有效銜接 實(shí)現(xiàn)思維跨越
——人教版五年級(jí)上冊“簡易方程”單元探究性作業(yè)設(shè)計(jì)

□ 丁玉成

人教版五年級(jí)上冊的“簡易方程”單元是學(xué)生較為系統(tǒng)地學(xué)習(xí)代數(shù)知識(shí)的起始單元，本單元的教學(xué)內(nèi)容中蘊(yùn)含著豐富的數(shù)學(xué)思想，如抽象思想、推理思想、化歸思想、等價(jià)思想、模型思想等。從算術(shù)思維向代數(shù)思維的過渡，這是學(xué)生思維的一大跨越。在分析教學(xué)內(nèi)容、梳理現(xiàn)有習(xí)題的基礎(chǔ)上，設(shè)計(jì)有趣、有效的探究性作業(yè)，可以幫助學(xué)生搭建思維跨越的腳手架。

一、教學(xué)內(nèi)容分析

學(xué)生通過對(duì)“簡易方程”單元知識(shí)內(nèi)容的學(xué)習(xí)，會(huì)用字母表示運(yùn)算定律和計(jì)算公式，用字母表示常見的數(shù)量關(guān)系；初步學(xué)會(huì)根據(jù)字母值求含有字母式子的值，初步了解方程的作用，理解等式的基本性質(zhì)；會(huì)解簡易方程，并初步體會(huì)化歸思想；初步學(xué)會(huì)列方程解決簡單的實(shí)際問題，獲得數(shù)學(xué)建模的初步體驗(yàn)。

（一）字母介入運(yùn)算，感悟順向與簡潔

一個(gè)字母式既可以表示一個(gè)數(shù)，又可以表示一種數(shù)量關(guān)系，這是學(xué)生認(rèn)知的難點(diǎn)之一。教材直接從用含有字母的式子表示數(shù)量關(guān)系開始編排，通過提供蘊(yùn)含不同數(shù)量關(guān)系的實(shí)例，引導(dǎo)學(xué)生用含有字母的式子抽象出其中的數(shù)量關(guān)系。教學(xué)中要幫助學(xué)生體會(huì)用字母表示數(shù)量關(guān)系時(shí)，解決問題的思考方式不是逆向“求未知”而是順向“找等量”。教材中還有代入求值的教學(xué)內(nèi)容，這是讓學(xué)生結(jié)合具體的問題感受字母可以表示具體的數(shù)。

（二）運(yùn)用等式性質(zhì)，感受通性通法

解方程的過程實(shí)際上是一連串依據(jù)等式的性質(zhì)進(jìn)行演繹推理的過程。教材借助實(shí)物直觀、幾何直觀，幫助學(xué)生理解方程變形、求解的過程。解方程對(duì)學(xué)生來說是一種全新的問題解決體驗(yàn)，教學(xué)中要幫助學(xué)生充分理解解方程的基礎(chǔ)——“方程的意義”和“等式的性質(zhì)”，掌握相關(guān)概念，實(shí)現(xiàn)必要的抽象概括。要重視學(xué)生對(duì)等式性質(zhì)的理解和運(yùn)用，引導(dǎo)學(xué)生識(shí)別各種不同類型的方程結(jié)構(gòu)，在理解方程變形過程的基礎(chǔ)上感受不同解法中的通性通法。

（三）解碼等量關(guān)系，建構(gòu)模型思想

方程是一類事物普遍適用的數(shù)學(xué)模型，列方程的過程就是在數(shù)學(xué)符號(hào)的幫助下提煉現(xiàn)實(shí)生活中特定關(guān)系的數(shù)學(xué)建模過程。教材中“實(shí)際問題與方程”部分有五個(gè)例題，看似情境各不相同、沒有聯(lián)系，但在方程的結(jié)構(gòu)類型上卻隱含著相同之處，因此要?jiǎng)?chuàng)設(shè)機(jī)會(huì)讓學(xué)生發(fā)現(xiàn)等量關(guān)系結(jié)構(gòu)上的相似之處，感受到等量關(guān)系是列方程解決問題的靈魂，解決問題時(shí)要先尋找等量關(guān)系，再依據(jù)等量關(guān)系列出方程，從而建構(gòu)模型。

二、現(xiàn)有教材常見習(xí)題概述

教材和配套課堂作業(yè)本中的現(xiàn)有習(xí)題大致可以分為以下三類。

1.填空

這類題目在內(nèi)容上比較豐富，如根據(jù)圖示或描述寫出含有字母的式子，根據(jù)給出的字母值代入求式子值，用字母表示運(yùn)算定律和計(jì)算公式等。填空題具有容量大、知識(shí)密度高的特點(diǎn)，教師批改非常方便。不過填空這樣的作業(yè)形式幾乎壓縮了所有的思考過程，教師不容易看到學(xué)生的思維痕跡。

