一元一次函數(shù)的關(guān)系.

3.等比數(shù)列

(1)通過生活中的實(shí)例，理解等比數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式的意義.

(2)探索并掌握等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，理解等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與前n項(xiàng)和公式的關(guān)系.

(3)能在具體的問題情境中，發(fā)現(xiàn)數(shù)列的等比關(guān)系，并解決相應(yīng)的問題.

(4)體會等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)的關(guān)系.

4.*數(shù)學(xué)歸納法

了解數(shù)學(xué)歸納法的原理，能用數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列中的一些簡單命題.

從課程標(biāo)準(zhǔn)的內(nèi)容和要求中可以發(fā)現(xiàn)，對數(shù)列的研究，重點(diǎn)在等差數(shù)列和等比數(shù)列，當(dāng)然要在了解數(shù)列的一般概念和表示的基礎(chǔ)上.課程標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定的等差數(shù)列、等比數(shù)列內(nèi)容和要求是同構(gòu)的，因此兩者的教材結(jié)構(gòu)、學(xué)習(xí)過程具有很強(qiáng)的可類比性.這兩類數(shù)列是最基本而有用的，對它們的概念、取值規(guī)律與應(yīng)用的研究，將為學(xué)生研究其他類型的數(shù)列提供工具——我們往往通過代數(shù)變形將其他類型的數(shù)列化歸為等差或等比數(shù)列.“等差”、“等比”的規(guī)律具有非常豐富的表現(xiàn)形式，理解并能運(yùn)用這些規(guī)律解決問題，需要有比較強(qiáng)的代數(shù)思維、推理和運(yùn)算能力.

等差數(shù)列、等比數(shù)列的許多結(jié)論，例如通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式等，都是通過不完全歸納法得出的，其正確性需要利用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.數(shù)學(xué)歸納法本質(zhì)上是把一個涉及無窮的問題轉(zhuǎn)化為一個遞推關(guān)系命題P(n)?P(n+1)，通過具體例子讓學(xué)生明白第二步要證明的是一個新命題：以P(n)為條件，推出P(n+1)，這是重點(diǎn)，也是難點(diǎn).

3 本單元的內(nèi)容理解與教學(xué)思考

3.1 研究路徑的構(gòu)建

與函數(shù)的整體架構(gòu)完全類似，本單元包括數(shù)列的一般概念和特殊的數(shù)列兩部分，按照研究一個數(shù)學(xué)對象的基本套路展開，即:

數(shù)列的事實(shí)——數(shù)列的概念(定義、表示、分類)——數(shù)列的性質(zhì).

其中，數(shù)列的表示有通項(xiàng)公式、圖象、表格、列舉、遞推公式等等，遞推公式體現(xiàn)了數(shù)列的迭代特點(diǎn)，是一種重要形式.

等差數(shù)列與等比數(shù)列的研究路徑是：

事實(shí)——概念——通項(xiàng)公式——性質(zhì)——前n項(xiàng)和公式——應(yīng)用.

等差數(shù)列的性質(zhì)本質(zhì)上是自然數(shù)及其運(yùn)算的性質(zhì)，特別是“平均數(shù)”，其特例是等差中項(xiàng)；等比數(shù)列的性質(zhì)本質(zhì)上是指數(shù)冪及其運(yùn)算的性質(zhì)，其特例是等比中項(xiàng).具體的將在后面闡釋.

3.2 研究數(shù)列這個數(shù)學(xué)對象的一般觀念是“運(yùn)算”

代數(shù)學(xué)的根源在于運(yùn)算，運(yùn)算是發(fā)現(xiàn)和證明數(shù)列所蘊(yùn)含規(guī)律的基本手段.例如，三角形數(shù)、正方形數(shù)、五邊形數(shù)、……的規(guī)律.

三角形數(shù)

正方形數(shù)

五邊形數(shù)

以運(yùn)算的方式對這些多邊形數(shù)進(jìn)行表達(dá)，規(guī)律就非常明顯.

