還是？
——“分數(shù)再認識”的一項教材微改進研究

□ 羅永軍

用圖來表征數(shù)學對象是小學數(shù)學概念教學的常用方法。在一次“分數(shù)再認識”的研討活動中，為讓學生進一步理解分數(shù)概念，教師請學生分別把1個圓、2個圓、4個圓看成單位“1”，畫圖分別表示它們的。教學很順利，學生很快畫出了示意圖。其中，把2個圓看成單位“1”，學生畫的是,得到了上課教師的肯定。在課后的研討中，這幅圖示引起了大家的爭議，有人認為正確，有人提出質疑，認為這樣畫表示的是或，還有的提出在這節(jié)課中這幅圖可以用來表示，到學習假分數(shù)時則應該表示為。是這樣嗎？同一幅圖在不同時段居然可以用來表示兩個不同的分數(shù)，這的確會讓人產(chǎn)生困惑。數(shù)學不是追求精確嗎？這到底該如何表示呢？

一、數(shù)學分析

分數(shù)作為一個復雜的概念，其意義非常豐富，國內(nèi)外許多學者都對分數(shù)的意義進行了深入細致的研究。比如（張奠宙，2010）：

定義1（部分與整體）：分數(shù)是一個單位平均分之后的一份或幾份。

定義2（商）：分數(shù)是兩個整數(shù)相除的商。

定義3（比）：分數(shù)是q與p之比。

定義4（公理化）：有序的整數(shù)對（p，q），其中p≠0。

也有學者提出了更多的定義，不過在小學數(shù)學中，學習的內(nèi)容涉及上述的定義1、定義2和定義3，這一次教研中的爭議問題，即是與定義1有關的內(nèi)容。

既然分數(shù)的定義是清晰的，那為什么會有爭議呢？事實上當把1張圓片看成單位“1”，在圓片上可以表示為，這沒有爭議，那么在兩張圓片中如何表示呢？按照定義1，我們把兩張圓片看成一個單位，先把它平均分成4份：，再表示這樣的3份：，涂色即表示，看來上述的圖示似乎沒有問題。那么，為什么大家會有爭議，認為是或呢？僅從圖示看，由于沒有表明誰是單位“1”，還可以認為是一個圓即是單位“1”，涂色部分確實會看成3個。原來，問題出在單位“1”上，同一圖示，因單位“1”不同，所表征的分數(shù)就不同。那么如何表征“單位‘1’”呢？有沒有通行的方法？教材中又是如何表示的呢？

二、教材分析

像上面這樣有爭議的分數(shù)表征問題，教材中也有（北師大版五年級上冊“分數(shù)的意義”第3課時“真分數(shù)和假分數(shù)”，如圖1）。

圖1

圖2

圖3

圖4

如何讓學生明確單位“1”所指呢？雖然教材中沒有這方面的說明，但許多一線教師已經(jīng)主動做了多種實踐，最常用的方法是用“集合圈”圍住多個物體，以表明圍住的物體是一個整體。那么，這樣圖示的效果是否顯著呢？

三、認知調(diào)查

我們把教材中的例題作為調(diào)查問題分別對四年級105位學生和五年級99位學生做了問卷調(diào)查，共2份，先做A問卷，再做B問卷，問卷中的圖示與教材中的圖示相同。其中，四年級學生未學過假分數(shù)，五年級學生已經(jīng)學過假分數(shù)。之所以選擇這兩個年級是為了便于對比，觀察“集合圈”圖示法對這兩類學生是否都有影響。調(diào)查時，學生均獨立作答，教師不作任何解釋。

A問卷 請你寫出涂色部分所表示的數(shù)。

結果（%）四年級（未學）五年級（已學）項目images/BZ_58_1504_1819_1625_1877.png①3 4 97.1 61.6 3 2/11 2 0 34.3其他2.9 4.0images/BZ_58_1701_1826_1896_1871.png②3 4 97.1 97.0 3 0 0其他2.9 3.0images/BZ_58_1934_1823_2160_1874.png③15 4/20 82.3 75.1 5 4/11 4 0 15.6其他17.7 9.3

需要說明的是，雖然我們要求學生寫出涂色部分所表示的“數(shù)”，但是學生受分數(shù)圖式的影響，不約而同地都寫成了“分數(shù)”。特別是圖②，學生沒有把3個涂色三角形看成3個1，而是同形繼承到分數(shù)的“部分—整體”圖式，全都看成了。