2.解方程

教材練習(xí)中的解方程通常以一道道獨(dú)立的題目呈現(xiàn)，如果只是操作性地完成一道道題目，學(xué)生就是在進(jìn)行技能訓(xùn)練，將解方程的方法程序化。學(xué)生只有真正理解了解方程過程中變形的依據(jù)、會(huì)對(duì)方程的各個(gè)小類型進(jìn)行重組形成大類，才能悟出應(yīng)用等式性質(zhì)的通法，解方程的過程才能顯得靈動(dòng)。因此對(duì)這類題目，教師需要做適度的拓展改編。

3.問題解決

教材中“實(shí)際問題與方程”部分共安排了五個(gè)例題，例題后編排的配套練習(xí)與例題類型相似。這里需要以“建立模型”為目標(biāo)，增設(shè)對(duì)比、找聯(lián)系的題目，讓培養(yǎng)學(xué)生建模能力的目標(biāo)能更好地落地。

三、探究性作業(yè)設(shè)計(jì)

本單元的探究性作業(yè)設(shè)計(jì)，要能凸顯簡易方程的代數(shù)本質(zhì)。分析類作業(yè)、對(duì)比類作業(yè)、梳理反思類作業(yè)，能幫助學(xué)生體會(huì)“化歸”思想，領(lǐng)悟“建?！狈椒ǎ瑢?shí)現(xiàn)必要的思維跨越。

（一）設(shè)計(jì)思考

1.探究性學(xué)習(xí)目標(biāo)

（1）結(jié)合實(shí)例，理解并感受字母表示數(shù)的含義，體會(huì)用方程表示等量關(guān)系的便捷性，體驗(yàn)字母式的簡潔性。

（2）借助直觀，充分理解方程的意義和等式的基本性質(zhì)。

（3）經(jīng)歷解方程的過程，理解如何根據(jù)等式的意義解方程，提高解方程的能力。

（4）通過分析實(shí)際問題中的等量關(guān)系，尋找題目之間的共性與個(gè)性，發(fā)現(xiàn)不同問題的共通之處，建立模型思想，體會(huì)方程的優(yōu)越性。

2.探究性作業(yè)設(shè)計(jì)點(diǎn)

（1）設(shè)計(jì)“用含有字母的式子表示情境內(nèi)容”的作業(yè)，培養(yǎng)觀察、分析和幾何直觀能力。

（2）設(shè)計(jì)“用生活實(shí)例說明等式性質(zhì)”的作業(yè)，在舉例描述的過程中進(jìn)一步理解等式的性質(zhì)。

（3）設(shè)計(jì)“自己建立解方程題庫并命題”的作業(yè)，通過自主出題并說明出題原因，對(duì)題目的難度進(jìn)行分析，掌握解方程的不同類型結(jié)構(gòu)，鞏固解方程的方法。

（4）設(shè)計(jì)“兩積之和模型”的作業(yè)，感受不同情境的問題有著相同結(jié)構(gòu)的等量關(guān)系，建構(gòu)模型思想。

（二）具體設(shè)計(jì)

根據(jù)對(duì)教材內(nèi)容的分析，圍繞探究性學(xué)習(xí)目標(biāo)，結(jié)合探究性作業(yè)設(shè)計(jì)點(diǎn)，本單元設(shè)計(jì)了四份作業(yè)。

1.可以坐幾人

在學(xué)習(xí)了“用字母表示數(shù)”以后，設(shè)計(jì)作業(yè)：如圖（見圖1），一張桌子可坐4人，兩張桌子拼起來可坐6人，三張桌子拼起來可坐8人……那么n張桌子拼起來可坐幾人？用含有字母的式子表示。請用畫圖的方式分析展現(xiàn)你的思路。

圖1

這份作業(yè)指向建模能力的培養(yǎng)，也就是培養(yǎng)學(xué)生“用數(shù)學(xué)的語言表達(dá)世界”的能力。題目本身具有開放性，需要學(xué)生多方面、多層次、多角度地進(jìn)行分析，創(chuàng)造性地加以解決。用畫圖的方法分析展現(xiàn)思路，可以讓學(xué)生將解題的過程慢下來，進(jìn)行更深入的思考，進(jìn)而體會(huì)用字母式表示數(shù)量關(guān)系的順向性，體會(huì)字母式的力量。