三角形數(shù)：1，1+2，1+2+3，1+2+3+4，…

其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1，an=an-1+n(n>1，n∈N)；

正方形數(shù)：1，1+3，1+3+5，1+3+5+7，…

其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1，an=an-1+(2n-1) (n>1，n∈N)；

五邊形數(shù)：1，1+4，1+4+7，1+4+7+10，…

其中蘊(yùn)含的規(guī)律是a1=1，an=an-1+(3n-2) (n>1，n∈N)；

……

由此可以容易地得到任意的k邊形數(shù)的排列規(guī)律：

a1=1，an=an-1+(k-2)n-(k-3) (n>1，n∈N).

分析“等差數(shù)列”這個詞可以發(fā)現(xiàn)，“等差”是先通過減法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)“差相等”，然后再用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)這個規(guī)律而形成的；同樣，“等比數(shù)列”中的“等比”也是通過除法運(yùn)算發(fā)現(xiàn)“比相等”，再用嚴(yán)謹(jǐn)?shù)臄?shù)學(xué)語言表達(dá)這個規(guī)律而形成的.

等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，基本而重要的是數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間確定的關(guān)系，可以拓展到項(xiàng)與和、和與和的關(guān)系，本質(zhì)上是“運(yùn)算中的不變性、規(guī)律性”，所以發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系要依靠代數(shù)運(yùn)算.

3.3 如何幫助學(xué)生建立數(shù)列的基本概念

建立數(shù)列的一般概念，其困難在于想到在數(shù)列的項(xiàng)與序號之間建立聯(lián)系.數(shù)列中的每一項(xiàng)都有特定的位置，同樣的一些數(shù)，順序變了就是不同的數(shù)列.因此給定一個序號(即“數(shù)列中的第幾位”)就有唯一確定的數(shù)與之對應(yīng)，這表明“數(shù)列是一類特殊的函數(shù)”.

為了引導(dǎo)學(xué)生理解數(shù)列的上述本質(zhì)特征，人教A版先引入數(shù)學(xué)符號(hi或si)表示數(shù)列中的數(shù)，再揭示下標(biāo)i的數(shù)學(xué)含義：下標(biāo)i表示數(shù)列中的數(shù)按一定順序排列時的位置，或者說第i個位置的數(shù)只能是hi，這就從數(shù)學(xué)的角度說明了數(shù)列中的數(shù)是不能交換位置的，從而明確具體實(shí)例的本質(zhì)特征——“具有確定順序的一列數(shù)”，然后順理成章地抽象出數(shù)列的一般形式{an}，并用符號表示為an=f(n)，從而與函數(shù)概念建立聯(lián)系.以下是人教A版構(gòu)建的數(shù)列概念形成過程：

1.具體實(shí)例的分析

用數(shù)學(xué)的方式分析3個實(shí)例(生活、科學(xué)、數(shù)學(xué))，分別得出“具有確定順序的一列數(shù)”的結(jié)論，在此過程中讓學(xué)生通過模仿熟悉這樣的表達(dá)方式.

2.給出定義

歸納具體實(shí)例的共同特征，給出定義，并明確相關(guān)概念(項(xiàng)、首項(xiàng))，給出記號a1，a2，…，an，簡記為{an}.

3.用函數(shù)的觀點(diǎn)進(jìn)行再認(rèn)識

明確序號與項(xiàng)之間的對應(yīng)關(guān)系an=f(n) 以及如何從一個函數(shù)中“導(dǎo)出”一個數(shù)列.

4.數(shù)列的表示

通項(xiàng)公式、表格、圖象、遞推公式等.

數(shù)列的表示中，遞推公式反映了數(shù)列中項(xiàng)之間的迭代關(guān)系，是非常重要的表示形式.另外，數(shù)列的前n項(xiàng)和公式Sn與通項(xiàng)公式an之間存在的關(guān)系在研究數(shù)列問題時具有特別的作用，是用構(gòu)造法進(jìn)行代數(shù)證明的主要依據(jù).

5.數(shù)列的分類

與其他數(shù)學(xué)對象類似，數(shù)列也有不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，例如遞增數(shù)列、遞減數(shù)列、常數(shù)列、擺動數(shù)列，有限數(shù)列和無窮數(shù)列等.

3.4 關(guān)于等差數(shù)列

1.如何引導(dǎo)學(xué)生抽象等差數(shù)列的本質(zhì)特征

用數(shù)學(xué)的方式觀察一類事物，在空間形式上，一般從物體的組成元素(以點(diǎn)、直線、平面為基本元素)及其形狀和位置關(guān)系入手；在數(shù)量關(guān)系上，一般通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)其共性、規(guī)律性，進(jìn)而得出本質(zhì)特征.