從調(diào)查問卷中可以明顯地看到，四年級學生在未學假分數(shù)前，都默認把整體當成單位“1”，寫的都是真分數(shù)，而五年級同學則按自己的理解來判斷誰是單位“1”，從圖①和圖③的作答中可以看出寫成真分數(shù)和寫成假分數(shù)/帶分數(shù)的學生分別接近2∶1和5∶1。這難道真是學得多，混淆也多嗎？不過，這不是學生的問題，而是教材需要改進。那么，如果用上“集合圈”呢？學生會寫成什么呢？

B問卷（增加“集合圈”）：請你寫出涂色部分所表示的數(shù)。

結果（%）四年級（未學）五年級（已學）項目images/BZ_59_495_554_614_630.png①3 4 98.1 76.8 3 2/11 2 0 21.2其他1.9 1.0images/BZ_59_696_557_911_627.png②3 4 98.1 98.0 3 0 0其他1.9 2.0images/BZ_59_948_554_1166_630.png③15 4/20 88.6 81.7 5 4/11 4 0 9.1其他11.4 9.1

相比較A問卷的調(diào)查結果，加上“集合圈”后，對四年級學生來說沒有影響，但對五年級學生來說，正確率確實有所提升。其中，圖①的正確率上升了15.2%，圖③的正確率上升了6.6%，看來，“集合圈”的使用對于學生把整體看成單位“1”的理解有一定的促進作用。不過，數(shù)據(jù)也顯示對于圖①還有21.2%的學生認為是，看來用“集合圈”來表示單位“1”還不夠直觀，學生還是比較容易混淆，這確實是個有點“頑固”的學困點。

四、調(diào)整與再調(diào)查

那么，教材該如何改進呢？我們查閱了國外的一些教材，發(fā)現(xiàn)主要用文字說明的方法，如圖5。

圖5

我們認為用文字說明的方法對于學生解題作答來說會比較清晰，但還是沒有解決分數(shù)的圖式表征問題，或者說沒有解決單位“1”的表征問題。怎么辦？當我們再次審視上述的調(diào)查數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)使用集合圈的方法其實已經(jīng)起到了一定的效果，我們設想能不能在此基礎上再做進一步的改進？于是我們在原有的集合圈上增加單位“1”的標注，以進一步明確單位“1”的指向。

隔了一周，我們對原來的五年級學生再次進行問卷調(diào)查：“請你寫出涂色部分所表示的數(shù)?！睘樘岣咝Ф?，本次調(diào)查分A、B兩份問卷，先統(tǒng)一完成A問卷，再統(tǒng)一完成B問卷，交叉驗證。

A問卷

結果（%）五年級項目images/BZ_59_1485_700_1581_761.png①3 4 94.9 3 2/11 2 4.0其他1.0images/BZ_59_1692_701_1861_760.png②3 4 6.1 3 81.8其他12.1images/BZ_59_1917_693_2163_769.png③1 4/5 2 0 5.1 5 4/11 4 88.9其他6.1

B問卷

結果（%）五年級項目images/BZ_59_1481_1068_1585_1141.png④3 4 4.0 3 2/11 2 93.9其他2.0images/BZ_59_1678_1071_1876_1138.png⑤3 4 96.0 3 3.0其他1.0images/BZ_59_1931_1070_2148_1139.png⑥15 4/20 91.9 5 4/11 4 2.0其他6.1

從調(diào)查結果來看，雖然調(diào)查分兩次進行而且內(nèi)容互有干擾，但是學生的正確率卻明顯提升。其中，圖①⑤⑥是把多個物體看成一個整體，學生的識別正確率達到了94.9%，96.0%，91.9%，正確率提升非常明顯；在調(diào)查中，我們還對假分數(shù)/整數(shù)的表示做了調(diào)查，如圖②③④，正確率分別是81.8%，88.9%，93.9%，其中最簡單的圖②學生反而錯誤最多，通過訪談了解到學生倒不是識別不出單位“1”，而是覺得寫“3”太簡單了不像是五年級的數(shù)學內(nèi)容?；氐奖疚拈_篇提出的困惑（圖①和圖④所示），用了新方法后，學生的正確率分別是94.9%和93.9%?？磥?，學生能有效地識別單位“1”所指區(qū)分，進而理解真假分數(shù)不同的表征方式。

在分數(shù)的意義教學中，學生掌握圖式表征不僅有利于對意義的理解，還有利于幾何直觀素養(yǎng)的發(fā)展。本文提出了一個關于分數(shù)圖式表征的教材微改進建議，是否可行，還有待于更多的一線教師、教研員、教材編者等課程建設者在更大的范圍來調(diào)查驗證。