2.小小生活家

在學(xué)習(xí)了“等式的性質(zhì)”之后，設(shè)計(jì)作業(yè)：等式有哪些性質(zhì)？用生活實(shí)例來說明等式的性質(zhì)。

讓學(xué)生以生活情境為依托，將等式的性質(zhì)進(jìn)行表征，可以更好地發(fā)揮直觀形象對(duì)于抽象概念的支撐作用?？吹竭@個(gè)作業(yè)，學(xué)生的腦海中可能會(huì)浮現(xiàn)出天平演示圖，教師可以引導(dǎo)學(xué)生用生活中的例子來詮釋天平演示圖，講生活中的故事，把增、減、擴(kuò)倍、縮倍等內(nèi)容融入故事情節(jié)中。讓學(xué)生在舉例描述的過程中掌握概念，實(shí)現(xiàn)必要的抽象概括。

3.今天我出題

在學(xué)習(xí)了“解方程”以后，設(shè)計(jì)作業(yè)：請為“解方程”過關(guān)設(shè)計(jì)一份“題庫”（10道題）。要求每種題型一道，由易到難，寫出“出題原因”和“題目難度分析”，也可以結(jié)合自己和同學(xué)經(jīng)常出現(xiàn)的錯(cuò)誤進(jìn)行“錯(cuò)例分析”。

出題是學(xué)生最喜歡的作業(yè)方式之一，把“出得好就讓同學(xué)們來做”作為獎(jiǎng)勵(lì)，能激勵(lì)學(xué)生使出渾身解數(shù)去完成任務(wù)。對(duì)于看似簡單的出題，在設(shè)計(jì)要求的限制下，學(xué)生需要先對(duì)每個(gè)例題進(jìn)行充分解讀，識(shí)別不同類型方程的結(jié)構(gòu)，并組合歸類，然后自主出題并寫出出題原因、難度分析等，進(jìn)一步對(duì)相關(guān)知識(shí)點(diǎn)進(jìn)行深入思考。這個(gè)過程是學(xué)生在頭腦中將知識(shí)聯(lián)結(jié)成網(wǎng)、建構(gòu)圖式的過程。學(xué)生在等式基本性質(zhì)的運(yùn)用過程中，感受不同結(jié)構(gòu)類型方程的解法共通，能更好地掌握解方程的方法。

從圖2這份學(xué)生作業(yè)中可以看到，小老師精挑細(xì)選了10道題并以星級(jí)制來設(shè)定難度系數(shù)，由易到難讓人一目了然?！俺鲱}原因、難度分析、錯(cuò)題分析”三個(gè)要求對(duì)其他同學(xué)很有指導(dǎo)意義。最后兩道題出現(xiàn)了方程兩邊都有x的拓展題型，折射出他在解方程的過程中對(duì)等式基本性質(zhì)的熟練運(yùn)用。

圖2

4.不同中找相同

在學(xué)習(xí)了“用方程解決實(shí)際問題”之后，設(shè)計(jì)作業(yè)：根據(jù)下面三個(gè)情境，寫出等量關(guān)系并畫出線段圖，想一想，你能發(fā)現(xiàn)這三個(gè)問題的共同點(diǎn)嗎？

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情境1

如果小林每分鐘可以打100個(gè)字，小云每分鐘可以打96個(gè)字，那么一份570個(gè)字的文件，小林與小云同時(shí)錄入，錄完這份文件需要多長時(shí)間？

情境2

甲乙兩艘小船同時(shí)從一個(gè)碼頭向相反方向駛出。2分鐘后兩船相距3800米，甲船每分鐘行900米，乙船每分鐘行多少米？

情境3

從看似不同的內(nèi)容中發(fā)現(xiàn)相同，是數(shù)學(xué)教學(xué)中需要培養(yǎng)的重要能力之一。學(xué)生通過尋找不同情境問題的相同之處，發(fā)現(xiàn)兩積之和結(jié)構(gòu)的等量關(guān)系，促進(jìn)模型的形成，感受方程能用順向思維解決問題的優(yōu)勢。圖3這份學(xué)生作業(yè)清晰、簡潔，從“部分量+部分量”的等量關(guān)系可以看出學(xué)生先把關(guān)注點(diǎn)落在了大塊上，然后把每個(gè)部分量用到的數(shù)量關(guān)系進(jìn)行提煉，最后總結(jié)出三道題都是兩積之和的結(jié)構(gòu)。一份作業(yè)折射出學(xué)生的模型思想正在形成。

圖3