一個數(shù)列{an}具有“等差”的特性，是指其相鄰兩項(xiàng)之間具有確定的關(guān)系，即an+1-an=d對任意n∈N+都成立，其中d是一個定值.如果寫為an+1=an+d，那么就和自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)具有本質(zhì)的一致性.自然數(shù)系中，n+1稱為n的后繼數(shù)，數(shù)列{an}中，an+1是an的后繼項(xiàng).因此，等差數(shù)列的“原型”就是自然數(shù)列.這個觀點(diǎn)的意義是：在研究等差數(shù)列時，可以從對自然數(shù)的研究中得到啟發(fā).

人教A版構(gòu)建的等差數(shù)列概念形成過程如下：

第一步，通過“北京天壇圜丘壇地面從內(nèi)到外各圈的石板數(shù)9，18，27，36，45，54，63，72，81”等具體實(shí)例，設(shè)置“思考”欄目：

在代數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們總是通過運(yùn)算來發(fā)現(xiàn)規(guī)律.例如，在指數(shù)函數(shù)的學(xué)習(xí)中，我們通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)了A，B兩地旅游人數(shù)的變化規(guī)律.類似地，你能通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)以上數(shù)列的取值規(guī)律嗎？

把學(xué)生的思維引到“運(yùn)算”，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)數(shù)列的取值規(guī)律或相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系.

學(xué)生比較自然地想到數(shù)列9，18，27，36，45，54，63，72，81蘊(yùn)含的規(guī)律是“18=9+9，27=18+9，…，81=72+9”，教科書把表達(dá)方式改成“18-9=9，27-18=9，…，81-72=9”，并在“邊空”中提示：“改變表達(dá)方式使數(shù)列的取值規(guī)律更突出了”，再用字母代替得到a2-a1=9，a3-a2=9，…，a9-a8=9， 從而使“規(guī)律”有了一般性，由此得出取值規(guī)律：從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差都等于同一個常數(shù).

第二步，再以“數(shù)列②～④是否也有這樣的規(guī)律？”引導(dǎo)學(xué)生自己驗(yàn)證.

第三步，在學(xué)生充分感知等差數(shù)列本質(zhì)特征的基礎(chǔ)上，抽象出等差數(shù)列的定義.

第四步，通過迭代的方法得出等差數(shù)列的通項(xiàng)公式.

第五步，與一次函數(shù)建立聯(lián)系.

上述過程比較完整地反應(yīng)了建構(gòu)一個數(shù)學(xué)對象的整體架構(gòu)，其中的關(guān)鍵是對典型的背景材料進(jìn)行結(jié)構(gòu)辨析，從中發(fā)現(xiàn)這一類數(shù)列的代數(shù)結(jié)構(gòu)——an+1=an+d(n∈N+，d為定值)，從而實(shí)現(xiàn)了具有創(chuàng)新性的意義建構(gòu).這個過程如果教師直接講解，學(xué)生聽懂沒有什么困難，但如果要讓學(xué)生獨(dú)立完成意義建構(gòu)而得出相應(yīng)的代數(shù)結(jié)構(gòu)，則是有較大困難的，因?yàn)槠渲行枰休^強(qiáng)的代數(shù)思維，要調(diào)用自然數(shù)系結(jié)構(gòu)方面的認(rèn)知經(jīng)驗(yàn)(事實(shí)上，自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)是“+1”運(yùn)算，這是一種常識，而“常識往往被人遺忘”，所以調(diào)動這樣的經(jīng)驗(yàn)并不是一件容易的事情).當(dāng)然，我們提倡讓學(xué)生在問題引領(lǐng)下開展意義建構(gòu)，獨(dú)立發(fā)現(xiàn)代數(shù)結(jié)構(gòu)，這樣才能有效地培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)思維方式，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象、邏輯推理等素養(yǎng).

2.關(guān)于等差數(shù)列的性質(zhì)

以往的教科書沒有專門對“等差數(shù)列的性質(zhì)”展開研究，其原因不太清楚，可能是等差數(shù)列的性質(zhì)太“簡單”，也可能是研究某些具體的等差數(shù)列更有價值.但我們認(rèn)為，對一個數(shù)學(xué)對象的完整研究應(yīng)該包括“性質(zhì)”.

那么，“等差數(shù)列的性質(zhì)”所研究的問題是什么呢？從系統(tǒng)觀出發(fā)，一個對象的性質(zhì)首先表現(xiàn)在其要素之間的關(guān)系上.所以，“等差數(shù)列的項(xiàng)與項(xiàng)之間的關(guān)系”就是等差數(shù)列性質(zhì)的研究主題.

等差數(shù)列的定義已經(jīng)給出了相鄰兩項(xiàng)之間的關(guān)系，是研究性質(zhì)的出發(fā)點(diǎn).可以提出的問題是：

(1)等差數(shù)列{an}中，相鄰三項(xiàng)有什么關(guān)系？相鄰四項(xiàng)呢？……可以得到2ak=ak-1+ak+1，ak+ak+3=ak+1+ak+2等；

(2)把“相鄰”改為“等距”，如

am，ap，an滿足p-m=n-p，有2ap=am+an；

am，ap，aq，an滿足q-m=n-p，有am+an=ap+aq；

特別地，有a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…；等等.

研究這些問題，可以增強(qiáng)學(xué)生對“等差”含義的理解，同時也為推導(dǎo)前n項(xiàng)和公式埋下伏筆.可以發(fā)現(xiàn)，這些性質(zhì)是以數(shù)列的項(xiàng)為基本對象，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律、得出性質(zhì).如果與前n項(xiàng)和公式聯(lián)系，還可以發(fā)現(xiàn)更多的性質(zhì).

3.關(guān)于等差數(shù)列的前n項(xiàng)和

我們知道，推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式中，發(fā)現(xiàn)“倒序求和”這個巧妙的方法是關(guān)鍵.問題是，如何才能使“發(fā)現(xiàn)”做到自然而然呢？我們認(rèn)為，這應(yīng)該從分析“倒序求和”的本質(zhì)入手.

對于等差數(shù)列{an}，因?yàn)閍1+an=a2+an-1=…=an+a1，用兩種方式表示Sn：

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

將①②兩邊分別相加，得

=n(a1+an).

由此得到等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式.分析這個過程可以發(fā)現(xiàn)，推導(dǎo)等差數(shù)列{an}前n項(xiàng)和公式的核心思想是：

利用等差數(shù)列的性質(zhì)“等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq”，將不同數(shù)求和化歸為相同數(shù)求和.

數(shù)量關(guān)系上看是利用了“平均數(shù)”概念：

(2)“倒序求和”所利用的就是等差數(shù)列前n項(xiàng)的平均數(shù).

從等差數(shù)列的概念和通項(xiàng)公式出發(fā)，由Sn=na1+d[1+2+…+(n-1)]，可知等差數(shù)列前n項(xiàng)和歸根到底是求1+2+…+n.

在等差數(shù)列{an}中，看看a1=1，d=1這一特例，考察一下它與一般等差數(shù)列的關(guān)系，不難發(fā)現(xiàn)：最簡單、最本質(zhì)的等差數(shù)列就是1，2，3，…，n…，這就是等差數(shù)列的原型.其他都是它的“變式”——a1代表不同“起點(diǎn)”，d代表不同“步長”.

研究等差數(shù)列時，想想自然數(shù)列的性質(zhì)是很有啟發(fā)的.從自然數(shù)系的結(jié)構(gòu)、問題、方法出發(fā)思考等差數(shù)列的內(nèi)容，體現(xiàn)了自然數(shù)系的模型作用，體現(xiàn)了返璞歸真的思想，還體現(xiàn)了以簡馭繁的力量.

4.“等差數(shù)列前n項(xiàng)和”的教學(xué)過程設(shè)計(jì)

推導(dǎo)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和公式，就是要用確定等差數(shù)列的基本量a1，an，d，n等表示Sn.代數(shù)學(xué)中的各種公式和定理絕大部分都是用歸納法由具體到抽象、由低次到高次、由一元二元到多元逐步歸納而發(fā)現(xiàn)，再通過數(shù)學(xué)歸納法去論證其正確性.為此，我們先從一個歷史傳說開始.

問題1200多年前，高斯的老師提出了1 + 2 + 3 + … + 100 =？當(dāng)其他同學(xué)忙于把100個數(shù)逐項(xiàng)相加時，10歲的高斯用下面的方法迅速算出了正確答案

(1+100)+(2+99)+…+(50+51)

=101×50=5050.

高斯的算法實(shí)際上解決了等差數(shù)列

1，2，3，…，n，…

①

前100項(xiàng)的和的問題.

你能說說高斯在求和過程中利用了數(shù)列①的什么性質(zhì)？

師生活動：如果學(xué)生不能回答，可以追問.

追問1：設(shè)an=n，那么高斯的算法可以怎樣表示？你能說說這個方法的奧妙所在嗎？

將高斯的算法表示為a1+a100=a2+a99=…=a50+a51，聯(lián)想到已有的性質(zhì)，可以歸納出這個方法的奧妙之處是：

利用“等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m+n=p+q時，am+an=ap+aq”，使不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化成了相同數(shù)(即101)求和，從而簡化了運(yùn)算.

設(shè)計(jì)意圖：通過問題和追問，引導(dǎo)學(xué)生將具體數(shù)列的求和問題一般化，幫助學(xué)生洞察其中蘊(yùn)含的代數(shù)結(jié)構(gòu)和解決問題的一般性思想方法，形成“利用等差數(shù)列的性質(zhì)推導(dǎo)求和公式”的心向.

追問2：你能用高斯的方法求1+2+…+100+101嗎？

師生活動：由學(xué)生獨(dú)立完成.學(xué)生可能有不同的方法，教學(xué)時要強(qiáng)調(diào)“高斯的方法”的含義.

設(shè)計(jì)意圖：使學(xué)生注意到“首尾配對”需要考慮項(xiàng)數(shù)的奇偶性.

追問3：你能利用高斯的算法推導(dǎo)出數(shù)列①的前n項(xiàng)和公式嗎？

師生活動：由學(xué)生仿照高斯的算法，獨(dú)立推導(dǎo)公式.這里的困難是要對n進(jìn)行奇偶討論，可以引導(dǎo)學(xué)生從具體到抽象進(jìn)行分析.在推出公式后，組織全班討論如下問題.

問題2我們發(fā)現(xiàn)，在求前n個正整數(shù)的和時，要對n分奇、偶進(jìn)行討論，比較麻煩.能否設(shè)法避免討論？

師生活動：通過討論得出，等式的涵義是：把Sn加兩次，而結(jié)果是n個(n+1)相加.

追問2：受此啟發(fā)，聯(lián)系等差數(shù)列的性質(zhì)，你能給出新的推導(dǎo)方法嗎？

師生活動：學(xué)生通過自主活動、小組交流，得出“倒序求和”法：

Sn=1+2+3+…+n，

Sn=n+(n-1)+(n-2)+…+1，

將上述兩式的兩邊分別相加，可得

2Sn=(n+1)+[(n-1)+2]+

[(n-2)+3]+…+(1+n)

=n(n+1)，

問題3上述方法妙在哪里？這種方法能推廣到求等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和嗎？

師生活動：通過獨(dú)立思考、合作交流，得出：

方法的妙處在于將1+2+3+…+n“倒序”為n+(n-1)+(n-2)+…+1，再將兩式相加，得到n個相同的數(shù)(即n+1)相加，從而把不同數(shù)相加轉(zhuǎn)化為n個相同數(shù)相加.

對于等差數(shù)列{an}，因?yàn)閍1+an=a2+an-1=…=an+a1，完全類似的可得

Sn=a1+a2+a3+…+an，

①

Sn=an+an-1+an-2+…+a1．

②

①+②，得

=n(a1+an)．

由此可得等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和的公式.

師生活動：學(xué)生通過自主活動，結(jié)合通項(xiàng)公式和前n個自然數(shù)之和的公式，推出所求公式.

師生活動：由學(xué)生獨(dú)立完成.

設(shè)計(jì)意圖：通過不斷地推廣、一般化，幫助學(xué)生在認(rèn)識前n個自然數(shù)求和的方法及公式的代數(shù)結(jié)構(gòu)的基礎(chǔ)上，歸納出倒序求和法和等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式，并通過對公式的不同推導(dǎo)方法、公式的結(jié)構(gòu)特征和多元聯(lián)系表示等探究活動，使學(xué)生在獲得公式的同時，體會推導(dǎo)代數(shù)公式的基本方法，領(lǐng)悟從具體事例中發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律的數(shù)學(xué)思想，體驗(yàn)歸納法在推導(dǎo)代數(shù)規(guī)律中的普遍意義.

問題4回顧推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的過程，你認(rèn)為其中的關(guān)鍵是什么？

師生活動：通過討論，得出如下認(rèn)識：

(1)明確推導(dǎo)等差數(shù)列求和公式所要解決的問題是什么對得到推導(dǎo)方法有重要意義；

(2)要強(qiáng)調(diào)利用等差數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式和性質(zhì)解決問題的重要性；

(3)代數(shù)的研究中，歸納是根本大法，要注意用一般性的眼光觀察特殊實(shí)例，從中得到解決一般問題的啟發(fā)；

(4)“倒序相加”非常巧妙地利用了等差數(shù)列的性質(zhì)，利用前n項(xiàng)的平均數(shù)將不同數(shù)求和轉(zhuǎn)化為相同數(shù)求和；

(5)代數(shù)中，對公式進(jìn)行適當(dāng)變形有助于發(fā)現(xiàn)蘊(yùn)含在其中的“奧秘”；

(6)代數(shù)和幾何相互為用，可以提高對代數(shù)問題的認(rèn)識深度(如“三角垛”解釋“倒序求和”法)；等等.

3.5 關(guān)于等比數(shù)列

1.利用研究等差數(shù)列的經(jīng)驗(yàn)研究等比數(shù)列

觀點(diǎn)：等比數(shù)列所研究的內(nèi)容、過程和方法與等差數(shù)列是“同構(gòu)”的，所以從等比數(shù)列的概念、性質(zhì)到前n項(xiàng)和以及應(yīng)用，都可以讓學(xué)生通過類比展開自主學(xué)習(xí).從教學(xué)站位上看，這里的關(guān)鍵還是要基于數(shù)學(xué)的整體性，在一般觀念的統(tǒng)領(lǐng)下展開研究.具體而言是：通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)規(guī)律；通過類比“等差”結(jié)構(gòu)得出“等比”結(jié)構(gòu)；通過歸納發(fā)現(xiàn)等比數(shù)列的代數(shù)結(jié)構(gòu)，得出通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式；建立多元聯(lián)系表示(特別是比例性質(zhì))形成等比數(shù)列的認(rèn)知結(jié)構(gòu)；等等.

(1)從“等差”到“等比”

只要將“如果一個數(shù)列從第2項(xiàng)起，每一項(xiàng)與它的前一項(xiàng)的差等于同一個常數(shù)，那么這個數(shù)列叫做等差數(shù)列，這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的公差”中的“差”換為“比”，就得到了等比數(shù)列的定義.

只要將“如果在a與b中間插入一個數(shù)A，使a，A，b成等差數(shù)列，那么A叫做a與b的等差中項(xiàng)”中的A換為G，“差”換為“比”，就得到了等比中項(xiàng)的定義.

(2)從減法運(yùn)算到除法運(yùn)算

等差數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納等比數(shù)列通項(xiàng)公式的歸納a2-a1=d,a3-a2=d,……an-an-1=d,左右兩側(cè)分別依次相加,得到an= a1+(n-1)d.a2a1=q,a3a2=q, ……anan-1=q,左右兩側(cè)分別依次相乘,得到an=a1qn-1.

(3)從算術(shù)平均到幾何平均

等差數(shù)列的性質(zhì)主要體現(xiàn)在算術(shù)平均數(shù)的各種性質(zhì)上，等比數(shù)列的性質(zhì)主要體現(xiàn)在幾何平均數(shù)的性質(zhì)上.

等差數(shù)列等比數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列,則2A=a+ba,G,b成等比數(shù)列,則G2 =a·b若m+n=p+q,則am+an=ap+aq若m+n=p+q,則am ·an = ap ·aqan=am+(n-m)dan = am ·qn-m

另外，比例性質(zhì)在等比數(shù)列的研究中也有用武之地：

得a2+a3+a4+…+an

=q(a1+a2+a3+…+an-1),

于是

Sn-a1=q(Sn-an)=q(Sn-a1qn-1),

可得

2.等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式

首先要明確研究的問題：用等比數(shù)列的基本量a1，q，n表示前n項(xiàng)和.

與等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)類似，等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)本質(zhì)上是利用等比數(shù)列的定義和性質(zhì)進(jìn)行代數(shù)變形.

從Sn=a1+a2+a3+…+an=a1(1+q+q2+…+qn-1)可知，數(shù)列

1，q，q2，…，qn

是等比數(shù)列的“原型”.由

Sn=1+q+q2+…+qn，

qSn=q+q2+…+qn+qn+1，

等式兩邊分別相減可得

除利用比例性質(zhì)外，還可以有其他方法.例如：

由公式

an+1-bn+1

=(a-b)(an+an-1b+an-2b2+…+abn-1+bn)，

令a=1，b=q，即得

3.6 關(guān)于數(shù)學(xué)歸納法

1.數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ)

皮亞諾公理：

(1)1是一個正整數(shù)；

(2)每個正整數(shù)a都有一個后繼數(shù)(即a+1)仍是正整數(shù)；

(3)1不是任何正整數(shù)的后繼數(shù)；

(4)若a與b的后繼數(shù)相等，則a與b相等；

(5)設(shè)S是正整數(shù)集合N*的子集，若

①1屬于S；

②當(dāng)k屬于S時，k的后繼數(shù)(即k+1)一定也屬于S，則S=N*.

這幾條公理反映了正整數(shù)集合有序性的本質(zhì)特征，由此可推出：

正整數(shù)集合是一個無限的良序集，它的任何非空子集中的元素都可以依大小關(guān)系排序，并在其中存在最小數(shù).

第5條也稱為數(shù)學(xué)歸納法原理，它給出了證明一個集合是正整數(shù)集合的一種方法，是數(shù)學(xué)歸納法的理論基礎(chǔ).

2.數(shù)學(xué)歸納法是演繹推理還是歸納推理

在形式邏輯中，從“特殊”到“一般”的推理，叫做歸納推理；從“一般”到“特殊”的推理，叫做演繹推理.

演繹推理的一般形式是三段論，即“大前提——小前提——結(jié)論”.其中，大前提(M-P)是一個一般性的命題(凡滿足條件M的對象都有性質(zhì)P)，小前提(S-M)是指某個特殊對象滿足大前提中的條件(對象S滿足M)，結(jié)論(S-P)是指這個對象符合大前提中的結(jié)論(S有性質(zhì)P).

用數(shù)學(xué)歸納法證明一個具體命題P對于全體正整數(shù)成立時，大前提正是皮亞諾公理中的數(shù)學(xué)歸納法原理，這是一個公認(rèn)的一般性真命題，需要證明的是小前提，即適合具體命題P的正整數(shù)集合S滿足大前提中的條件①和②，由此得出結(jié)論S=N*，即任意正整數(shù)n都滿足命題P.

因此，數(shù)學(xué)歸納法是按照三段論展開的嚴(yán)格的演繹推理，即在確立一般性大前提的基礎(chǔ)上，針對具體命題證明小前提，獲得關(guān)于具體命題的結(jié)論.

數(shù)學(xué)歸納法中，第(1)步(證明“n=1時命題P成立”)稱為“奠基”，第(2)步(證明“若n=k時P成立，則n=k+1時P也成立”)稱為“遞推”.第(1)步多為驗(yàn)證的形式，而第(2)步的實(shí)質(zhì)是證明一個“遞推關(guān)系”：

以“n=k時P成立”為前提，推證 “n=k+1時P成立”.

事實(shí)上，這是一個新的命題.

3.人教A版對數(shù)學(xué)歸納法的處理

與以往教材比較，新的人教A版對數(shù)學(xué)歸納法的處理有較大變化，特別是在兩個步驟的含義、第二步到底要干一件什么事情等問題上，給出了更加具有操作性的講解，其目的是幫助學(xué)生更好地理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì).

(2)確立思想方法：通過有限個步驟的推理，證明n取所有正整數(shù)都成立.

(3)以“多米諾骨牌”為背景，思考使所有多米諾骨牌全部倒下的條件，得出：第一塊骨牌倒下；任意相鄰的兩塊骨牌，前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.

(4)類比多米諾骨牌問題，回顧猜想an=1的過程：

……

歸納共性，得出推理的一般結(jié)構(gòu)：

以ak=1為條件，結(jié)合已知條件推出ak+1=1.(*) 這樣，在a1=1和(*)成立的條件下，就可以由n=1成立，得出n=2成立；由n=2成立，得出n=3成立；……所以，對于任意正整數(shù)n，猜想都成立.

(5)給出數(shù)學(xué)歸納法原理.

(6)通過“思考：數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)是什么？兩步之間有什么關(guān)系？”引導(dǎo)學(xué)生辨析原理，得出：

記P(n)是一個關(guān)于正整數(shù)n的命題.把數(shù)學(xué)歸納法的證明形式改寫為

條件：(1)P(n0)為真；(2)若P(k)為真，則P(k+1)也為真.

結(jié)論：P(n)為真.

接著教科書強(qiáng)調(diào)：在數(shù)學(xué)歸納法的兩步中，第一步驗(yàn)證(或證明)了當(dāng)n=n0時結(jié)論成立，即命題P(n0)為真；第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個新命題：

若P(k)為真，則P(k+1)也為真.

將這兩步交替使用，就有P(n0)真，P(n0+1)真，……，P(k)真，P(k+1)真,……從而完成證明.

值得指出，人教A版明確“第二步是證明一種遞推關(guān)系，實(shí)際上是要證明一個新命題：若P(k)為真，則P(k+1)也為真”，并且在用數(shù)學(xué)歸納法證明具體問題的過程中，先引導(dǎo)學(xué)生具體寫出第二步要證明的命題，例如，證明等差數(shù)列的通項(xiàng)公式

an=a1+(n-1)d

①

正確性的第二步是證明一個命題：

如果n=k時①式是正確的，那么n=k+1時①式也是正確的.

這對學(xué)生理解數(shù)學(xué)歸納法的本質(zhì)具有很好的促進(jìn)作用.教學(xué)時應(yīng)注意落實(shí)這個意圖，先讓學(xué)生明確寫出第二步要證明的新命題，分析清楚證明新命題時需要使用的條件(特別是要以“P(k)為真”為關(guān)鍵條件)，然后再進(jìn)行具體推理論證.

4 小結(jié)

綜上所述，數(shù)列單元要以“運(yùn)算”為一般觀念，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)和提出問題，通過運(yùn)算得出數(shù)列的取值規(guī)律，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)解決問題的方法.例如，在明確“數(shù)列的性質(zhì)就是數(shù)列各要素、相關(guān)要素之間關(guān)系”的基礎(chǔ)上，通過運(yùn)算發(fā)現(xiàn)等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì).

在等差數(shù)列、等比數(shù)列的研究中，通過推導(dǎo)各種各樣的代數(shù)公式，利用等差數(shù)列、等比數(shù)列的性質(zhì)，特別是靈活運(yùn)用“平均數(shù)”研究“等差”問題，靈活運(yùn)用“比例性質(zhì)”研究“等比”問題，可以進(jìn)一步提升學(xué)生的代數(shù)推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算等素養(yǎng).

數(shù)列是一種特殊的函數(shù)，要注意引導(dǎo)學(xué)生以函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列，體會數(shù)學(xué)的整體性.等差數(shù)列與一次函數(shù)、等比數(shù)列與指數(shù)函數(shù)之間存在著密切的聯(lián)系，所以教學(xué)中要注意讓學(xué)生有意識地把數(shù)列納入函數(shù)的體系中，從函數(shù)的觀點(diǎn)看數(shù)列的概念，發(fā)現(xiàn)和理解數(shù)列的性質(zhì)，認(rèn)識數(shù)列的應(yīng)用價值等.

另外，要使學(xué)生意識到，在數(shù)列中推導(dǎo)各種各樣公式的方法是不完全歸納法，這種方法并不嚴(yán)密，所得出的公式需要通過數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明，所以建議把數(shù)學(xué)歸納法作為必學(xué)內(nèi)容.